基于小波神經(jīng)與隨機(jī)分析的徑流預(yù)測(cè)

李保琦，周澤江，馬妍博

(1 中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，中國(guó) 北京 100048；2 廣西水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，廣西 南寧 530000；3 四川大學(xué) 水利水電學(xué)院，四川 成都 610065)

中長(zhǎng)期水文預(yù)報(bào)通常泛指預(yù)見期超過(guò)流域最大匯流時(shí)間，且在3 d以上1年以內(nèi)的水文預(yù)報(bào)[1-2]。水文預(yù)報(bào)是防洪減災(zāi)工作的重要內(nèi)容，對(duì)于降低水自然災(zāi)害損失、提高水利設(shè)施效益具有重要的意義。開展徑流預(yù)測(cè)(特別是中長(zhǎng)期徑流預(yù)測(cè))、提高預(yù)測(cè)精度以掌握未來(lái)水文情勢(shì)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)水資源的合理調(diào)配、管理及指導(dǎo)防汛抗旱等具有非常重要的意義。特別是在水文情勢(shì)復(fù)雜、水資源狀況日益惡化的今天，徑流預(yù)測(cè)的重要性更加突出[3-4]。因此，研究水文規(guī)律，預(yù)報(bào)水文情勢(shì)，提高預(yù)報(bào)精度具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。我國(guó)水文預(yù)報(bào)起步較晚，但是經(jīng)過(guò)幾代水文研究者的努力，已取得了一些成就[4]。以時(shí)間和技術(shù)手段為界限，水文預(yù)報(bào)方法可分為傳統(tǒng)水文預(yù)報(bào)和人工智能水文預(yù)報(bào)；以研究基礎(chǔ)和物理機(jī)制為界限，水文預(yù)報(bào)方法可分為基于物理模型的過(guò)程驅(qū)動(dòng)模型和基于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的黑箱子模型。目前用于中長(zhǎng)期水文預(yù)報(bào)的方法很多[5-7]，一般情況下分為傳統(tǒng)方法和新方法2大類，前者主要有成因分析和水文統(tǒng)計(jì)方法，后者主要包括模糊分析、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色系統(tǒng)分析等方法[4]。傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法通常要對(duì)水文序列結(jié)構(gòu)和概率密度函數(shù)形式做某種假定及適當(dāng)簡(jiǎn)化，以反映平穩(wěn)線性時(shí)間序列或者簡(jiǎn)單的非平穩(wěn)線性時(shí)間序列。然而實(shí)際中的徑流序列由于受大氣環(huán)流、太陽(yáng)活動(dòng)、下墊面情況、地球物理因素和人類活動(dòng)的影響，往往呈現(xiàn)出高度復(fù)雜的非線性空間過(guò)程[8]。小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前研究的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，然而水文序列是非線性的，受到各種不確定性因素的顯著影響，對(duì)于預(yù)測(cè)中出現(xiàn)的一系列復(fù)雜問題，這些方法顯示出了本身的局限性和預(yù)測(cè)結(jié)果的不精確性。因而，本研究運(yùn)用人工智能預(yù)報(bào)手段，通過(guò)小波分解和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合隨機(jī)分析對(duì)河川徑流進(jìn)行預(yù)測(cè)，以期為提高徑流預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度提供參考。

1 材料與方法

1.1 小波分析

小波分析(Wavelet analysis,WA)是一種由粗及細(xì)的分析方法，它可以觀測(cè)到水文時(shí)間序列的細(xì)微變化，也可以展示大的變化規(guī)律，同時(shí)能獲得不同頻帶的簡(jiǎn)單序列。通過(guò)小波變換，能將水文時(shí)間序列分解為確定性成分和隨機(jī)性成分，這樣除了可以進(jìn)行原始序列主周期識(shí)別以外，還能對(duì)序列的突變特征進(jìn)行識(shí)別[4]。小波分析時(shí)頻多分辨率功能突出，它可以通過(guò)多尺度對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，有效識(shí)別各頻率成分并提取所有相關(guān)信息。因此，小波分析被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”分析方法，能有效揭示水文序列的結(jié)構(gòu)和變化特性[9-10]。

