高斯混合概率假設(shè)密度SLAM算法

辛菁，賈渭娟，茍蛟龍

(1.西安理工大學(xué) 自動化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048;2.重慶大學(xué) 城市科技學(xué)院 電氣信息學(xué)院, 重慶 永川 402167)

移動機(jī)器人同步定位與地圖創(chuàng)建(Simultaneous Localization and Mapping, SLAM)問題定義為機(jī)器人在未知環(huán)境中從一個未知的位置開始移動，在移動過程中根據(jù)其自身所帶傳感器感知所處環(huán)境附近路標(biāo)相對自身的位置信息增量式構(gòu)建環(huán)境地圖，然后利用這個地圖確定自己的絕對位姿[1]。在SLAM過程中，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)的使用不僅可以提高機(jī)器人系統(tǒng)的性能，而且使機(jī)器人在長時間、大范圍內(nèi)保持系統(tǒng)的收斂性。數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)最初應(yīng)用在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域，即是用于確定傳感器的測量信息和目標(biāo)源之間的對應(yīng)關(guān)系，其中經(jīng)典的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法包括最近鄰數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(NNDA)[2]、概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(PDA)[3]、聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(JPDA)[4-5]和多假設(shè)法[6](MHT)等。

SLAM中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)是指利用當(dāng)前傳感器探測到的m個觀測值對地圖中已經(jīng)存在的n個地圖特征進(jìn)行更新時，必須明確指出哪個觀測值對應(yīng)于哪個特征。如果機(jī)器人對觀測值和特征的關(guān)聯(lián)發(fā)生錯誤，則會導(dǎo)致錯誤的更新，并且此后的預(yù)測也會發(fā)生錯誤，從而增大定位和地圖構(gòu)建的誤差，嚴(yán)重時甚至?xí)?dǎo)致定位與構(gòu)圖誤差發(fā)散，并進(jìn)一步增加了此后數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的困難。因此，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)是SLAM的一個難點問題。近幾年，隨著SLAM問題研究的深入，提出了許多SLAM數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[7]。如獨立兼容最近鄰算法(ICNN，individual compatibility nearest neighbour)、連續(xù)兼容最近鄰算法(SCNN，sequential compatibility nearest neighbour)、聯(lián)合兼容分枝限界(JCBB，joint compatibility branch and bound)和聯(lián)合最大可能性算法(JML，joint maximum likelihood)。2007年王永清[8]提出對JCBB進(jìn)行線性搜索優(yōu)化，并將優(yōu)化后的JCBB對特征線段的觀測進(jìn)行門限過濾，完成觀測和預(yù)測間的最終匹配，有效提高了移動機(jī)器人應(yīng)用的可行性。2008年季秀才[9]提出了一種關(guān)聯(lián)樹模型，并對關(guān)聯(lián)樹進(jìn)行有限深度回溯搜索實現(xiàn)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，但該方法僅適用于基于最小二乘的完全SLAM。2009年曾文靜[10]提出了一種基于蟻群優(yōu)化算法的最大可能性算法，該算法利用蟻群算法解決組合優(yōu)化問題的優(yōu)越性來搜索最優(yōu)的可能性關(guān)聯(lián)集合。上述SLAM中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法均假設(shè)環(huán)境地圖中的特征個數(shù)是已知的情況，然而現(xiàn)實中移動機(jī)器人運(yùn)行過程中其周圍的環(huán)境地圖中的特征個數(shù)往往是未知的。2010年John Mullane[11]等人提出Rao-Blackwellised PHD SLAM算法，該算法采用PHD(概率假設(shè)密度)來解決FastSLAM中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，不僅增強(qiáng)了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確率，而且也提高了機(jī)器人的定位精度，但是由于PHD算法本身數(shù)值積分存在著“維數(shù)災(zāi)”計算問題使得該方法計算量較大。

為了進(jìn)一步提高SLAM算法的定位精度，本文將改進(jìn)PHD算法—GMPHD(高斯混合概率假設(shè)密度)算法應(yīng)用于SLAM過程中解決其數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題。同時針對FastSLAM2.0中粒子退化和耗盡的問題，采用將無跡卡爾曼濾波(UKF)算法應(yīng)用到FastSLAM2.0中經(jīng)過改進(jìn)而得到的UFastSLAM算法。

