新建本科院校《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)改革
——論數(shù)學(xué)建模思想的滲透

施成湘，鄒 楊

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400065)

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課。這門(mén)課程對(duì)于學(xué)生加深理論基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)基本技能的訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)和業(yè)務(wù)素質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，在應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程建設(shè)中具有極為重要的作用。第九屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，美國(guó)的貝克教授提到[1]，數(shù)學(xué)教學(xué)思想最普遍的變化是：過(guò)去把教學(xué)看成是一種處理過(guò)程，把學(xué)習(xí)看成是教學(xué)的結(jié)果；現(xiàn)在把學(xué)習(xí)看成是積極的建構(gòu)活動(dòng)，學(xué)生被看成是數(shù)學(xué)的建構(gòu)者，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該賦予學(xué)生更大的首創(chuàng)精神。在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，數(shù)學(xué)理論與方法的不斷延伸使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越深入和廣泛。數(shù)學(xué)的教學(xué)和改革面臨著越來(lái)越嚴(yán)峻的考驗(yàn)和挑戰(zhàn)。教學(xué)過(guò)程為適應(yīng)這種新形勢(shì)的需要應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)和提高。建模過(guò)程充分體現(xiàn)了知識(shí)可以通過(guò)“體悟”、“構(gòu)建”、“再創(chuàng)造”等創(chuàng)造性過(guò)程及認(rèn)識(shí)過(guò)程而獲得。在講授過(guò)程中，教師結(jié)合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的來(lái)龍去脈，架起枯燥知識(shí)和現(xiàn)實(shí)的橋梁。這不但利于展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，還能增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生興趣，對(duì)提高數(shù)學(xué)素質(zhì)有著重要意義。

本文的研究以重慶第二師范學(xué)院為背景。該校是2012年由教育部正式批準(zhǔn)的一所新建本科院校。在學(xué)院升本前，數(shù)學(xué)分析課程是針對(duì)數(shù)學(xué)教育專科學(xué)生的重要基礎(chǔ)課程。學(xué)院升本，在保留優(yōu)秀傳統(tǒng)的情況下，進(jìn)行了必要的教學(xué)改革，適應(yīng)辦學(xué)角色的轉(zhuǎn)變。在本科教學(xué)中，《數(shù)學(xué)分析》[2]課程的教學(xué)目標(biāo)定位為通過(guò)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，能全面掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論知識(shí)，培養(yǎng)嚴(yán)格的邏輯思維能力與推理論證能力，具備熟練的運(yùn)算能力與技巧，提高建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用微積分這一工具解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力。

1 數(shù)學(xué)分析教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的必要性

第一，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力是素質(zhì)教育的需要。

數(shù)學(xué)分析課程作為數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，是否學(xué)好不僅直接關(guān)系到學(xué)生后繼專業(yè)課程(如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，微分方程，數(shù)值計(jì)算方法，實(shí)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)、微分幾何，泛函分析等)的學(xué)習(xí)，而且可能影響學(xué)生研究生階段學(xué)習(xí)。因此，數(shù)學(xué)課程的設(shè)置不僅僅只教會(huì)學(xué)生一些數(shù)學(xué)的定理和方法，更重要的是教會(huì)他們?cè)鯓尤ニ伎紗?wèn)題，怎樣運(yùn)用手中的數(shù)學(xué)武器去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。對(duì)目前的“重理論灌輸、輕實(shí)踐應(yīng)用”的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須進(jìn)行改革。作為數(shù)學(xué)專業(yè)骨干課程的教學(xué)，正確處理具體與抽象、實(shí)踐與認(rèn)識(shí)的關(guān)系，是專業(yè)教師目前應(yīng)該探討的課題。

第二，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力是培養(yǎng)創(chuàng)新性應(yīng)用型人才的需要。

