一般曲線坐標(biāo)系下的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程

李文略

(湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東湛江524037)

0 引言

在現(xiàn)行的理論力學(xué)教科書和一些研究文獻(xiàn)中，質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程的具體形式主要是慣性系和非慣性系中的笛卡爾坐標(biāo)系下的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程，以及慣性系中的球坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系下的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程[1-6].得到這些質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的方法主要是應(yīng)用牛頓定律和拉格朗日方程.文[7]通過張量分析的矩陣方法，推導(dǎo)出了曲線坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的數(shù)學(xué)形式.筆者將由該數(shù)學(xué)形式出發(fā)，推導(dǎo)出慣性系和非慣性系中一般曲線坐標(biāo)系下(球坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的具體形式.

1 曲線坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的數(shù)學(xué)形式及其物理意義

假設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在協(xié)變曲線坐標(biāo)系→φ中的坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)之間的關(guān)系為u1=(x，y，z)，u2=(x，y，z)，u3=(x，y，z)，則質(zhì)點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系中的位置矢量可表示為→r(t)=→r(u1(t)，u2(t)，u3(t)).質(zhì)點(diǎn)的速度為

結(jié)合矢量對空間導(dǎo)數(shù)的公式，質(zhì)點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系中的加速度為

文[7]在推導(dǎo)公式(3)的過程中，并沒有設(shè)定曲線坐標(biāo)系(即參考系)的運(yùn)動狀態(tài)，故此處的加速度在物理上具有普遍的意義.若該曲線坐標(biāo)系是慣性系，則該加速度為絕對加速度;若該曲線坐標(biāo)系是非慣性系，則該加速度為相對加速度.無論是在慣性系中，還是在非慣性系中，均可應(yīng)用式(2)求得質(zhì)點(diǎn)在所在參考系中的加速度.所不同的是，式(3)等號右邊所表示的力.若曲線坐標(biāo)系為慣性系，式(3)等號右邊的力為真實(shí)力的合力;若曲線坐標(biāo)系為非慣性系，式(3)等號右邊的力為真實(shí)力與慣性力的合力.由此可得知，在慣性系和非慣性系中，曲線坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程的數(shù)學(xué)形式均是式(3).為便于討論和理解，式(3)改寫為

式中，等號右邊第一項(xiàng)表示質(zhì)點(diǎn)受到真實(shí)力的合力，第二項(xiàng)表示質(zhì)點(diǎn)受到慣性力的合力.

式(4)為曲線坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的數(shù)學(xué)形式.式中各項(xiàng)是在協(xié)變曲線坐標(biāo)系下，用逆變分量表示的.若為非慣性系，等號右邊第二項(xiàng)不為零;若為慣性系，等號右邊第二項(xiàng)為零.質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中動力學(xué)方程的矢量表達(dá)式[1]，與本文不同的是其相對加速度以矢量的簡潔形式出現(xiàn)，具體的形式并沒有表達(dá)出來.

2 一般曲線坐標(biāo)系下的質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程

2.1 慣性系中球坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程

設(shè)球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量為r，θ，φ，其與笛卡爾坐標(biāo)系的關(guān)系式為x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ.協(xié)變球坐標(biāo)系的三個(gè)當(dāng)?shù)貐f(xié)變基矢量為為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量.逆變球坐標(biāo)系用符號表示為逆變基矢量.

在球坐標(biāo)系下，計(jì)算式(4)等號左邊第一項(xiàng)

將這些關(guān)系代入式(7)得

球坐標(biāo)系的三個(gè)協(xié)變基矢量與其相對應(yīng)的單位基矢量的關(guān)系為

將式(9)、式(8)代入式(4)中，進(jìn)行矩陣運(yùn)算可脫出

式中Fr、Fθ、Fφ表示真實(shí)力的物理分量，與以之對應(yīng)的數(shù)學(xué)分量的關(guān)系為Fr=F1，F(xiàn)θ=rF2，F(xiàn)φ=rsinθF3.

式(10)為在慣性系下，球坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程的具體形式.

2.2 慣性系中圓柱面坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程

設(shè)圓柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量為ρ，φ，z，其與笛卡爾坐標(biāo)系的關(guān)系式為x=ρcosφ，y=ρsinφ，z=z.協(xié)變圓柱面坐標(biāo)系j的三個(gè)當(dāng)?shù)貐f(xié)變基矢量為為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量.逆變圓柱面坐標(biāo)系用符號表示為逆變基矢量.

在圓柱面坐標(biāo)系下，計(jì)算式(4)等號左邊第一項(xiàng)

圓柱面坐標(biāo)系的3個(gè)協(xié)變基矢量與其相對應(yīng)的單位基矢量的關(guān)系為

將式(15)、式(14)代入式(4)中，進(jìn)行矩陣運(yùn)算可脫出

式中Fρ、Fφ、Fz表示真實(shí)力的物理分量，與以之對應(yīng)的數(shù)學(xué)分量的關(guān)系為Fρ=F1，F(xiàn)φ=ρF2，F(xiàn)z=F3.式(16)為在慣性系中，圓柱面坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程的具體形式.

2.3 勻速轉(zhuǎn)動參考系中質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的具體形式

上兩式中，球坐標(biāo)系的協(xié)變度量六面體體積Ω=r2sinθ，逆變度量六面體體積是矢量在球坐標(biāo)系中的升張量.

上兩式中，圓柱面坐標(biāo)系的協(xié)變度量六面體體積Ω=ρ，逆變度量六面體體積是矢量在圓柱面坐標(biāo)系中的升張量.

將式(17)、(18)結(jié)合式(10)代入式(4)中，進(jìn)行矩陣運(yùn)算，可得到在勻速轉(zhuǎn)動參考系中，球坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的具體形式為

將(19)(20)式結(jié)合式(16)代入式(4)中，進(jìn)行矩陣運(yùn)算，可得到在勻速轉(zhuǎn)動參考系中，圓柱面坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的具體形式為

笛卡爾坐標(biāo)系可視為特殊的曲線坐標(biāo)系，其克里斯托費(fèi)爾張量Γ1=0.將(21)(22)式代入式(4)中，進(jìn)行矩陣運(yùn)算，可得到在勻速轉(zhuǎn)動參考系中，笛卡爾坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的具體形式為

應(yīng)用曲線坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程的數(shù)學(xué)形式，推導(dǎo)出了慣性系中和勻速轉(zhuǎn)動參考系中，質(zhì)點(diǎn)在一般曲線坐標(biāo)系下的動力學(xué)方程的具體形式.式(10)、式(16)、式(23)、式(24)和式(25)).式(10)、式(16)和式(25)利用牛頓定律或拉格朗日方程法[3-5]推導(dǎo)得到的結(jié)果是一致.

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