小波分析的關(guān)鍵是對(duì)信號(hào)實(shí)行小波變換，對(duì)給定的滿足一定條件的小波函數(shù)，時(shí)間序列(表示能量有限)的連續(xù)小波變換為[11-12]：

(1)

水文時(shí)間序列通常是離散的，則上式的離散形式為：

(2)

式中：Δt為抽樣時(shí)間間隔，N為離散系數(shù)，k為自然數(shù)(1，2，…，N)。當(dāng)水文時(shí)間序列被分解成小波系數(shù)后，對(duì)時(shí)間序列分析就轉(zhuǎn)化為對(duì)小波變換系數(shù)的研究。

小波換算系數(shù)常通過(guò)快速變換算法計(jì)算，此算法不涉及具體的小波函數(shù)，計(jì)算簡(jiǎn)單快捷。

1.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

近年來(lái)，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)在水文時(shí)間序列模擬預(yù)測(cè)中得到廣泛的應(yīng)用[13]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對(duì)人腦進(jìn)行的一種模仿，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練處理信息，進(jìn)而模擬人腦得出結(jié)果。因此，它具有大規(guī)模的并行計(jì)算與分布式儲(chǔ)存能力，以及非線性映射能力、較強(qiáng)的魯棒性與容錯(cuò)性、自適應(yīng)、自組織、自學(xué)習(xí)能力和非局域性、非凸性等特點(diǎn)。雖然人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的非線性逼近功能和自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)的特點(diǎn)，但它類似于“黑箱模型”，許多參數(shù)無(wú)法確定，模擬得到的水文序列結(jié)果也無(wú)法具體得知，計(jì)算結(jié)果無(wú)法解釋[2，7]。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)神經(jīng)元作用函數(shù)的簡(jiǎn)單復(fù)合能夠逼近有界子集上的任意非線性函數(shù)，且模型具有自適應(yīng)能力，更新方便。采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所構(gòu)造的水文時(shí)間序列模型，根據(jù)研究對(duì)象的多少可分為單變量和多變量人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)序模型。多變量人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)間序列的矩陣形式可表示為[14-15]：

Xt,r=g(Xt-1,r,…,Xt-1,r,…,Xt-p,r)+εt,r。

(3)

式中：Xt,r為t時(shí)刻r截口的水文特征量；g為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性映射，為一隱式函數(shù)；p為模型輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)；εt,r為t時(shí)刻r截口的正態(tài)獨(dú)立隨機(jī)變量(白噪聲)，假定其服從獨(dú)立正態(tài)分布。

式(3)中，Xt,r由2部分組成，第1部分反映了水文時(shí)間序列包含的確定成分，采用BP網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)模擬；第2部分為模型隨機(jī)項(xiàng)，反映了序列所包含的隨機(jī)成分。由于εt,r是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，可采用變換法進(jìn)行模擬。以第1部分的網(wǎng)絡(luò)輸出加上第2部分的隨機(jī)項(xiàng)作為模擬值；由{w1,w2,…,wp,cp}(w1,w2,…,wp為分解出的低頻部分，cp為剩下的高頻部分)重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)下一次輸入，得到網(wǎng)絡(luò)輸出，再加上隨機(jī)項(xiàng)作為模擬值。

1.3 小波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合

設(shè)小波分解序列為：

W1(1),W2(1),…,Wp(1),Cp(1)

W1(2),W2(2),…,Wp(2),Cp(2)

? ? ? ?