從數(shù)學(xué)教學(xué)思想上說(shuō)，培養(yǎng)本科學(xué)生的素質(zhì)和能力有兩方面：一是通過(guò)分析、計(jì)算或邏輯推理能夠正確、快速地求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，即運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的能力；二是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法去抽象、概括客觀對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，構(gòu)造出待解決的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。幾乎所有傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程都著眼于和側(cè)重于前者。數(shù)學(xué)模型[3]引入教學(xué)是加強(qiáng)后一方面訓(xùn)練的一條途徑，是對(duì)原有數(shù)學(xué)教學(xué)體系的一種改革試驗(yàn)，也給數(shù)學(xué)思想的討論提供了一些新鮮、生動(dòng)的材料。注重定理的證明和公式的推導(dǎo)是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)模式，它忽視了對(duì)數(shù)學(xué)分析思想的講授，結(jié)果是很多學(xué)生理論知識(shí)掌握了不少，但真正遇到具體問(wèn)題尋求解決的時(shí)候卻無(wú)從下手，不知道怎么用，在何處用。學(xué)完三學(xué)期的課程后仍然不知所以。

第三，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要。

教師在講臺(tái)上過(guò)分地追求“數(shù)學(xué)上的完美”而板著面孔講理論的教學(xué)模式，割裂了微積分與外界的聯(lián)系，也沒(méi)充分顯示微積分的巨大生命力與應(yīng)用價(jià)值。學(xué)生學(xué)了一大堆的定義、定理和公式，也許根本就沒(méi)有搞清楚為什么要學(xué)習(xí)微積分，也不知道學(xué)了微積分究竟有什么用。教師在講授時(shí)為了能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，將枯燥的教學(xué)內(nèi)容與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型有機(jī)結(jié)合，與豐富多彩的外部世界架起橋梁[4]，可以收到事半功倍的效果。這種數(shù)學(xué)思想的滲透將數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用穿插起來(lái)在填補(bǔ)數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用的鴻溝上能起到很大作用。從另一方面看，學(xué)生能力和素質(zhì)的培養(yǎng)采取長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的原則，有關(guān)能力和素質(zhì)的培養(yǎng)便被提前了。數(shù)學(xué)分析知識(shí)結(jié)構(gòu)由淺人深、循序漸進(jìn)的特點(diǎn)，再配合循序漸進(jìn)、由淺入深、由易到難的數(shù)學(xué)模型內(nèi)容，教學(xué)中潛移默化地影響學(xué)生，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。這在學(xué)生的能力培養(yǎng)方面又達(dá)到了事半功倍的效果。

第四，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的需要。

筆者一直從事數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)，也培訓(xùn)和指導(dǎo)學(xué)生參加每年一次的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽。雖然這兩門(mén)課程從內(nèi)容到教學(xué)方式都不同，但筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的思想方法是可以滲透到數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的，且這種滲透有著較強(qiáng)的功能，它可培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生理解抽象的概念定理。從教學(xué)改革來(lái)說(shuō)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的滲透，是探索處理上述問(wèn)題的一條有效途徑。

2 數(shù)學(xué)分析教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)施

數(shù)學(xué)分析教學(xué)可以通過(guò)引入建模競(jìng)賽的思維和方法，來(lái)充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和自主性，以舉例分析為重點(diǎn)，以“用”為標(biāo)準(zhǔn)，取舍教學(xué)內(nèi)容。在不損害知識(shí)體系的前提下，以“題”為中心組織基礎(chǔ)知識(shí)講授，以“練”為手段選擇靈活多樣的教學(xué)方法，突出重點(diǎn)，講解難點(diǎn)，精講多練。讓學(xué)生在“練”中發(fā)現(xiàn)自己的知識(shí)缺陷，激發(fā)他們的求知欲。

第一，借助實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念大多數(shù)來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題，從實(shí)際問(wèn)題入手引入數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的重要機(jī)會(huì)。通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后找出解決問(wèn)題的方法，最后引入數(shù)學(xué)概念。這個(gè)過(guò)程本身就是一次數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。教師大多都精心設(shè)計(jì)概念的引入，從恰當(dāng)?shù)陌咐幸敫拍钍菍?shù)學(xué)建模思想融人數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的重要形式。學(xué)生很易在被傳授知識(shí)的時(shí)候便學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的思想方法，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，知曉了數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，懂得了他們現(xiàn)在所學(xué)的那些看來(lái)枯燥無(wú)味但又似乎天經(jīng)地義的概念、定理和公式。這些并不是無(wú)本之木、無(wú)源之水，也不是人們頭腦中所固有的，而是有現(xiàn)實(shí)的來(lái)源與背景，有其物理原型和表現(xiàn)的。

