滾珠絲杠副熱變形計算分析及可視化

李凌豐，管靈波，張振然，陳 豪

（浙江大學機械工程學系工程及計算機圖形學研究所，浙江 杭州 310027）

目前，隨著塑料原料價格和性能的提高，塑料制品逐漸向小型化、輕量化方向發(fā)展，主要表現(xiàn)為：其一是制品尺寸精度較高；其二是薄壁制品。然而傳統(tǒng)的液壓注塑機無法很好滿足要求，首先是液壓系統(tǒng)的能耗大，易轉變成熱能引起溫升，影響合模精度；其次是容易漏油，而部分產(chǎn)品諸如醫(yī)療器械等對清潔環(huán)境要求較高。在此背景下，全電動式注塑機憑借節(jié)約能源、清潔低噪、控制性能優(yōu)良等幾大特性[1-3]成為注塑行業(yè)的發(fā)展方向[4]。

然而，全電動式注塑機的軟肋在于鎖模機構[5]，而滾珠絲杠副和拉桿是鎖模機構的關鍵傳動元件，其中滾珠絲杠副主要由絲桿，螺母件及滾珠等組成，借助滾珠返回通道構成滾珠的閉合回路，實現(xiàn)往復螺旋傳動。這兩個傳動元件的不足表現(xiàn)為：一方面因為采用肘桿式鎖模機構，此結構易磨損；另一方面，液壓驅動改成由伺服電機帶動滾珠絲杠來驅動，鎖模壓力大部分由絲杠承受，特別是在高速的工況下，將極大地降低絲杠的精度和縮短使用壽命，限制了注塑機在大噸位注塑領域的應用。對前者國內有頗多研究，主要進行結構改進，如胡靜和張有忱[6]討論了差動式齒輪鎖模機構特點，又如焦志偉等[7]將三板肘桿式改成二板直壓式。因為溫升對合模精度影響顯著，這與注塑機高精度要求相悖，本文探討溫升對滾珠絲杠精度的影響。

國內對滾珠絲杠的研究多集中于車床，雖然與注塑機的工作條件有所不同，但是仍具有借鑒性，如易學平[8]分析絲杠機構熱變形的原因，并給出了實際工況的溫度場經(jīng)驗公式；夏勇軍[9]通過有限元方法研究了多變化熱源作用下滾珠絲杠的熱動態(tài)特性的分析，獲得進給系統(tǒng)熱誤差的辨識模型；鐘名東[10]、王淑坤[11]分析滾珠絲杠副的溫度場，通過熱——結構耦合仿真，求解熱變形，研究其熱態(tài)特性。本文基于傳熱學理論，分析滾珠絲杠的熱邊界條件，利用有限元軟件對滾珠絲杠副進行熱仿真，獲取滾珠絲杠副的穩(wěn)態(tài)溫度場和熱變形數(shù)值結果，通過云圖、矢量圖等數(shù)據(jù)場可視化方法，直觀地展示滾珠絲杠運行時的熱傳遞和熱變形規(guī)律，分析后提出減少熱變形影響的預防措施。

1 熱分析基本理論

1.1 傳熱的理論基礎

滾珠絲杠副的熱變形與熱量的傳遞及溫度分布密切相關，根據(jù)傳熱的物理本質，熱量傳遞有3種基本方式：導熱、對流和輻射。

（1）導熱

導熱是指熱量從物體（包括靜止的液體）高溫部分傳遞給低溫部分，或者從高溫物體傳遞給相接觸的低溫物體。導熱與溫度場息息相關，溫度場描述了空間內任意點在某一瞬時的溫度值分布，所以溫度場是空間和時間的函數(shù)，溫度T用位置坐標x，y，z和時間τ可以表示為[12]：

各點溫度隨時間變化的溫度場被稱為瞬態(tài)溫度場，如式(1)；若溫度的時間變化率很小，則溫度場被稱為穩(wěn)態(tài)溫度場，如式(2)，本文將探討滾珠絲杠副的穩(wěn)態(tài)溫度場。

溫度場中相同溫度的點連接成的曲面即等溫面，這常用于描述溫度場。因為物體內任一點某一瞬時的溫度值是唯一的，所以等溫面不相交且連續(xù)。溫度場的分析可借助溫度梯度(gradT)，所謂溫度梯度是指等溫面法線方向溫度增量與法向距離之比的極限，見式(3)，可以表征溫度場內任意一點在垂直其所在等溫面方向上的溫度變化的強烈程度。溫度梯度的方向與等溫面的法線方向相一致，但與熱流量的方向相反。