1 UFastSLAM算法簡介

1.1 基于粒子濾波的FastSLAM算法

Montemerlo等人將Rao-Blackwellized粒子濾波[12]應(yīng)用到SLAM中于2003年提出了FastSLAM2.0算法[13]。其基本思想是將SLAM問題分解為機(jī)器人的定位問題和機(jī)器人所在環(huán)境地圖的創(chuàng)建問題，其中，機(jī)器人定位用一個粒子濾波器實現(xiàn)；由于地圖中的特征是相互獨立的，所以用N個EKF實現(xiàn)環(huán)境地圖的構(gòu)建。與其本人2002年提出的FastSLAM算法不同之處在于FastSLAM2.0算法同時考慮了控制信息和觀測信息，進(jìn)一步提高了機(jī)器人的定位精度。FastSLAM2.0是一種粒子濾波和EKF的混合算法，其優(yōu)點表現(xiàn)為：

①較低的計算時間復(fù)雜度。當(dāng)采用樹狀的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時FastSLAM2.0的計算時間復(fù)雜度為O(MlogN)明顯優(yōu)于EKFSLAM的O(N2)，其中M為粒子數(shù)，N是地圖中的特征數(shù)。

②當(dāng)后驗概率為非高斯模型時，多模型分布情況下的EKFSLAM方法通常會產(chǎn)生數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)錯誤，而FastSLAM2.0能很好地處理這種狀況，同時具有更強(qiáng)的魯棒性。

1.2 UFastSLAM算法

雖然FastSLAM2.0有上述優(yōu)點，但是該算法存在以下問題:

1)由于機(jī)器人位姿估計是采用粒子濾波算法，因此存在著粒子退化問題。

2)在引入重采樣方法后，會出現(xiàn)粒子耗盡問題。

3)在長時間運(yùn)行過程中，F(xiàn)astSLAM存在由于環(huán)境地圖協(xié)方差累積所帶來的計算復(fù)雜度增加的問題。

基于上述缺點，文獻(xiàn)[14]中提出一種改進(jìn)的FastSLAM算法——UFastSLAM算法，與FastSLAM算法相比，UFastSLAM有如下兩處改進(jìn)：

②在環(huán)境特征估計方面。地圖特征的估計是采用UKF方法的，較之EKF具有更高的估計精度。而且，在FastSLAM算法的框架下，地圖中的每個特征都是服從二維高斯分布的，計算量較小，因此采用UKF并不會造成更新的緩慢。

2 GMPHD-UFastSLAM算法基本原理

標(biāo)準(zhǔn)的UFastSLAM算法假設(shè)傳感器觀測值和地圖特征間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)是已知的來回避數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，然而在實際環(huán)境中，特征存在著很大的不確定性并且地圖的特征數(shù)也是未知的，基于此本文在UFastSLAM算法基礎(chǔ)上提出了高斯混合概率假設(shè)密度SLAM算法，即GMPHD-UFastSLAM算法。該算法的基本思想是將UFastSLAM算法中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題轉(zhuǎn)換成有限集統(tǒng)計理論跟蹤算法的高斯混合問題，即高斯混合概率假設(shè)密度(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density, GMPHD)，然后采用GMPHD解決UFastSLAM算法中的觀測值和地圖特征間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。這樣不僅可以提高數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確性而且也提高了機(jī)器人位姿估計的精度。

2.1 SLAM中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題描述

SLAM中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)是指建立安裝在移動機(jī)器人上傳感器觀測到的信息和其移動機(jī)器人運(yùn)行過程中周圍環(huán)境地圖特征之間的對應(yīng)關(guān)系，以確定它們是否有公共源。在k時刻，假設(shè)機(jī)器人上的傳感器獲得m個環(huán)境特征Ei(i=1,…,m)，其對應(yīng)的觀測值為zk,i。此時所構(gòu)建的地圖中的特征F有n個Fj(j=1,…,n)。則SLAM中數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)可以描述為：

R={j1,j2,…,ji,…,jm}

(1)

其中ji表示地圖中第j個特征Fj和第i個觀測值Ei的關(guān)聯(lián)性，當(dāng)兩者完全不相關(guān)時ji=0。

(2)

k時刻傳感器第i個實際觀測值與其估計值之間殘差vk和對應(yīng)的估計協(xié)方差Sk為：

(3)

(4)

(5)