第二，將數(shù)學(xué)建模思想融入課內(nèi)外作業(yè)中[5]。在每章內(nèi)容結(jié)束后，適當(dāng)補(bǔ)充一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。這樣就使得學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)分析有關(guān)理論，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)[4]。比如在講授初等函數(shù)連續(xù)性的零點(diǎn)定理后，便可以設(shè)計(jì)討論“在一塊不平的地面上，是否可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢枚鴮⒁粡埖首拥乃哪_同時(shí)著地？”這種開(kāi)放性的題目，學(xué)生可以形成小組、通過(guò)討論、試驗(yàn)等方式認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并要求將題目的求解過(guò)程以書(shū)面的形式提交。

第三，將數(shù)學(xué)建模思想融人數(shù)學(xué)分析課程考核中。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析考試，大多是閉卷考試，考試內(nèi)容涉及所學(xué)內(nèi)容點(diǎn)的考察，由于受考試時(shí)間的限制，很難在試題中增加開(kāi)放型的應(yīng)用題，即使在試題中設(shè)計(jì)了一些應(yīng)用題，一般也不是太難，通常是列出式子就可以求解。這樣，可以打破傳統(tǒng)的考試的風(fēng)格，提前準(zhǔn)備開(kāi)放性試題，分組提交小論文，小論文成績(jī)記人考核成績(jī)。這樣的考核，必然使得全體學(xué)生都參與進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生更能加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，也鍛煉了學(xué)生的寫(xiě)作能力，真正地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平。

第四，加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件的使用。越來(lái)越多的人認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要注重演繹思維，歸納思維和創(chuàng)造思維等基本能力的培養(yǎng)，更應(yīng)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)。

第五，舉辦第二課堂活動(dòng)。數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和外部世界隔離開(kāi)來(lái)，以致學(xué)生在學(xué)了十分有用的數(shù)學(xué)知識(shí)以后，卻不怎么會(huì)用?？梢栽谡n堂之外舉辦數(shù)學(xué)建模講座或開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模公共選修課，為數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系打開(kāi)一條通道。鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)和競(jìng)賽活動(dòng)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性應(yīng)用能力的最有效的途徑之一。

3 結(jié)束語(yǔ)

學(xué)數(shù)學(xué)的最高境界是用數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的目的就是讓學(xué)生知曉數(shù)學(xué)有用和如何應(yīng)用數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)里融入數(shù)學(xué)建模思想方法，配合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型內(nèi)容，將數(shù)學(xué)分析的理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合在一起，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析課程中基本概念、理論知識(shí)的掌握，也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的自身素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)時(shí)選準(zhǔn)合適的案例作為切入點(diǎn)，力爭(zhēng)與數(shù)學(xué)分析有關(guān)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)出建模思想。以學(xué)生為主體，采用案例教學(xué)、課堂討論、啟發(fā)式等教學(xué)方式。 “授人以魚(yú)，不如授人以漁”。因此，在教學(xué)中應(yīng)該注重的不是數(shù)學(xué)知識(shí)的講授，而是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。正如李大潛先生所指出的：學(xué)校里學(xué)過(guò)的一堆數(shù)學(xué)知識(shí)很多都沒(méi)有派上什么用處，有的甚至已經(jīng)淡忘，但所受的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，所領(lǐng)會(huì)的數(shù)學(xué)思想與精神，卻無(wú)時(shí)無(wú)刻不在發(fā)揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動(dòng)的主體，那么教學(xué)活動(dòng)不僅使學(xué)生獲取了知識(shí)，而且能為學(xué)生的能力培養(yǎng)創(chuàng)造極為有利的條件。

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