在溫度場中，非等溫面方向的溫度是變化的，因此會發(fā)生熱量傳遞，可以用熱流密度來表征，即單位時間內通過等溫面單位面積的熱量。熱流密度的方向是沿著等溫線法線而指向降溫的方向。溫度場的溫度與熱流密度通過Fourier基本導熱定律[12-14]聯(lián)系起來：

式中，q為熱流密度(W/m3)；λ為熱導率(W/m· K)。

（2）對流換熱

對流換熱是指流體流經(jīng)固體表面時，兩者之間發(fā)生的熱交換，這是流體的對流和導熱聯(lián)合作用的結果。對流傳熱可分為強迫對流與自然對流：自然對流是由于流體冷熱不均所引起的流動；強迫對流則是由于壓差引起的。

對流換熱的強度通過對流換熱系數(shù)(h)表征，指單位時間內溫差為1的單位表面的對流傳熱量[12,14-15]。

式中，h為對流換熱系數(shù)(W/m2·K)；D為幾何尺寸(m)；Nu為努塞爾數(shù)（無量綱），壁面上流體的溫度梯度。

對流換熱系數(shù)受較多因素影響，如流體物性，流動狀態(tài)等等，所以該系數(shù)較難確定，常用的方法是針對特定的物理現(xiàn)象，將眾多的影響因素組成幾個無量綱參數(shù)，如雷諾數(shù)Re，這是表征慣性力與黏性力的一種度量，反映了流體的流動狀態(tài)，可通過下式確定：

式中，n為絲杠轉速(r/min)；υ為運動黏度(m2/s)。

確定無量綱參數(shù)后，通過實驗確定包含無量綱參數(shù)的準則方程，這類方程概括性地歸納了主要物理量的關系，如下是兩類特定現(xiàn)象的對流準則方程。

① 流體沿著平壁強迫流動

式中，Pr為普朗特數(shù)（無量綱），動量擴散厚度與熱量擴散厚度之比的一種度量；vf為流體的線速度(m/s)。

② 流體沿著單管強迫流動

局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)變化比較復雜，但從平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)看，漸變的規(guī)律性很明顯，可采用如下準則方程[12]：

式中，C，n為常量，需要查表獲取。

根據(jù)式(7)～式(9)，可求得Nu代入式(5)，即可求得對流換熱系數(shù)。

（3）輻射傳熱

輻射傳熱是物體以電磁波方式向外傳遞能量的過程，被傳遞的能量就是輻射能。熱輻射的能量。熱輻射的能量投射到物體表面時，發(fā)生吸收，反射和穿透現(xiàn)象，而固體可以認為無法穿透，所以輻射傳熱主要通過吸收。

通常，輻射傳熱多在凸體之間通過大氣或真空中進行，滾珠絲杠副表面A1與外界熱源表面A2(如注塑機其他部件，車間墻壁，地面等)之間輻射傳熱，輻射傳熱系數(shù)[12,14-15]可根據(jù)下式：

如果A2＞＞A1，則

如果A2≈A1，則

式中，ar為輻射傳熱系數(shù)(W/m2·K)；1ε，2ε由溫度T1和T2決定；bσ為斯忒藩-玻耳茲曼常數(shù)，其值為5.7×10-8W/(m2·K4)；T1為機床壁面的熱力學溫度(K)；T2為外界熱源，可近似取周圍大氣的熱力學溫度(K)。

1.2 導熱微分方程

根據(jù)熱力學第一定律，系統(tǒng)內能的總增量等價于內熱源的發(fā)熱量和進出的熱量差的總和，如下：

式中，dE為系統(tǒng)內能總增量；dQg為內熱源的發(fā)熱量；dQ為進出的熱量差，取為零。

各項用傅里葉方程式展開后，可得：

式中，qv為單位體積單位時間內的熱源發(fā)熱強度(W/m3)；a為熱擴散率(m2/s)；λ為導熱系數(shù)(W/(m·K))。

本文中的滾珠絲杠副系統(tǒng)經(jīng)過預熱后，溫度升高并達到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定后的滾珠絲杠副系統(tǒng)可視為“熱源”的穩(wěn)態(tài)傳熱，式(13)可改成泊松方程[12]：

1.3 單值性條件

導熱微分方程是由傳熱的一般規(guī)律推導出來的，代表無數(shù)種彼此不同的導熱現(xiàn)象。如果要研究某種導熱現(xiàn)象，就必須將其特點表示成數(shù)學式，并與導熱微分方程聯(lián)立求解，表述這些特點的數(shù)學式成為單值性條件。單值性條件主要指初始條件和邊界條件，對于穩(wěn)態(tài)溫度場只需要確定邊界條件即可。邊界條件是指物體邊界表面與周圍介質之間的傳熱情況，有三類[12,14,16]：

