一類具有儲(chǔ)備部件的人-機(jī)可修復(fù)系統(tǒng)算子性質(zhì)

韓筱爽，方明

(1.延邊大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，吉林延吉133002;2.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林延吉133002)

0 引言

Yang Nianfu[1]研究了具有兩個(gè)運(yùn)行部件，一個(gè)儲(chǔ)備部件，系統(tǒng)故障修復(fù)時(shí)間服從一般分布的人-機(jī)系統(tǒng)模型的可靠性.兩個(gè)部件并聯(lián)的可修復(fù)系統(tǒng)是可靠性理論中的一個(gè)經(jīng)典可修系統(tǒng)[3].方明[5]研究了系統(tǒng)解的存在唯一性.姜英秀[6]研究了系統(tǒng)解的指數(shù)穩(wěn)定性.方明[7]研究了系統(tǒng)解的譜特性.

本文運(yùn)用A.Pazy[2]與夏道行[4]的C0半群的理論，證明了系統(tǒng)算子是稠定的預(yù)解正算子，得出了系統(tǒng)算子的共軛算子及其定義域，并證明了系統(tǒng)算子的增長(zhǎng)界為0，最后運(yùn)用預(yù)解正算子中共尾的概念及其相關(guān)理論，證明了系統(tǒng)算子的譜上界也是0.

1 模型介紹

如圖1所示，該系統(tǒng)為并聯(lián)冗余系統(tǒng)，其中兩個(gè)部件并聯(lián)工作，一個(gè)冗余部件處于儲(chǔ)備狀態(tài)，任何時(shí)刻只要有一個(gè)部件正常工作均能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，工作部件中任何一個(gè)發(fā)生故障，儲(chǔ)備部件立即補(bǔ)充進(jìn)入工作狀態(tài)，并且部件間的替換過程是自動(dòng)且瞬時(shí)完成的.若系統(tǒng)出現(xiàn)部件故障則修復(fù)程序立即啟動(dòng)，若所有部件均發(fā)生故障則整個(gè)系統(tǒng)故障.此系統(tǒng)的工作流程如右圖所示:i=0表示兩個(gè)運(yùn)行部件和一個(gè)儲(chǔ)備部件均處于完好狀態(tài);i=1表示一個(gè)運(yùn)行部件因硬件錯(cuò)誤而故障，一個(gè)儲(chǔ)備部件立即補(bǔ)充運(yùn)行;i=2表示系統(tǒng)僅有一個(gè)部件正常運(yùn)行而無儲(chǔ)備部件;i=3表示系統(tǒng)由于硬件錯(cuò)誤而處于故障狀態(tài);i=4表示系統(tǒng)由于通常錯(cuò)誤而處于故障狀態(tài);i=5表示系統(tǒng)由于臨界人為錯(cuò)誤而處于故障狀態(tài).

上述的模型可由以下積分-微分方程描述:

圖1 系統(tǒng)工作流程圖

其中

相關(guān)邊值條件如下:

其中

i，j表示系統(tǒng)所處狀態(tài)數(shù);

ri表示系統(tǒng)處于狀態(tài)i的定常硬件故障率(i=0，1，2);

μi表示系統(tǒng)處于狀態(tài)i的定常硬件修復(fù)率(i=1，2);

μj(x)表示系統(tǒng)處于狀態(tài)j，修復(fù)時(shí)間x的系統(tǒng)修復(fù)率(j=3，4，5);

λci表示系統(tǒng)從狀態(tài)i到狀態(tài)4的定常通常故障率(i=0，1，2);

λhi表示系統(tǒng)從狀態(tài)i到狀態(tài)5的定常臨界人為故障率(i=0，1，2);

pi(t)表示在時(shí)刻t處于狀態(tài)i的概率(i=0，1，2);

pj(x，t)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)j，修復(fù)時(shí)間x概率且僅在t＞0時(shí)有定義(j=3，4，5).這里假定

以下將基于上述假定，討論系統(tǒng)算子的性質(zhì).取狀態(tài)空間

顯然(X，‖·‖)是一個(gè)Banach空間，在X上定義算子

其中

取A的定義域

則系統(tǒng)積分-微分方程組可描述為Banach空間中的一個(gè)抽象Cauchy問題:

2 算子性質(zhì)

定義1算子A+E的譜上界定義為s(A+E)=inf{ω∈R|(ω，∞)?ρ(A+E)}.

定義2若算子A+E是半群T(t)的無窮小生成元，則增長(zhǎng)界定義為

定義3E的子集C稱為在E中共尾(cofinal)，若滿足對(duì)每個(gè)f∈E，存在g∈C，使得f≤g.

定理4 D(A+E)在X中稠密.

證明在文[7]中已證得D(A)在X中稠密，由于D(E)=X，故D(A+E)也在X中稠密.

定理5 A+E是預(yù)解正算子.

證明對(duì)任意給定的y→∈X，考慮預(yù)解方程[vI－(A+E)]P→=y→，其等價(jià)于方程組

結(jié)合相關(guān)邊值條件，解得

Di為以分別替換D中第k列所得行列式(k=1，2，3).

從而

考慮

其中

分項(xiàng)計(jì)算

即

另一方面

綜上

故當(dāng)v＞0時(shí)，[vI－(A+E)]－1存在且‖[vI－(A+E)]－1‖≤，由方程[vI－(A+E)]=的解可知，當(dāng)v＞0時(shí)，若→y為非負(fù)向量，則P→亦為非負(fù)向量，故[vI－(A+E)]－1為正算子，從而A+E為預(yù)解正算子.

定理6 A+E的共軛算子

由于Pj(∞)=0，∈L1(R+)，則有Pj(∞)(∞)=0，則利用分部積分法，得到

下面分兩個(gè)方面來證明:

一方面:若((A+E)*)定義域如上，即

成立，但此式成立的條件為:Pj(x)絕對(duì)連續(xù)，使得(x)幾乎處處存在，(x)∈L1(R+)，使得

定理7 ω(A+E)=0.

證明由方程組移項(xiàng)得，

將方程組中各式對(duì)x從零到正無窮大積分，代入邊值條件再相加，可，故方程組(7)～(10)

所對(duì)應(yīng)的半群是非擴(kuò)張半群，由A.Pazy[2]知‖T(t)‖=1，故半群的增長(zhǎng)界ω(A+E)=0.

定理8 s(A+E)=0.

任取

則有

故

[1] Yang N F，Dhillon B S.Availability analysis of a repairable standby human-machine system[J]Microelectron Reliab，1995，35:1401-1413.

[2] Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differ[M].Spring verlag Berlin Heidelbery:New York.

[3] 曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].北京:科學(xué)出版社，1986.

[4] 夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析[M].北京:高等教育出版社.

[5] 方明，韓筱爽.一類具有可修復(fù)儲(chǔ)備部件的人-機(jī)系統(tǒng)的解的存在唯一性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，34(1):14-17.

[6] 姜英秀，韓筱爽.一類具有可修復(fù)儲(chǔ)備部件的人-機(jī)系統(tǒng)解的指數(shù)穩(wěn)定性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，38(2):108-111.

[7] 方明，韓筱爽.一類具有可修復(fù)儲(chǔ)備部件的人-機(jī)系統(tǒng)的解的譜特性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，35(4):305-308.

[8] Arendt W.Resolvent Positive Operators[J].Proc London Math Soc，1987，54(3):321－349.