無失效數(shù)據(jù)情形可靠性參數(shù)的分析

羅學(xué)剛 任占勇 武月琴 王 欣

（中航工業(yè)綜合技術(shù)研究所，北京 100028）

目前在航空裝備的可靠性鑒定試驗(yàn)中，一般采用GJB 899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》的試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方案和可靠性參數(shù)評(píng)估方法。試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)經(jīng)常是各種截尾數(shù)據(jù)。在定時(shí)截尾試驗(yàn)中，如果失效（或故障）數(shù)大于零，對(duì)由這種試驗(yàn)方式獲得的數(shù)據(jù)（稱為有失效數(shù)據(jù)）進(jìn)行可靠性研究，己有相對(duì)比較成熟的方法。但由于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，高可靠性產(chǎn)品迅速發(fā)展，在定時(shí)截尾試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)有時(shí)是“無失效數(shù)據(jù)”，即在規(guī)定的試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)沒有產(chǎn)品失效。

對(duì)于有失效數(shù)據(jù)的情形，GJB 899A-2009給出了可靠性參數(shù)的評(píng)估方法。在無失效數(shù)據(jù)情形下，如何對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)于建立在失效數(shù)據(jù)分析基礎(chǔ)上的可靠性理論來說，是一個(gè)有一定難度的問題。尋找在無失效數(shù)據(jù)條件下進(jìn)行科學(xué)、有效的可靠性分析方法，現(xiàn)已成為可靠性研究中一個(gè)新的而又十分重要的領(lǐng)域。本文對(duì)故障前工作時(shí)間服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，介紹了目前最優(yōu)置信限法、卡方分布的分位點(diǎn)法、修正似然函數(shù)法、配分布曲線法、參數(shù)的綜合估計(jì)法等無失效數(shù)據(jù)情形下的可靠性評(píng)估方法，對(duì)上述方法的特點(diǎn)及工程適用性進(jìn)行了分析，證明了最優(yōu)置信限法與卡方分布的分位點(diǎn)法結(jié)果的一致性。

1 無失效數(shù)據(jù)可靠性評(píng)估

設(shè)產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：

λ為產(chǎn)品的失效率。

設(shè)對(duì)故障前工作時(shí)間服從指數(shù)分布的產(chǎn)品進(jìn)行了m次定時(shí)截尾試驗(yàn)，截尾時(shí)間分別為ti，i=1，2，…，m，且在ti處有ni個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)，所有樣品無一失效，獲得的無失效數(shù)據(jù)為（ti，ni），i=1，2，…，m。下面分別用不同的方法評(píng)估產(chǎn)品的可靠性。

1.1 最優(yōu)置信限法

根據(jù)產(chǎn)品的無失效數(shù)據(jù)為（ti，ni），i=1，2，…，m，最優(yōu)置信限法給出的產(chǎn)品的平均故障間隔時(shí)間（MTBF）在置信水平為1–α?xí)r的置信下限為：

陳家鼎等首先對(duì)ni=1的情形得到上述的結(jié)果[1]，i=1，2，…，m。韓明在指數(shù)分布情形方面推廣了陳家鼎等的無失效數(shù)據(jù)情形下可靠性參數(shù)的最優(yōu)置信限法[2]，研究了在定時(shí)截尾試驗(yàn)中，在各截尾時(shí)刻試驗(yàn)樣品數(shù)分別為ni的情況，并得到公式（1）。若令，則公式（1）可寫為：

1.2 卡方分布的分位點(diǎn)法

戴樹森在定時(shí)截尾試驗(yàn)總試驗(yàn)時(shí)間為T，失效次數(shù)為零時(shí)給出了MTBF在置信水平為1–α?xí)r的置信下限為[3]：

1.3 修正似然函數(shù)法

王玲玲等提出了無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方法──修正似然函數(shù)法[4]。根據(jù)修正似然函數(shù)，得到了產(chǎn)品MTBF的修正極大似然估計(jì)為：

其中α=0.7，0.6，0.5，這3個(gè)值得到的MTBF的修正極大似然估計(jì)，α越小得到的結(jié)果越保守。

1.4 配分布曲線法

配分布曲線法，其基本思想是：先估計(jì)失效概率，然后用最小二乘法給出分布參數(shù)的估計(jì)，最后給出可靠度的估計(jì)。其具體步驟如下：

1）在截尾時(shí)間ti處（i=1，2，…，m）獲得失效概率的估計(jì)，其中T為產(chǎn)品的壽命；

2）通過諸點(diǎn)（ti，）（i=1，2，…，m）配一條分布曲線，這相當(dāng)于在分布曲線族中選一條曲線最靠近諸點(diǎn)（ti，），這里靠近的標(biāo)準(zhǔn)選用最小二乘的標(biāo)準(zhǔn)；

3）由確定下來的分布曲線求得可靠性參數(shù)的估計(jì)。

1.5 可靠性參數(shù)的綜合估計(jì)法

利用產(chǎn)品的無失效數(shù)據(jù)為（ti，ni），i=1，2，…，m 得到失效率的最小二乘估計(jì)為：

2 可靠性評(píng)估方法的分析與比較

上面給出了5種常用的在無失效數(shù)據(jù)情形下產(chǎn)品可靠性的評(píng)估方法，如何評(píng)價(jià)一種評(píng)估方法的好壞是一個(gè)新的問題。下面對(duì)這些評(píng)估方法進(jìn)行分析與比較，配分布曲線法適用于截尾次數(shù)較多的情況；可靠性參數(shù)的綜合估計(jì)法要用到Bayes方法，先驗(yàn)分布的選擇直接影響評(píng)估結(jié)果；修正似然函數(shù)法得到是可靠性參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，其實(shí)就是產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間的置信度為0.7（0.6或0.5）時(shí)的置信下限。當(dāng)兩種方法給出的是同一置信度下可靠性參數(shù)的下限估計(jì)時(shí)，則下限越大越好。為了比較最優(yōu)置信限法及卡方分布的分位點(diǎn)法，我們首先證明下述引理。

證明：服從自由度為n的χ2分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，即此隨機(jī)變量的分布函數(shù)為形狀參數(shù)為n/2，尺度參數(shù)為1/2的gamma分布，因此隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：

當(dāng)n=2時(shí)，可以得到服從自由度為2的χ2分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：

根據(jù)分位數(shù)的定義有：

即

化簡得：

即

兩邊取對(duì)數(shù)得：

根據(jù)引理可得

因此可知根據(jù)最優(yōu)置信限法與根據(jù)卡方分布的分位點(diǎn)法得到的產(chǎn)品MTBF的置信下限是相同的。

在美國國防部指令性文件DoD 3235.1-H《系統(tǒng)可靠性、可用性和維修性試驗(yàn)和評(píng)估入門》中給出了在失效次數(shù)r≠0時(shí)，產(chǎn)品的MTBF在置信水平為1–α?xí)r的置信下限為：

[1] 陳家鼎，孫萬龍，李補(bǔ)喜. 關(guān)于無失效數(shù)據(jù)情形下的置信限［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào). 1995,18(1): 90-100.

[2] 韓明.無失效數(shù)據(jù)情形可靠性參數(shù)的置信限［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào). 2004，21（2）:245-249.

[3] 戴樹森.關(guān)于壽命試驗(yàn)的某些統(tǒng)計(jì)分析［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí). 1982，3:47-60.

[4] 王玲玲,王炳興.無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析一修正似然函數(shù)方法［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率. 1996,11（1）:64-70.

[5] 韓明.無失效數(shù)據(jù)可靠性參數(shù)的綜合估計(jì)［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用. 2000, 20（3）:36-44.