基于MATLAB的MCM對GUM不確定度框架驗(yàn)證

楊圖強(qiáng)

（三明市計(jì)量所，福建 三明 365000）

1 引言

ISO/IEC GUIDE 98-3：2008《 測 量 不 確定度 第3部分：測量不確定度表示指南》（Uncertainty of measurement-part 3：Guide to the expression of uncertainty in measurement），簡稱GUM。我國在這一最新國際標(biāo)準(zhǔn)和貫徹JJF1059-1999的基礎(chǔ)上，修訂并發(fā)布實(shí)施了JJF1059.1-2012。在日常的不確定度評定中，GUM為主要的評定方法。GUM通過建立輸出量是輸入量的函數(shù)關(guān)系這一測量模型，應(yīng)用不確定傳播率傳播輸入量的最佳估計(jì)值和其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度獲得輸出量的估計(jì)值及其不確定度。但GUM應(yīng)用有一定的局限性和假設(shè)條件，僅當(dāng)假設(shè)輸入量的概率分布呈對稱分布或近似為正態(tài)分布、t分布[1]；測量模型為線性模型、可轉(zhuǎn)換為線性模型或可用線性模型近似的模型時(shí)方可采用GUM進(jìn)行評定。

蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)簡稱MCM，與GUM不同，其評定測量不確定度中，應(yīng)用分布傳播的方式，使用建模階段所提供的信息來確定輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）。輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）用于獲取輸出量的估計(jì)、標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及給定包含概率下輸出量的包含區(qū)間。MCM尤其適用于不宜對測量模型進(jìn)行線性化等近似場合以及輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）較大程度地偏離正態(tài)分布或t分布這兩種情況。2013年6月21日起實(shí)施的JJF1059.2-2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》（Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty）指出MCM的適用范圍比GUM更廣泛，且可用MCM對GUM不確定度框架進(jìn)行驗(yàn)證，并評價(jià)GUM評定的結(jié)果。

文中以動平衡機(jī)不平衡量校準(zhǔn)中示值的測量不確定度評定為例，運(yùn)用常規(guī)的GUM進(jìn)行不確定度評定，再通過MCM對GUM的不確定度框架進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)合實(shí)例的理論闡述，能給讀者在不確定度框架驗(yàn)證中提供參考和幫助，較快地掌握不確定度框架的驗(yàn)證方法，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

2 驗(yàn)證方法及步驟

2.1 驗(yàn)證方法

JJF1059.2-2012規(guī)定采用MCM對GUM不確定度框架驗(yàn)證時(shí)采用自適應(yīng)蒙特卡洛法。自適應(yīng)蒙特卡洛法（MCM）的計(jì)算算法在JJF1059.2-2012的4.8.4節(jié)中已有詳細(xì)闡述，在此不做贅述。

2.2 驗(yàn)證步驟

（1）運(yùn)用GUM不確定度框架得到輸出量

（2）運(yùn)用蒙特卡洛法獲得輸出量估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)以及包含區(qū)間的端點(diǎn)值y_low和 y_high；

（3）確定數(shù)值容差δ；

（4）通過公式計(jì)算

3 驗(yàn)證實(shí)例——GUM法

3.1 數(shù)學(xué)模型

依據(jù)JJF1151-2006《車輪動平衡機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范》，以AT-7010型車輪動平衡機(jī)現(xiàn)場校準(zhǔn)為例，動平衡校準(zhǔn)示值不確定度的測量模型為：

3.2 靈敏系數(shù)

3.3 標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定

3.3.1 試重標(biāo)稱值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

試重在使用中按標(biāo)稱值使用，標(biāo)稱值以g為單位，其所引起的極限誤差為0.5g,分布為均勻分布，包含因子,所以其引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

3.3.2 被檢車輪動平衡機(jī)不平衡量示值引入的

標(biāo)準(zhǔn)不確定度

該型被檢車輪動平衡機(jī)不平衡量示值分度值為5g，其所引起的極限誤差為2.5g,分布為均勻分布，包含因子，所以其引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

3.3.3 被檢車輪動平衡機(jī)不平衡量示值重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

用一試重為120g的砝碼，對車輪動平衡機(jī)做10次動平衡測試，車輪動平衡機(jī)的不平衡質(zhì)量示值顯示如下：120g, 120g, 125g, 120g, 120g,120g, 120g, 120g, 120g, 120g。

