標準Ⅱ型馬蹄形斷面水躍共軛水深的簡化計算

張志昌, 賈斌

(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西 西安 710048)

馬蹄形斷面是由底部的弓形、下部兩側(cè)的扇形以及頂拱半圓形組成的。由于斷面形式復(fù)雜，近幾年來學(xué)者們采用不同的方法研究了馬蹄形斷面的正常水深和臨界水深，這些研究成果都以迭代或優(yōu)化擬合方法進行表述。文獻[1]給出了標準Ⅱ型馬蹄形斷面Q2/r5<26.131 3和Q2/r5>26.131 3兩種情況下臨界水深的迭代公式；文獻[2]給出了標準Ⅰ型和標準Ⅱ型馬蹄形斷面臨界水深的迭代公式。文獻[3]給出的臨界水深的計算公式較為復(fù)雜；文獻[4]通過迭代和逐步優(yōu)化擬合，給出了馬蹄形斷面臨界水深的直接計算方法；文獻[5]認為馬蹄形斷面的底拱一般為半徑很大的圓，可將其視為平底，給出了這種情況下臨界水深的計算方法。文獻[6]通過對馬蹄形斷面臨界流方程的數(shù)學(xué)變換，應(yīng)用逐步優(yōu)化擬合原理，得到馬蹄形斷面臨界水深的直接計算式。文獻[7]引入準一次函數(shù)、準二次函數(shù)的概念，給出了計算馬蹄形兩種標準斷面正常水深的簡化公式。文獻[8]引入無量綱參數(shù)得到了平底II型馬蹄形斷面正常水深和臨界水深的直接計算公式。文獻[9]研究了標準Ⅱ型馬蹄形斷面正常水深、弗勞德數(shù)和收縮斷面水深的計算方法。

對水躍水力特性的研究已有一百多年的歷史，但主要是針對矩形斷面[10]。

對于馬蹄型斷面水躍的研究，文獻[11]給出了平底馬蹄形斷面(一般馬蹄形斷面底部為弓形，平底是特殊形式)的水躍計算方法，該方法給出了壓力項的積分結(jié)果，但未給出被積函數(shù)的表達形式，文獻[11]還給出了馬蹄形輸水管道共軛水深的計算曲線以供查用，但查圖法精度較低。文獻[12]研究了標準Ⅰ型馬蹄形斷面水躍的共軛水深，但在計算中仍采用試算法，計算比較麻煩。

馬蹄形斷面成洞比較容易，抗壓能力強，對圍堰的適用性較好，是工程中常用的斷面形式，水躍共軛水深的計算對工程應(yīng)用十分重要，但目前尚未看到計算標準Ⅱ型馬蹄形斷面水躍共軛水深方面的論文，因此本研究應(yīng)用水躍的基本方程，研究標準Ⅱ型馬蹄形斷面水躍共軛水深的一般計算方法和簡化計算方法，供設(shè)計參考。

1 標準Ⅱ型馬蹄形斷面的面積和形心距水面距離的計算

標準Ⅱ型馬蹄形斷面如圖1所示，由ab線以下，圓心角為2α的底部弓形斷面；ef線與ab線之間，圓心角為α的圓弧段和ef線以上的半圓形組成。ef線以下三圓弧段的半徑均為2r，ef線以上頂拱半徑為r，α=24.29519°。

圖1 標準Ⅱ型馬蹄形斷面

1.1 當水深處于底部弓形斷面時(圖2中的ab線以下(含ab線))

如圖2所示，水深處于底部弓形斷面的斷面面積和形心距水面的距離為：

A=(2r)2(2φ-sin2φ)/2=

2r2(2φ-sin2φ)

(1)

(2)

式(1)和(2)中，φ為當水深為h時對應(yīng)的半圓心角。

弓形斷面的水深為：

h=2r(1-cosφ)

(3)

式(3)中，0<φ≤24.29519°，0

圖2 水深處于底部弓形斷面內(nèi)

1.2 水深處于最大直徑以下(含最大直徑)的斷面時(圖3中的ef線以下)

