基于貝葉斯理論的VTI介質(zhì)多波疊前聯(lián)合反演

侯棟甲,劉 洋,任志明,魏修成,陳天勝

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京102249;2.中國(guó)石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京102249;3.中國(guó)石油化工股份有限公司勘探開(kāi)發(fā)研究院,北京100083)

AVO分析是地震資料處理和解釋的重要手段之一,它能夠提供較為準(zhǔn)確的構(gòu)造和巖性信息。在地震勘探方法技術(shù)研究方向已由基于各向同性介質(zhì)的假設(shè)逐漸轉(zhuǎn)變到基于各向異性介質(zhì)假設(shè)的前提下,各向異性的AVO分析技術(shù)也得到了蓬勃的發(fā)展,利用疊前振幅信息反演地層巖性參數(shù)是反演領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一[1]。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在多波疊前反演方面作了大量研究,如：Stewart[2]首次給出了實(shí)際的縱、橫波聯(lián)合反演方法;楊紹國(guó)等[3]、李錄明等[4-5]、雍楊等[6-7]、王明春等[8-9]進(jìn)一步利用多波信息聯(lián)合反演出巖性參數(shù)及彈性參數(shù);李?lèi)?ài)山等[10]給出疊前AVA多參數(shù)同步反演方法并將其用于實(shí)際資料反演;陳建江等[11-12]和楊培杰等[13]提出了基于貝葉斯理論的疊前反演方法;Veire等[14]利用奇異值分解技術(shù)進(jìn)行了帶限的縱橫波聯(lián)合三參數(shù)反演;Hu等[15]利用縱波和轉(zhuǎn)換波進(jìn)行聯(lián)合反演來(lái)估算密度比和速度比,在反演過(guò)程中利用貝葉斯理論加入先驗(yàn)信息,改善反演的不適定性;鐘峙等[16]等給出了VTI介質(zhì)巖性參數(shù)反演方法;徐善輝等[17]給出了TTI介質(zhì)各向異性參數(shù)多波反演與PS波AVO分析方法。

我們介紹的基于貝葉斯理論的VTI介質(zhì)多波疊前聯(lián)合反演方法考慮了實(shí)際地下介質(zhì)廣泛存在的各向異性,采用了高精度的VTI介質(zhì)AVO近似方程,聯(lián)合轉(zhuǎn)換波和縱波地震資料來(lái)同時(shí)反演密度比、速度比、各向異性參數(shù)差等5個(gè)參數(shù)。為了提高反演結(jié)果的精度和穩(wěn)定性,在反演過(guò)程中引入貝葉斯理論,假定先驗(yàn)信息服從高斯分布,待求參數(shù)服從改進(jìn)的Cauchy分布,并對(duì)待求參數(shù)去除相關(guān)性。合成多波數(shù)據(jù)測(cè)試驗(yàn)證了該方法反演結(jié)果精度高、抗噪能強(qiáng)、穩(wěn)定性好。

1 基本原理

VTI介質(zhì)多波疊前聯(lián)合反演的核心是該類(lèi)介質(zhì)的AVO正演方程和疊前聯(lián)合反演方法。

1.1 VTI介質(zhì)AVO基本原理

根據(jù)VTI介質(zhì)理論,可以建立兩個(gè)各向異性彈性介質(zhì)分界面處縱波入射時(shí)的反射和透射系數(shù)公式,其精確形式可以用VTI介質(zhì)中的Zoeppritz方程來(lái)描述。由于其表達(dá)形式過(guò)于復(fù)雜,可對(duì)精確方程化簡(jiǎn)得到近似表達(dá)式,我們采用Ruger提出的VTI介質(zhì)近似反射系數(shù)公式[18]：

(1)

VTI介質(zhì)中轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)的各向同性項(xiàng)為

(2)

(3)

式中：δ,ε為各向異性參數(shù)。為了便于表示轉(zhuǎn)換波反射系數(shù),令

則

(8)

公式(8)為VTI介質(zhì)中用于反演的轉(zhuǎn)換波反射系數(shù)近似表達(dá)式。

同理,VTI介質(zhì)中縱波反射系數(shù)的各向同性項(xiàng)為

(9)

VTI介質(zhì)中縱波反射系數(shù)所包含的各向異性項(xiàng)為

(10)

則可得

(16)

公式(16)即為VTI介質(zhì)中用于反演的縱波反射系數(shù)近似表達(dá)式。在小角度入射時(shí),(8)式和(16)式的誤差較小,均具有較高精度[18]。

1.2 VTI介質(zhì)多波聯(lián)合反演原理

為了從地震記錄中反演出密度比、速度比和各向異性參數(shù)差,我們首先利用最小二乘原理構(gòu)建如下多波聯(lián)合反演目標(biāo)函數(shù)[14]：

(17)