W1(n),W2(n),…,Wp(n),Cp(n)。

(4)

式中：W1(t),W2(t),…,Wp(t)為低頻序列；p為尺讀數(shù)；n為分界序列的長(zhǎng)度；Cp(t)為背景序列(低頻)。

以t時(shí)刻的小波分解序列W1(t),W2(t),…,Wp(t),Cp(t)作為ANN的輸入，t+T時(shí)刻的序列作為網(wǎng)絡(luò)輸出(T為預(yù)見期)，構(gòu)造ANN模型。以上述方式建立的模型稱為小波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型(WANN)。其建模步驟如下：

①時(shí)間序列的小波分解。設(shè)水文時(shí)間序列為{Q(t)},令C0(t)=Q(t)，則快速小波算法如下：

(5)

式中：Ci(t)、Wi(t)分別為尺度i下的背景序列和細(xì)節(jié)序列；h(k)為離散低通濾波器；p為尺度數(shù)。

②WANN的構(gòu)造。ANN的輸入為：X=[W1(t),W2(t),…,Wp(t),Cp(t)]T，輸出為Y=[Q(t+T)]。網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)為：(p+1)-(p+1)-1，即3層。

1.4 隨機(jī)分析

水文序列可利用小波分為背景部分和隨機(jī)部分，背景部分代表的是水文時(shí)間序列的具體走勢(shì)，可用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得出較好的預(yù)測(cè)結(jié)果；隨機(jī)部分代表的是水文時(shí)間序列的偶然因素所影響的那部分徑流序列的走勢(shì)，所以按照神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的思路分析，往往預(yù)測(cè)效果不佳。因此，本研究選取傳統(tǒng)方法對(duì)高頻序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，此處選取皮爾遜Ⅲ型分布曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的背景部分和皮爾遜Ⅲ型分布曲線得到的隨機(jī)部分的結(jié)果疊加，得到最終的水文序列預(yù)測(cè)值，然后和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行比較，最后得出結(jié)論。

2 結(jié)果與分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本研究的數(shù)據(jù)為四川省達(dá)州市萬(wàn)源市境內(nèi)渠江二級(jí)支流后河的徑流數(shù)據(jù)(表1)。后河發(fā)源于萬(wàn)源市城北大橫山，由大縣毛壩鎮(zhèn)開始，縱穿縣境西北部，在普光鎮(zhèn)與中河匯合，到縣城交口再與前河交匯。后河流域面積3 670.7 km2(其中萬(wàn)源縣內(nèi)流域面積(含中河)1 462.3 km2)，干流長(zhǎng)56 km，平均坡降1.1‰，多年平均徑流量12.47億m3。

表1 四川省萬(wàn)源市后河1959-2008年的年平均流量

2.2 小波分解與重構(gòu)

根據(jù)上述原理和步驟建立小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)分析的組合模型，資料采用后河1959-2008年共50年的徑流數(shù)據(jù)，小波分析對(duì)水文徑流序列進(jìn)行2層分解，由原始序列分解得到W1(t)和C1(t) 2部分，這是第1次分解；再將W1(t)分解得到W2(t)和C2(t) 2部分，到此第2次分解完畢；然后對(duì)各頻率部分進(jìn)行重構(gòu)，最后以重構(gòu)得到的C2(t)作為原始序列的背景序列(圖1)，以W1(t)和W2(t)的疊加作為原始序列的隨機(jī)部分(圖2)。

圖1 四川省萬(wàn)源市后河徑流分解后得到的背景序列

圖2 四川省萬(wàn)源市后河徑流分解后得到的隨機(jī)序列

2.3 背景序列的模擬預(yù)測(cè)

選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)背景序列進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)。應(yīng)用1959-1993年序列進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)模擬訓(xùn)練，然后用1994-2008年年平均流量進(jìn)行驗(yàn)證。背景序列預(yù)測(cè)結(jié)果見表2。

表2 四川省萬(wàn)源市后河徑流序列分解后低頻序列模擬預(yù)測(cè)結(jié)果

2.4 隨機(jī)序列的模擬預(yù)測(cè)