2.2 GMPHD-UFastSLAM算法基本原理

實際環(huán)境中地圖特征個數(shù)往往是未知的，GMPHD算法在目標(biāo)數(shù)未知時可以很好的跟蹤目標(biāo)，并且具有較高的跟蹤精度。GMPHD算法是根據(jù)Mahler提出的隨機(jī)有限集理論[15]，在概率假設(shè)密度(PHD，Probability Hypothesis Density)[16]的基礎(chǔ)上經(jīng)過改進(jìn)而得到的一種多目標(biāo)跟蹤算法[17-18]。其基本思想是：當(dāng)目標(biāo)初始的先驗概率密度滿足高斯分布的形式時，通過將狀態(tài)噪聲、觀測噪聲、目標(biāo)的繁衍、新目標(biāo)的產(chǎn)生、目標(biāo)的存活概率和檢測概率表示成高斯混合的形式，之后每個時刻的后驗概率密度均表示成高斯混合的形式，GMPHD就是利用混合高斯成分來預(yù)測和更新隨機(jī)集的PHD，并估計出目標(biāo)狀態(tài)。基于此，本文采用GMPHD算法來解決UFastSLAM中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，提出了GMPHD-UFastSLAM算法。整個算法主要由機(jī)器人位姿估計和地圖特征估計兩部分組成。

(1)機(jī)器人位姿估計

采用粒子濾波和UKF相結(jié)合的方法來實現(xiàn)，首先定義

(6)

(7)

計算sigma點集，即：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

更為精確機(jī)器人位姿還需進(jìn)一步考慮觀測信息，即可根據(jù)式(12)的預(yù)測通過非線性觀測方程來計算k時刻的觀測量的均值、協(xié)方差、交互協(xié)方差矩陣和卡爾曼增益，即：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(2)地圖特征估計

Step 1 初始化

在k-1時刻，多目標(biāo)后驗密度的一階統(tǒng)計矩即GMPHD強(qiáng)度函數(shù)為：

(21)

Step 2 GMPHD強(qiáng)度預(yù)測

(22)

即地圖中新產(chǎn)生的特征表示為：

Step 3 GMPHD強(qiáng)度更新

GMPHD更新表達(dá)式如下：

(23)

其中：

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Step 4 剪枝和合并

(30)

(31)

數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)過程結(jié)束。

將經(jīng)過GMPHD計算后的特征估計值代入UKF過程中進(jìn)行更新計算，得到地圖特征的更新值。

重采樣方法和UFastSLAM算法相同。

綜上，整個GMPHD-UFastSLAM算法實現(xiàn)步驟如下：

第一步 初始化。包括初始SLAM狀態(tài)和協(xié)方差矩陣以及GMPHD算法相關(guān)參數(shù)。

第二步 預(yù)測階段。根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動模型預(yù)測機(jī)器人的位姿、速度和轉(zhuǎn)向角等。

第三步 數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。將機(jī)器人傳感器觀測到的特征信息與此時該特征的預(yù)測值進(jìn)行數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，這里采用GMPHD算法來實現(xiàn)，因為此時的特征個數(shù)是未知的。

第四步 更新地圖。采用UKF算法更新每個粒子的地圖。

第五步 重采樣得到新的粒子集。

GMPHD-UFastSLAM算法實現(xiàn)偽代碼如下：

1 初始化參數(shù)

2 fori=1 toM

4 預(yù)測機(jī)器人位姿的均值和方差式

5 觀測信息數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)

6 fort=1 toN

7 將特征的觀測值式根據(jù)式(21)～ (30)順序遞推出式(31)

8 endfor

9 for 新觀測到的特征

10 更新機(jī)器人的均值和方差

11 更新sigma點集

12 計算粒子權(quán)重

13 endfor

14 if特征j為新特征

15 初始化該特征

16 else

17 更新該特征

18 endif

19 for 不再觀測到的特征

20 將上一時刻信息賦予當(dāng)前時刻

21 endfor

23 endfor

24 fori=1 toM

25 歸一化權(quán)重并計算ωneff

26 ifωneff<ωλ

27 進(jìn)入重采樣

28 else

29 保持原粒子權(quán)重

30 endif

31 endfor

32 獲得k時刻粒子集Xk

需要進(jìn)一步說明的是原始的PHD是一個集合估計的概念，而且其不產(chǎn)生航跡。而多目標(biāo)跟蹤中，當(dāng)目標(biāo)數(shù)很大時，目標(biāo)狀態(tài)的聯(lián)合分布的計算量會非常大。如果目標(biāo)獨立運(yùn)動，可用各目標(biāo)分別濾波來代替，但這要求考慮數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題。所以為了可以解決計算量問題的方法，在處理多目標(biāo)跟蹤問題時，采用PHD濾波來得到目標(biāo)的狀態(tài)和數(shù)目。因此可將UFastSLAM算法中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題轉(zhuǎn)換成有限集統(tǒng)計理論跟蹤算法的高斯混合問題，即高斯混合概率假設(shè)密度(Gaussian Mixture Probability Hypothesis Density, GMPHD)，然后采用PHD算法的改進(jìn)算法GMPHD解決UFastSLAM算法中的地圖特征和其對應(yīng)的觀測值的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。