如圖3所示，將圖中的幾何圖形分為4部分，即底部的弓形面積A1、兩側(cè)的弓形面積A2、A3和中間的梯形面積A4。

圖3 水深處于最大直徑(含最大直徑)斷面內(nèi)

分別計算各塊的面積和形心距水面的距離，根據(jù)疊加原理求出面積和，而斷面形心距水面的距離計算[13]為：

(4)

式(4)中，yc1、yc2、yc3、yc4分別為底部弓形斷面、兩側(cè)的弓形斷面和中間的梯形斷面形心距水面的距離。略去繁瑣的推導(dǎo)過程，得斷面面積和形心距水面的距離為：

A=r2{0.196124152+4[(α-β)-sin(α-β)]+

(2sinα+2cosβ-1)(2cosα-1-2sinβ)}

(5)

(6)

式中,

水深為：

h=r(1-2sinβ)

(7)

式中，0<β≤24.29519°，0

1.3 水深處于最大直徑以上的斷面時(圖4中的ef線以上)

如圖4所示，將斷面面積分為7部分，即底部的弓形斷面面積A1、兩側(cè)的弓形面積A2和A3、中間的梯形面積A4、ef線以上的扇形斷面面積A5和A6以及三角形面積A7。

由圖4可得斷面面積為：

A=r2(1.746496972+θ+sinθcosθ)

(8)

斷面形心距水面的距離為：

hc=r[0.793418211+1.746496972sinθ+

θsinθ-(4/3)sin2(θ/2)+

(1/3)sin2θcosθ]/

(1.746496972+θ+sinθcosθ)

(9)

水深為：

h=r(1+sinθ)

(10)

式中，0<θ<90°，0

圖4 水深位于最大直徑以上斷面

2 共軛水深的計算

水躍共軛水深是基于動量方程推導(dǎo)出來的，其計算公式為[14]：

(11)

式(11)可以寫成：

J(h1)=J(h2)

(12)

式中，A1、A2分別為躍前和躍后斷面面積；hc1、hc2分別為躍前和躍后斷面形心到水面的距離；Q為流量；g為重力加速度。

馬蹄形斷面水躍方程的計算比較復(fù)雜，水深處于斷面不同位置時有不同的計算公式，可能有多種組合形式，如表1所示。在計算時根據(jù)不同的組合形式，選擇相應(yīng)的計算公式。

表1 不同工況下共軛水深的計算公式

水躍計算可以用試算法，如果已知躍前或躍后斷面水深，根據(jù)相應(yīng)公式計算出斷面面積和形心距水面的距離，求得J(h1)或J(h2)，代入公式(11)，試算求解另一個斷面的水深。

3 斷面面積和形心的簡化計算

由以上推導(dǎo)過程可以看出，除了水深處于底部弓形斷面內(nèi)時斷面面積和形心計算比較簡單，當水深處于底部弓形斷面以上時，馬蹄形斷面水躍共軛水深的計算十分復(fù)雜，計算工作量大。為了簡化計算，根據(jù)上面得到的面積公式(1)、(5)、(8)和形心公式(2)、(6)、(9)分析了相對面積、相對形心與相對水深的關(guān)系，見圖5和圖6，根據(jù)最小二乘法原理，得到經(jīng)驗公式,為：

當0.01

A/r2=2.5078(h/r)1.4812

(13)

hc/r=0.407(h/r)1.0051

(14)

公式(13)的平均誤差為1.1%，最大誤差為2.24%;公式(14)的平均誤差為0.54%，最大誤差為2.23%。

當0.27

A/r2=-0.3051(h/r)3+0.8324(h/r)2+

1.265(h/r)-0.0411

(15)

hc/r=0.0487(h/r)3-0.1042(h/r)2+

0.5385(h/r)-0.0298

(16)

公式(15)的平均誤差為0.276%，最大誤差為0.836%;公式(16)的平均誤差為0.246%，最大誤差為2.0%。

圖5 相對面積與相對水深關(guān)系

圖6 相對形心與相對水深關(guān)系

為了進一步簡化計算，分析了Ahc/r3與h/r的關(guān)系，見圖7。

圖7 Ahc/r3與h/r的關(guān)系

分段擬合結(jié)果如下。

當0.01

Ahc/r3=1.036(h/r)2.4915

(17)