（1）第一類邊界條件：已知物體邊界Γ上溫度場。

式中，T0為已知溫度，f(x,y,z)為已知溫度函數(shù)。

（2）第二類邊界條件：已知物體邊界上Γ的熱流密度。

式中，q為熱流密度(W/m2)；g(x,y,z)為熱流密度函數(shù)；k為傳熱系數(shù)(W/(m2·K))。

（3）第三類邊界條件：已知與物體相接觸的流體介質的溫度和換熱系數(shù)。

式中，Tf為流體介質的溫度(K)；h為換熱系數(shù)(W/m2·K)，在穩(wěn)態(tài)溫度場中，Tf和h可以是常數(shù)，也可以是隨位置而變化的函數(shù)。

1.4 熱彈性運動方程式

物體隨著溫度升高而膨脹，溫度降低而收縮，這種由于溫度改變而引起的變形稱為熱變形。以平面微元體應力問題為例，當溫度由T0變成T時，溫差ΔT=T-T0，熱變形只產(chǎn)生線應變[10,13]：

式中，xε，yε分別為x，y方向的正應變；γxy為切應變。

假設物體的膨脹完全不受約束，那么物體內不產(chǎn)生熱應力。當物體受約束或者各部分溫變不均勻，熱變形無法自由進行，熱應力就產(chǎn)生了。

熱應力和熱應變的關系可以根據(jù)胡可定律[10-11]得到

式中，δx,δy,δz分別為x,y,z方向的正應力；τxy,τyz,τxz分別是x,y,z方向的切應力；ρ為密度(kg/m3)；u,v,w為變形時物體某一點在x,y,z方向的位移分量；Px,Py,Pz分別為x,y,z方向的體力。

進一步推導可得用位移分量表示的熱彈性運動方程[10,11]：

將式(20)用矢量表示[10,13]，并忽略重力，則可得：

式中，為u,v,w。

2 滾珠絲杠熱邊界條件計算

滾珠絲杠副的結構如圖1，本文中滾珠絲杠采用一端由軸承支撐，呈懸臂狀態(tài)[17]。有限元熱分析的第一步是確定熱邊界條件。根據(jù)滾珠絲杠的工作特點，主要考慮熱傳導和對流兩種傳熱方式，而忽略輻射傳熱。

圖1 滾珠絲杠副的三維模型

2.1 滾珠絲杠副的參數(shù)

本文選用某型號滾珠絲杠副，其相關參數(shù)為：軸徑d=63mm，導程為Ph=12mm，總軸向載荷Fa=10000N，軸向預緊力Fp=1/3Fa=10000/3 N，轉速n=1350r/min，絲桿效率η=94% 。

滾珠絲杠副的材料選擇軸承鋼GCr15[18]，相關參數(shù)為：密度ρ=7850kg/m3，抗拉強度σb=1861MPa，平均線膨脹系數(shù)α=1×10-6a/℃，導熱率λ=36.72W·m-1·K-1，泊松比μ=0.29。

2.2 熱傳導系數(shù)

滾珠絲杠副的內熱源來自于摩擦熱，主要來自于絲杠和螺母間的相對移動，絲杠與支承軸承間的旋轉運動，因為移動螺母直接關系鎖模精確性，影響最終成型的精度，著重關注絲杠和螺母與滾珠之間的摩擦熱。

滾珠絲杠副運轉過程中，滾珠與滾道面之間產(chǎn)生的摩擦熱通過接觸界面不斷向外傳導。滾道面之間充滿潤滑油，潤滑油不僅能減少摩擦阻力，同時實現(xiàn)快速導熱。最終，當滾珠絲杠副達到工作狀態(tài)時，絲桿與螺母滾道面之間的溫度場應當是均布的，即絲杠與螺母的滾道面之間溫度恒定，所以滾道面可采用第二類邊界條件，即在滾道面施加恒定的熱流密度。

計算熱流密度[10,16-17,19]，首先求得滾珠絲杠副的摩擦熱量，可以參考滾動軸承的發(fā)熱量計算公式：

式中，Q為滾動軸承的發(fā)熱量(W)；M為總摩擦力矩(N·mm)，包括絲杠的驅動力矩Md和滾珠螺旋的阻力矩Mp。

發(fā)熱量無法作為熱載荷直接加載到有限元模型，需要進一步求出熱流密度，即熱源單位面積的發(fā)熱量，計算式如下：

式中，S為螺母內滾道面面積(m2)。

2.3 對流換熱系數(shù)