3 仿真實驗

為了驗證本文所提出的高斯混合概率假設(shè)密度SLAM算法的有效性和可靠性，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行了如下三個仿真實驗：

① 基于GMPHD的UFastSLAM算法定位性能比較實驗；

② 不同噪聲環(huán)境下GMPHD-UFastSLAM定位性能比較實驗；

③ 不同地圖環(huán)境下 GMPHD-UFastSLAM算法定位性能比較實驗。

實驗中所用的移動機(jī)器人運(yùn)動模型為：

(32)

其中，X=[x,y,θ]T表示機(jī)器人的狀態(tài)；v和γ分別表示移動機(jī)器人的前向速度和角速度，即控制量為uk=(v,γ)T;wx,wy和wθ分別為系統(tǒng)噪聲，本實驗采用均值為零的高斯白噪聲，用來描述機(jī)器人車輪打滑等未知條件的影響。

移動機(jī)器人觀測模型表示為：

zi(k+1)=h(x(k+1),xi)+v(k+1)

(33)

其中，xi=(xi,yi)T表示環(huán)境特征i的坐標(biāo)；zi(k+1)表示k+1時刻傳感器提取環(huán)境特征i的觀測量；v(k+1)表示觀測噪聲，實驗中采用均值為零的高斯噪聲來模擬。測量函數(shù)h(x(k+1),xi)是機(jī)器人位姿信息和觀測特征坐標(biāo)的函數(shù)。若令ρi(k)和φi(k)分別表示環(huán)境特征i與傳感器的距離和夾角，則觀測方程可進(jìn)一步表示如下：

(34)

實驗一：基于 GMPHD的UFastSLAM算法定位性能比較

為驗證本文提出的GMPHD-UFastSLAM算法在數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確性和定位精度方面的性能，進(jìn)行了基于GMPHD的UFastSLAM算法定位性能比較實驗。

仿真中相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：

協(xié)方差矩陣初始值P(0)=diag(0,0,0)；機(jī)器人的前向速度為v=3 m/s；最大轉(zhuǎn)向角為maxG=π/2；機(jī)器人所環(huán)繞的圈數(shù)為1，粒子數(shù)為10；傳感器觀測的最大距離為30 m；控制噪聲為(σv=0.3 m/s,σr=3°);觀測噪聲為(σρ=0.1 m,σφ=1°)；實驗采用MATLAB仿真環(huán)境實現(xiàn)，移動機(jī)器人在規(guī)定的運(yùn)動范圍內(nèi)從原點(0,0)開始運(yùn)動。

定位結(jié)果如圖1～3所示，其中圖1和圖2中，“*”表示實際的地圖特征，“+”表示估計出的地圖特征；實線表示實際的機(jī)器人運(yùn)動軌跡(狀態(tài))，虛線表示估計出的機(jī)器人運(yùn)動軌跡(狀態(tài))。

從圖1和圖2可以看出，本文所提出的算法(如圖1所示)所估計出的地圖特征與實際的地圖特征的距離比UFastSLAM(如圖2所示)中的距離小，即本文所提出的算法中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確性相比較于UFastSLAM有所改善。上述兩種算法的定位誤差曲線如圖3所示。從該圖可以看出本文提出的GMPHD-UFastSLAM算法定位精度亦優(yōu)于UFastSLAM算法。

圖1 GMPHD-UFastSLAM定位結(jié)果

圖2 UFastSLAM定位結(jié)果

圖3 GMPHD-UFastSLAM和UFastSLAM算法定位誤差曲線

為了進(jìn)一步驗證不同粒子數(shù)對MPHD-UFastSLAM算法定位性能的影響，本文在粒子數(shù)N=10和20時分別進(jìn)行了10次定位實驗，機(jī)器人位姿RMSE和時間的平均值如表1所示。從表1可以看出，當(dāng)粒子數(shù)增加時，這兩種算法的定位精度都有所提高；但GMPHD-UFastSLAM算法定位的均方根誤差均小于UFastSLAM算法。

表1 不同粒子數(shù)情況下的10次定位結(jié)果

綜上所述，與UFastSLAM算法相比較，本文提出的GMPHD-UFastSLAM算法不但可以應(yīng)用于地圖中特征個數(shù)未知的情況，而且還解決了粒子退化和耗盡問題，并且具有較高的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)確性和機(jī)器人定位精度。