選用皮爾遜Ⅲ型分布曲線預(yù)測(cè)分離出的隨機(jī)序列。首先進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后求得不同頻率下的隨機(jī)序列隨機(jī)值。最后得到后河徑流序列在25%，50%和75%頻率下隨機(jī)序列的隨機(jī)值分別為3.8，0和-8.3。

2.5 年徑流序列的模擬預(yù)測(cè)

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析得到的背景序列結(jié)果和皮爾遜Ⅲ型分布曲線分析得到的隨機(jī)序列模擬預(yù)測(cè)結(jié)果疊加，得到不同頻率下年平均流量預(yù)測(cè)的最終結(jié)果，同時(shí)將實(shí)測(cè)序列點(diǎn)繪于圖3 進(jìn)行比較。

圖3 四川省萬(wàn)源市后河徑流小波神經(jīng)組合模型及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的比較

由圖3可知：(1)預(yù)測(cè)結(jié)果的整體變化走勢(shì)與實(shí)測(cè)序列的變化走勢(shì)一致，這是由背景序列的預(yù)測(cè)結(jié)果確定和保證的；(2)實(shí)測(cè)序列基本包含在25%和75%保證率對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)值的范圍內(nèi)，50%的保證率預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)序列最接近。因此，文中的概率預(yù)測(cè)結(jié)果合理地反映了未來(lái)水文徑流的走勢(shì)；(3)由預(yù)測(cè)結(jié)果可直接掌握水文徑流量隨年份的豐、平、枯變化情況，以及某些具體年份徑流的豐枯狀況。

2.6 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)原始徑流的預(yù)測(cè)

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)(結(jié)果見圖3)，并將其與本研究所建模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見表3。

表3 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)四川省萬(wàn)源市后河原始徑流的預(yù)測(cè)結(jié)果

從表3可以看出，傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差為8.75%，最大相對(duì)誤差為17.08%。根據(jù)《水文情報(bào)預(yù)報(bào)規(guī)范》(SL 250-2000)[16]對(duì)中長(zhǎng)期徑流預(yù)報(bào)的精度要求，預(yù)測(cè)誤差在多年變幅的10%以內(nèi)為合格，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)合格率為46.67%，預(yù)測(cè)精度不是很高。而組合模型相對(duì)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型而言，不但精度更高，預(yù)測(cè)合格率達(dá)73.33%，而且還可以掌握水文徑流量隨年份的豐、平、枯變化情況，以及某些具體年份徑流的豐枯狀況。

3 討 論

基于以上計(jì)算和分析，得出以下結(jié)論：

1)將小波分析方法引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)小波分離出來(lái)的背景序列進(jìn)行模擬訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示該組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果較為理想，適用于中長(zhǎng)期徑流預(yù)測(cè)。

2)應(yīng)用小波分析對(duì)徑流序列進(jìn)行分解，可得到不同尺度下的徑流振蕩變化和趨勢(shì)成分。應(yīng)用皮爾遜Ⅲ型分布曲線對(duì)振蕩變化部分進(jìn)行分析，再與分離出的背景序列的預(yù)測(cè)結(jié)果疊加，可得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果，效果明顯優(yōu)于單獨(dú)應(yīng)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果，因而具有廣泛的應(yīng)用前景。

3)在進(jìn)行小波分析時(shí)，小波函數(shù)的選擇應(yīng)慎重，不同的小波函數(shù)可導(dǎo)致不同的分析結(jié)果；水文序列具有自身的特殊性，高頻部分和低頻部分的分離依據(jù)可由具體的情況決定，其宗旨是分離效果要保證模擬預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。

4)水文徑流序列成分復(fù)雜多變，影響因素各種各樣。因此，在使用不同的方法時(shí)應(yīng)去除單一方法的受制約部分，將多種方法聯(lián)合使用，取長(zhǎng)補(bǔ)短，以提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

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