在高速運轉中，滾珠絲杠副的部分絲杠表面總是暴露在空氣中，絲杠的強勁旋轉勢必加快空氣對流，這是強迫對流換熱。對流換熱系數(shù)可根據(jù)式(8)可得，其常數(shù)C，n查閱相關文獻[12,15]，可知：

把式(24)帶入式(8)可得

根據(jù)式(6)，式(24)，式(25)可求得Nu，代入式(5)即可求得對流換熱系數(shù)。

3 滾珠絲杠副的熱分析

3.1 溫度場仿真

滾珠絲杠副的幾何模型比較復雜，次要特征有必要簡化處理[14]，如去除倒角，次要螺紋孔改成光孔，減少滾珠的數(shù)量等等，簡化后的模型如圖1所示。有限元仿真主要有3個步驟：建立有限元模型，施加載荷及邊界條件，查看數(shù)值結果。

建立有限元模型，需要合理劃分網(wǎng)格，在保證單元質量的前提下，通過收縮控制，局部細化等手段，控制單元數(shù)，這樣在保證求解的精度和準確性的同時，加快收斂速度[11,20]。

由式(5)，式(22)，式(23)計算可知，絲杠滾道面與周圍空氣的對流換熱系數(shù)，滾珠滾道面的熱流密度，設定空氣溫度為20。滾珠絲杠副溫度達到穩(wěn)態(tài)，即溫度T不隨時間τ變化，傳熱方程依據(jù)式(14)可知，熱源的發(fā)熱量通過傳導完全釋放到環(huán)境。

絲桿滾道面的各部分載荷不同，首先進行面分割，分別施加熱載荷及邊界條件；螺母件內滾道面及滾珠導管內表面施加熱流密度載荷。載荷設置完成后，求解溫度場及熱流密度，計算結果如圖2所示。

圖2 滾珠絲杠副的溫度場

由圖2可知，絲桿外滾道面的溫度與環(huán)境溫度接近，因為絲桿的高速旋轉，極大提高其表面對流換熱，使得熱量快速散發(fā)，溫升相對較小，不到1℃。而螺母件的溫升最高，特別是滾珠導管處，達到3.8℃。這是由于滾珠與滾道面產(chǎn)生摩擦熱，另外螺母件外表面的對流換熱強度相對較小，引起熱量的積聚。滾珠與滾道面的溫度場需要重點考察。

圖3 外表面熱流密度

圖4 截面熱流密度

由圖3可知，熱流密度最高值為19914W/m2，發(fā)生在滾珠導管附近，同時螺母件的熱流密度比絲桿要弱。由圖4可知，螺母的平均熱流密度為80W/m2左右，而與螺母旋合的絲桿部分則達到了700～800W/m2，所以絲桿的散熱速度快，溫度相對螺母件要低，如圖2所示。同時，由圖4可知，絲桿的最高熱流密度集中在螺母端面處。

3.2 熱-結構耦合仿真

熱-結構耦合需要導入溫度場結果，并對滾珠絲杠副進行約束[20]，如限制絲桿的軸向與徑向的移動，限制螺母的徑向移動，施加角速度載荷。加載完畢后，計算求解熱-結構如下：

圖5 滾珠絲杠副的總體熱形變

圖6 滾珠絲杠副的總體熱應力

圖7 滾珠絲杠副的總體熱應變

由圖5可知，絲桿支承端的熱變形最小，接近零，由于軸承的徑向約束限制其變形，勢必導致應力的積聚，如圖6可知，支承端的應力及應變最大。絲桿自由端則正好相反，溫差使得自由端無約束的膨脹，變形相對較大，達到8.32μm，應變與應力相對較小。螺母件由于溫差變化小，其熱變形相對較小。

由式(21)可知，熱變形量與材料的熱物性參數(shù)密切相關，所以選擇合適材料，能極大改變熱變形量。

4 結 論

由于本文的數(shù)值仿真是在理想狀態(tài)下進行，如果考慮外界熱源，絲桿的制造誤差等因素，熱誤差數(shù)值將放大數(shù)倍；此外，滾珠絲杠副正向高速方向發(fā)展，速度進一步提升必然引起熱變形加劇。因為滾珠絲杠副是傳動件，熱誤差逐級積累，直接影響合模精度，最終影響制品質量。

綜上所述，滾珠絲杠副的熱誤差將降低合模精度，影響最終制品的精度，為控制熱變形，可采用預拉伸技術等措施[17,21-22]。預防熱變形措施可通過數(shù)值計算進行優(yōu)化，這將涉及到有限元軟件的二次開發(fā)，這些問題尚待進一步的研究。

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