當0.27

Ahc/r3=-0.0192(h/r)3+1.0127(h/r)2-

0.2228(h/r)+0.0268

(18)

公式(17)的平均誤差為0.393%，最大誤差為1.07%;公式(18)的平均誤差為0.4236%，最大誤差為1.64%。

水躍公式(11)可以改寫成式(19)或式(20)的形式。

(19)

J(h1/r)=J(h2/r)

(20)

對于躍前和躍后水深均在0.01

如果知道躍前斷面水深h1，可由公式(13)和(14)或公式(15)和(16)計算出A1/r2和hc1/r，代入公式(20)計算出躍前斷面的J(h1/r)，將公式(15)和(18)代入公式(19)得躍后斷面相對水深的迭代式為：

(21)

式中,

M=gr5[(-0.3051)(h2/r)3+0.8324(h2/r)2+

1.265(h2/r)-0.0411]

如果已知躍后水深h2，則可由公式(20)計算出J(h2/r)，躍前斷面相對水深的迭代公式為：

(22)

式中,

N=g{J(h2/r)-r5[-0.0192(h1/r)3+

1.0127(h1/r)2-0.2228(h1/r)+0.0268]}

4 算 例

例題1標準Ⅱ型馬蹄形斷面，已知頂拱半徑r=5 m，渠道過流量Q=290 m3/s，躍前水深h1=2.5 m，試判斷是否會發(fā)生水躍，若發(fā)生水躍，試計算躍后水深。

1)試算法

底部弓形斷面高度為：

h0=2r(1-cosα)=

2×5×(1-cos24.29519°)=0.8856 m

因為h0

β=arcsin(0.5-0.5×h/r)=

arcsin(0.5-0.5×2.5/5)=

14.4775°

將α=24.29519°，β=14.4775°,r=5代入公式(5)得斷面面積A=19.18827 m2。將α、β、r代入公式(6)中計算有關(guān)參數(shù)為C=9.659165，D=0.068，E=11.216505。

躍前斷面的總形心為：

臨界水深可以用來判斷渠道是否會發(fā)生水躍，只有當躍前斷面水深小于臨界水深才能發(fā)生水躍。對于臨界水深用筆者的公式計算，當0.037956

hk=0.7536[Q2/(gr5)]0.2856r=

0.7536×2.746120.2856×5=

5.0282 m

因為躍前斷面水深小于臨界水深，所以在渠道中發(fā)生水躍。

躍后水深假定在圖1中的ef線以上，計算時假設(shè)一個θ，用公式(8)、(9)、(10)計算躍后斷面面積、形心高度和躍后水深，由公式(11)試算結(jié)果為θ=55.93°，A2=79.6677 m2，hc2=4.52453 m，h2=9.142 m。

2)簡化公式計算

已知h1=2.5 m，hk=5.0282 m，渠道中發(fā)生水躍。因為h1/r=2.5/5=0.5，所以躍后水深一定在0.27

躍后水深用公式(21)求解，將J(h1/r)=11790.712代入迭代得h2/r=1.836677，h2=9.1834 m。與理論公式計算的9.142 m相差了0.475%。

例題2某標準Ⅱ型馬蹄形斷面，已知半徑r=1.5 m，渠道過流量Q=14.079 m3/s，躍后水深h2=2.5 m，求躍前水深。

解：0.27

將J(h2/r)=24.88754796，Q=14.079 m3/s，r=1.5 m代入公式(22)迭代得h1/r=0.5572，h1=0.8358 m。

用理論公式計算，求得J(h2)=11.0726，代入理論公式(11)試算得β=12.911°，躍前水深為0.83 m，簡化公式誤差為0.7%。

5 結(jié) 論

1)根據(jù)標準Ⅱ型馬蹄形斷面的幾何形狀，研究了斷面面積和面積形心的計算方法；

2)根據(jù)水躍的基本方程，研究了水躍共軛水深的一般計算方法和簡化計算方法；

3)簡化計算方法簡單、實用、容易掌握，通過算例證明簡化計算方法的計算精度完全滿足工程設(shè)計要求。

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