正交曲線坐標系基向量的二階偏導數

陳 功，朱文輝

(1.復旦大學 力學與工程科學系， 上海 200443; 2.南通職業(yè)大學 基礎課部,江蘇 南通 226007)

正交曲線坐標系的引入，使物理學和工程技術中許多問題的研究得以大幅簡化[1-3]。不同于直角坐標系，正交曲線坐標系的基是流動的，即為坐標的向量值函數，因此基向量對坐標的求導公式是正交曲線坐標系下計算的基礎。一階偏導數公式可參看文獻[4、5]等，在場論、張量等的計算中經常會用到二階偏導數[6,7]，但統(tǒng)一的計算公式目前尚未見到。正交曲線坐標系基向量的偏導數是三維向量，坐標系數由拉梅系數[8]及其偏導數組成。在二階偏導數公式的推導過程中，按照不同的求導順序，二階混合偏導數向量的對應系數會產生不同的表達式。本文運用基變換的單位正交性證明了當坐標函數三階偏導數連續(xù)時拉梅系數滿足的兩個偏微分方程，從而上述系數的不同表達式實際上是相等的，因此基向量的二階混合偏導數與求導順序無關，并按4種基本類型給出了基向量的二階偏導數公式。

1 引理

以下3個引理給出了空間任意一點處的位置向量和單位基向量關于曲線坐標的偏導數與拉梅系數的基本關系，用于證明本文的主要結論。

引理1

(1)

(2)

證明參見文獻[8]。由于i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個排列，所以(1)式和(2)式實際上一共給出了9個公式。

引理2

(3)

(4)

其中i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個排列。

引理3 設i、j、k互不相同，為1、2、3的一個排列，記矩陣(ri,rj,rk)T=A(ijk)，對角陣diag(Hi,Hj,Hk)=H(ijk)，則B(ijk)=H(ijk)-1A(ijk)為正交矩陣，即B(ijk)B(ijk)T=B(ijk)TB(ijk)=E，E是單位矩陣。特別地，B(123)=H(123)-1A(123)=(e1,e2,e3)T是直角坐標到曲線坐標的基變換陣。

2 主要結論及其證明

按照不同的求導順序計算二階偏導數時，二階混合偏導數向量的對應系數會產生不同的表達式，事實上，它們是相等的。下面的定理1給出了拉梅系數滿足的兩個偏微分方程，這兩個方程正是證明這一結論的關鍵所在。由此，定理2證明了基向量的二階混合偏導數與求導順序無關，并按4種基本類型給出了基向量的二階偏導數公式。定理1和定理2是本文的主要結論。

定理1 設i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個排列，Hi為正交曲線坐標系的拉梅系數，則有

(5)

(6)

(7)

A(jik)rij=(rj,ri,rk)Trij=

A(jik)rjk=(rj,ri,rk)Trjk=

于是

(-HiHi,j,HiHi,i,-HiHi,k)H(jik)-2(HjHj,k,0,HkHk,j)T=

下面證明公式(6)。

(8)

類似于(7)式的證明，有

代入(8)式，整理可得

寫成向量內積的形式即為(6)式。

(5)式和(6)式表示了拉梅系數二階偏導數滿足的一種對稱關系。特別地，(5)式說明第i個拉梅系數對兩個異于下標的變量的二階混合偏導數可以用一階偏導數的算術運算直接得到。

定理2 曲線坐標系的基向量ei(i=1,2,3)的二階偏導數有4種類型，計算公式分別為

(9)

(10)

(11)

(12)

這里i、,j、k互不相同，均表示1、2、3的一個排列。

下面推導ei,jk和ei,kj的計算公式，即(11)式，同時證明ei,jk=ei,jk。

類似地可求得

ei,kj=

比較上述兩式可知，ei,jk=ei,jk當且僅當

(13)

且

(14)

最后推導公式(12)，即二階偏導數ei,ji和ei,ij，并證明ei,ji=ei,ij。

ei,ji=

(15)

(16)

(17)

比較(15)和(17)式可知，ei,ji=ei,ij當且僅當

(18)

事實上，(18)式由定理1(6)式移項可得，故ei,ji=ei,ij，且(12)式得證。

由于i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個排列，所以(9)和(11)分別給出了3個公式，公式(10)和(12)分別給出了6個公式。

3 結語

包括著名的Navier-Stokes方程在內的大量流體力學運動方程由于流體復雜的幾何形態(tài)，需要在與之相匹配的正交曲線坐標系中進行研究分析和計算表達，而對各種變量的求偏導數比比皆是，二階及其以上的偏導數的計算繁瑣、形式龐大。本文給出的正交曲線坐標系中基向量的二階偏導數計算公式可以使計算大為簡化，對理論研究和工程應用都有一定的實用價值。運用本文中式(9)～式(12)，可以很快得出圓柱坐標系中基向量的二階偏導數均為0；類似地，對于如球坐標系等更加復雜的正交曲線坐標系，其基向量的各個二階偏導數亦可方便地求出。

參考文獻：

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