3.4 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

3.5 擴(kuò)展不確定度

則該車輪動平衡機(jī)示值測量修正值的擴(kuò)展不確定度為4.2g，k=1.96。

4 驗(yàn)證實(shí)例——MCM法

4.1 數(shù)學(xué)模型

該例中，用加載試重測試的方式測量不平衡量，屬于直接測量，因此數(shù)學(xué)模型為f=X。此時(shí)應(yīng)考慮，試重自身的誤差以及數(shù)顯分辨力對測量結(jié)果會產(chǎn)生影響，應(yīng)將這些影響補(bǔ)充到數(shù)學(xué)模型中，則數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

4.2 輸入量PDF設(shè)定

表1 輸入量及概率密度函數(shù)PDF

4.3 蒙特卡洛模擬次數(shù)

4.4 數(shù)值容差δ

測量不確定度取兩位有效數(shù)字，ndig=2， =-1；因此數(shù)值容差δ=1/2×10-1=0.05。自適應(yīng)蒙特卡洛法建議采用數(shù)值容差為δ/5的結(jié)果，則該實(shí)例在自適應(yīng)蒙特卡洛法中實(shí)際使用的數(shù)值容差為0.01[4]。

4.5 MCM程序

MCM程序通過以下步驟實(shí)現(xiàn)概率分布傳播和不確定度評定。

首先，定義MCM的輸入，選擇合適的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)M，確定與輸出量相關(guān)的輸入量的數(shù)學(xué)模型，并為其設(shè)定PDF(如正態(tài)分布、矩形分布等)；

其次，將MCM進(jìn)行傳播，從輸入量的PDF中抽取M個樣本值，對每個樣本值進(jìn)行計(jì)算，得出輸出量的模型值；

最后，獲得MCM的輸出，將獲得的輸出量模型值進(jìn)行遞增次序排列，得出輸出量的分布函數(shù)的離散表示G，由該離散表示G計(jì)算估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及在給定包含概率p時(shí)的包含區(qū)間[2]。

MCM程序流程圖如下圖1所示。

圖1 MCM程序流程圖

MCM的matlab程序如下：

5 驗(yàn)證

運(yùn)行以上MATLAB程序得出各參數(shù)值如下表2所示。

表2 MATLAB運(yùn)行結(jié)果

將GUM的計(jì)算結(jié)果與MCM運(yùn)行結(jié)果匯總?cè)缦卤?所示。

表3 GUM/MCM的最終結(jié)果

由以上數(shù)據(jù)得出，MCM對GUM不確定度框架通過了驗(yàn)證，且MCM與GUM兩者評定出的結(jié)果非常接近，達(dá)到預(yù)期。比較結(jié)果有利，GUM不確定度框架適用于此場合及今后足夠類似的情形。

6 結(jié)束語

MCM的適用范圍比GUM法更為廣泛，對數(shù)學(xué)模型沒有線性限制，不受輸入量相關(guān)性以及復(fù)雜模型的影響，MCM通過傳播測量模型輸入量的PDF獲得輸出量的PDF，從輸出量的PDF可以清晰地獲得期望、中位數(shù)、位置估計(jì)、標(biāo)準(zhǔn)偏差等較GUM更為豐富的內(nèi)容。MATLAB作為一種可視化的高級編程語言，在MCM評定中能快速自動處理幾何級倍數(shù)的向量、矩陣運(yùn)算，為MCM在實(shí)際中的應(yīng)用提供了可能[5]。在實(shí)際不確定度評定中建議同時(shí)采用GUM和MCM兩種方法，并對結(jié)果進(jìn)行比較。如若比較結(jié)果滿意或通過驗(yàn)證，則GUM適用。否則，應(yīng)采用MCM方法進(jìn)行評定。

[1]JJF1059.1-2012 測量不確定度評定與表示[S]. 北京：中國質(zhì)檢出版社，2013.

[2]JJF1059.2-2012 用蒙特卡洛法評定測量不確定度[S].北京：中國質(zhì)檢出版社，2013.

[3]JJF1151-2006 車輪動平衡機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范[S]. 北京：中國計(jì)量出版社，2006.

[4]周桃庚.用蒙特卡洛法評定測量不確定度[M].中國質(zhì)檢出版社：北京，2013.

[5]楊建.蒙特卡羅法評定測量不確定度中相關(guān)隨機(jī)變量的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].計(jì)測技術(shù)，2012,32(4)：51-54.