式中：dPS,dPP分別表示實(shí)際觀測(cè)的疊前PS波和PP波記錄經(jīng)過(guò)反褶積、疊前偏移等處理后的結(jié)果;RPP,RPS分別表示VTI介質(zhì)中PP波和PS波反射系數(shù)序列,其具體表達(dá)形式如(8)式和(16)式所示;M,N分別表示參加反演的轉(zhuǎn)換波道數(shù)和縱波道數(shù);i,j分別表示PS波和PP波資料道序號(hào);η代表轉(zhuǎn)換波加權(quán)因子(0≤η≤1),通過(guò)分析多波地震資料的品質(zhì)可以確定加權(quán)因子大小,品質(zhì)好的資料加權(quán)系數(shù)相應(yīng)較大。為了使目標(biāo)函數(shù)取得最小值,將目標(biāo)函數(shù)LS對(duì)待求參數(shù)分別求偏導(dǎo)數(shù),并取偏導(dǎo)數(shù)為0,可得方程

(18)

式中：G是一個(gè)5階方陣;D為5維列向量。其各元素詳見(jiàn)附錄A。

(19)

(20)

1.3 引入貝葉斯理論

為了加入待求參數(shù)的先驗(yàn)約束信息,并使反演更加穩(wěn)定,我們?cè)诜囱葸^(guò)程中引入貝葉斯理論。

引入貝葉斯理論后,假設(shè)實(shí)際地震記錄的高斯分布是獨(dú)立的,利用乘積準(zhǔn)則得到似然函數(shù)的解為：

(21)

式中：M+N為地震記錄的總道數(shù);δer為誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

為了使反演結(jié)果獲得較高的分辨率,我們采用改進(jìn)的Cauchy分布來(lái)描述待反演參數(shù)的分布[19]：

(22)

(23)

根據(jù)貝葉斯理論,則待反演參數(shù)的后驗(yàn)概率分布可表示為

(24)

對(duì)(24)式右邊取對(duì)數(shù)可得目標(biāo)函數(shù)式為

(25)

為了獲得目標(biāo)函數(shù)的最小值,我們將以上目標(biāo)函數(shù)對(duì)待反演參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),并令其為0,即可得

考慮到反射系數(shù)對(duì)各待求參數(shù)的敏感程度不一致,我們?cè)诘蠼鈺r(shí)采用分步迭代的策略來(lái)反演待求參數(shù)。在迭代一開(kāi)始我們主要修正較敏感的密度比、橫波速度比、縱波速度比這3個(gè)參數(shù),當(dāng)這3個(gè)參數(shù)達(dá)到給定誤差時(shí),再繼續(xù)迭代求解,開(kāi)始修正兩個(gè)各向異性參數(shù)差,直到達(dá)到給定誤差,迭代終止,輸出結(jié)果即為待求參數(shù)。

2 模型數(shù)據(jù)測(cè)試

2.1 無(wú)噪合成數(shù)據(jù)測(cè)試

地層模型參數(shù)真實(shí)值采用實(shí)際測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到時(shí)間域的結(jié)果,將地層模型參數(shù)真實(shí)值濾波處理的結(jié)果作為反演的初始模型,地層模型參數(shù)(密度、橫波速度、縱波速度、各向異性參數(shù)δ和各向異性參數(shù)ε)如圖1所示,其中藍(lán)線(xiàn)表示參數(shù)的真實(shí)值,紅線(xiàn)表示將真實(shí)值平滑處理后的結(jié)果,將其作為待反演參數(shù)的初始模型。

采用圖1中所示的地層模型參數(shù)真實(shí)值,根據(jù)VTI介質(zhì)中的Snell定律,通過(guò)射線(xiàn)追蹤獲得炮檢距所對(duì)應(yīng)的入射角等,Buland等[20]用模型證明,偏移距道集到角道集之間的轉(zhuǎn)換誤差可以忽略不計(jì)。通過(guò)(8)式和(16)式求得轉(zhuǎn)換波、縱波反射系數(shù)。利用褶積模型獲得多波合成地震記錄,制作合成記錄時(shí),首道與炮點(diǎn)重合,道間距為80m,一共20道,給定的子波為主頻40Hz的Ricker子波,時(shí)間采樣率為1ms。經(jīng)過(guò)動(dòng)校正之后在縱波時(shí)間域的多波合成地震記錄如圖2所示。圖2a為轉(zhuǎn)換波剖面,圖2b為縱波剖面,截取600～800ms的地震反射記錄來(lái)反演待求參數(shù)。

圖1 地層模型參數(shù)a 密度; b 橫波速度; c 縱波速度; d 各向異性參數(shù)δ; e 各向異性參數(shù)ε

對(duì)合成多波地震記錄分別采用聯(lián)合反演和縱波反演方法來(lái)計(jì)算5個(gè)參數(shù)。在聯(lián)合反演時(shí),考慮到轉(zhuǎn)換波資料和縱波資料所受影響類(lèi)似,且它們對(duì)待求反演參數(shù)的敏感性基本一致,故我們將轉(zhuǎn)換波和縱波加權(quán)系數(shù)均設(shè)置為0.5。縱波反演時(shí)其流程和聯(lián)合反演一致,將聯(lián)合反演時(shí)的轉(zhuǎn)換波加權(quán)因子η設(shè)置為0即可。反演結(jié)果如圖3至圖7所示?？傮w來(lái)看,聯(lián)合反演的結(jié)果誤差較小,精度更高。