實驗二：不同噪聲環(huán)境下 GMPHD-UFastSLAM算法定位性能比較

為了驗證GMPHD-UFastSLAM算法在噪聲環(huán)境下的定位性能，本文進(jìn)行了不同強(qiáng)度噪聲下的機(jī)器人定位性能實驗。實驗中控制噪聲和觀測噪聲取值如下(其他參數(shù)與實驗一相同)：

①噪聲情況一：相同控制噪聲不同觀測噪聲

控制噪聲為(σv=0.3 m/s,σr=3°)，與實驗一相同；觀測噪聲為(σρ=0.1 m,σφ=3°)與實驗一(σρ=0.1 m,σφ=1°)不同。GMPHD-UFastSLAM算法定位結(jié)果如圖4～5所示。

圖4 GMPHD-UFastSLAM定位結(jié)果(噪聲情況一)

圖5 GMPHD-UFastSLAM定位誤差曲線(噪聲情況一)

相同控制噪聲，不同觀測噪聲時GMPHD-UFastSLAM算法在10次定位實驗中的機(jī)器人定位RMSE和時間的平均值如表2所示。從圖1～5及表1～2可以看出，當(dāng)機(jī)器人控制噪聲一定，觀測噪聲增大時，兩種算法的定位性能均有所下降，但與UFastSLAM相比，GMPHD-UFastSLAM仍具有較好的定位性能。

表2 不同觀測噪聲時GMPHD-UFastSLAM算法定位誤差(RMSE)

② 噪聲情況二：不同控制噪聲和不同觀測噪聲

控制噪聲為(σv=0.4 m/s,σr=5°)；觀測噪聲為(σρ=0.2m,σφ=3°)。GMPHD-UFastSLAM算法和UFastSLAM算法的定位結(jié)果分別如圖6～7所示，定位誤差曲線如圖8所示。

圖6 GMPHD-UFastSLAM定位結(jié)果(噪聲情況二)

圖7 UFastSLAM定位定位結(jié)果(噪聲情況二)

圖8 兩種算法定位誤差曲線圖(噪聲情況二)

不同控制噪聲和觀測噪聲條件下，兩種算法在10次定位實驗中的機(jī)器人定位誤差RMSE和時間的平均值如表3所示。

表3 不同控制噪聲和不同觀測噪聲時兩種算法定位誤差(RMSE)

從圖6～ 8及表3可以看出，當(dāng)機(jī)器人控制噪聲和觀測噪聲增大時，兩種算法的定位性能均有所下降，但與UFastSLAM相比，GMPHD-UFastSLAM仍具有較好的定位性能。

實驗三：不同地圖環(huán)境下 GMPHD-UFastSLAM算法定位性能比較

為了驗證GMPHD-UFastSLAM算法能在不同地圖環(huán)境下的定位性能，本文針對稀疏地圖特征和密集地圖特征兩種情況進(jìn)行了機(jī)器人定位實驗。

①密集地圖特征。參數(shù)設(shè)置和定位結(jié)果見實驗一。

②稀疏地圖特征。傳感器觀測的最大距離為25 m；控制噪聲為(σv=0.2 m/s,σr=2°)；觀測噪聲為(σρ=0.1 m,σφ=1°)，定位結(jié)果圖如圖9～11所示。

圖9 稀疏地圖特征情況下的GMPHD-UFastSLAM定位結(jié)果

從密集地圖特征情況下的定位結(jié)果(如圖1～ 3所示)和稀疏地圖特征情況下的定位結(jié)果(如圖9～ 11所示)對比可以看出，在不同地圖環(huán)境下，GMPHD-UFastSLAM均能對機(jī)器人進(jìn)行有效的定位和地圖特征估計。

圖10 稀疏地圖特征情況下的UFastSLAM定位結(jié)果

圖11 稀疏地圖特征情況下兩種算法的定位誤差曲線圖

4 結(jié) 語

針對地圖特征個數(shù)未知的情況，本文將SLAM算法中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題轉(zhuǎn)換成有機(jī)集統(tǒng)計理論跟蹤算法的高斯混合問題，提出利用GMPHD算法來解決UFastSLAM中的觀測值和地圖特征間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，即GMPHD-UFastSLAM算法。仿真結(jié)果表明GMPHD-UFastSLAM算法不但解決了粒子退化和耗盡問題，也提高了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的正確性和移動機(jī)器人的定位精度。

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