圖2 經(jīng)動(dòng)校正后縱波始時(shí)間域的多波合成地震記錄a 轉(zhuǎn)換波剖面; b 縱波剖面

圖3 無(wú)噪合成數(shù)據(jù)反演的密度比a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖4 無(wú)噪合成數(shù)據(jù)反演的橫波速度比a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖5 無(wú)噪合成數(shù)據(jù)反演的縱波速度比a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖6 無(wú)噪合成數(shù)據(jù)反演的Δδa 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖7 無(wú)噪合成數(shù)據(jù)反演的Δεa 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

由于轉(zhuǎn)換波、縱波反射系數(shù)對(duì)各向異性參數(shù)不是特別敏感,各向異性參數(shù)的反演結(jié)果在局部的誤差稍大一些,但是聯(lián)合反演的結(jié)果較縱波反演的結(jié)果有了較大的改善。我們對(duì)反演結(jié)果的誤差能量做了統(tǒng)計(jì),聯(lián)合反演時(shí)密度比、橫波速度比、縱波速度比、各向異性參數(shù)差(Δδ,Δε)的誤差能量分別為0.0019,0.0023,0.0026,0.0849,0.0853;縱波單獨(dú)反演時(shí)密度比、橫波速度比、縱波速度比、各向異性參數(shù)差(Δδ,Δε)的誤差能量分別為0.0025,0.0031,0.0032,0.1673,0.1713。且聯(lián)合反演時(shí)的正演矩陣的條件數(shù)減小,其穩(wěn)定性較縱波反演有所提高。

2.2 加噪合成數(shù)據(jù)測(cè)試

為了測(cè)試聯(lián)合反演的抗噪性能,我們?cè)诙嗖ê铣傻卣鹩涗浿屑尤腚S機(jī)噪聲,將信噪比設(shè)置為3,其結(jié)果如圖8所示,圖8a為轉(zhuǎn)換波剖面,圖8b為縱波剖面。對(duì)加入噪聲的地震記錄分別采用聯(lián)合反演、縱波反演方法來(lái)估算密度比、橫波速度比、縱波速度比、各向異性參數(shù)差(Δδ,Δε)5個(gè)參數(shù),其結(jié)果如圖9至圖13所示。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),在信噪比較低的情況下,聯(lián)合反演的結(jié)果誤差依然較小,精度較高。我們對(duì)反演結(jié)果的誤差能量做了統(tǒng)計(jì),聯(lián)合反演時(shí)密度比、橫波速度比、縱波速度比、各向異性參數(shù)差(Δδ,Δε)的誤差能量分別為0.0021,0.0024,0.0028,0.0879,0.0895;縱波單獨(dú)反演時(shí)密度比、橫波速度比、縱波速度比、各向異性參數(shù)差(Δδ,Δε)的誤差能量分別為0.0026,0.0033,0.0034,0.1691,0.1727。且在聯(lián)合反演過(guò)程中,正演矩陣條件數(shù)減小,較縱波反演而言,其穩(wěn)定性增強(qiáng)。聯(lián)合反演可以改善反演的不適定性。

圖8 加入隨機(jī)噪聲(信噪比為3)的多波合成地震記錄a 轉(zhuǎn)換波剖面; b 縱波剖面

圖9 加噪合成數(shù)據(jù)反演的密度比(信噪比為3)a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖10 加噪合成數(shù)據(jù)反演的橫波速度比(信噪比為3)a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖11 加噪合成數(shù)據(jù)反演的縱波速度比(信噪比為3)a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖12 加噪合成數(shù)據(jù)反演的Δδ(信噪比為3)a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

圖13 加噪合成數(shù)據(jù)反演的Δε(信噪比為3)a 聯(lián)合反演結(jié)果; b 縱波反演結(jié)果; c 參數(shù)真實(shí)值; d 誤差比較

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)基于貝葉斯理論的VTI介質(zhì)多波疊前聯(lián)合反演方法研究,我們得出如下結(jié)論：

1) 反演建立在正演的基礎(chǔ)上,我們選用的VTI介質(zhì)反射系數(shù)近似公式具有較高精度,且考慮了介質(zhì)的各向異性,與實(shí)際地質(zhì)情況更加吻合;

2) 利用多波地震資料來(lái)聯(lián)合反演密度比、速度比、各向異性參數(shù)差具有較高的精度,可以較好地反演出密度比和速度比；反射系數(shù)對(duì)各向異性參數(shù)差的敏感性低一些,反演結(jié)果的精度稍低一些;

3) 在反演過(guò)程中引入貝葉斯理論加入井約束信息,可以提高解的精度,增強(qiáng)反演的穩(wěn)定性,改善反演的不適定性。

通過(guò)無(wú)噪和加噪的多波合成地震數(shù)據(jù)測(cè)試,表明本文提出的聯(lián)合反演方法反演結(jié)果精度高,抗噪能力強(qiáng),穩(wěn)定性好,驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

附錄A

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

(A16)

(A17)

(A18)

(A19)

(A20)

參 考 文 獻(xiàn)

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