概率論解題中的化歸思想

馬小霞

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

概率論解題中的化歸思想

馬小霞

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

“化歸”是指將一些未知的問題化成已有結(jié)果的問題來進(jìn)行計(jì)算的一種方法，本文主要通過一些例題說明化歸方法在概率論解題過程中所起到的簡化計(jì)算、提高效率的作用.

化歸思想；概率分布列；概率密度；正態(tài)分布

“化歸思想”是指將需要求解的未知問題轉(zhuǎn)換成已知結(jié)果的問題形式，從而輕松求解的思想方法，在數(shù)學(xué)各方面的解題中被廣泛應(yīng)用.下面主要通過一些實(shí)例說明化歸思想方法在概率論的解題過程中所能達(dá)到的效果.

1 利用事件的概率化歸

在許多的概率問題中，從正面求事件的概率可能很麻煩，或者甚至不能求，此時(shí)可想到先求事件的逆事件概率，再利用其與事件概率和為1的性質(zhì)來求解.

例1 設(shè)有某操作電子游戲記者，在每次射擊中命中率為0.004，求n次獨(dú)立射擊過程中擊中目標(biāo)的概率？

分析:由于此處所求事件“擊中目標(biāo)”實(shí)為事件“至少擊中目標(biāo)一次”，因此從正面完成太麻煩，于是想到可以從其事件逆入手求解.

2 利用隨機(jī)變量的性質(zhì)化歸

由于隨機(jī)變量有一些固定的性質(zhì)，如果在解題過程中能夠通過簡單的變形化出相應(yīng)的形式，那么就可以利用這些性質(zhì)輕松解題.

例2隨機(jī)變量X∽b(n,p)，求X的期望E(X).

注：此解題過程中主要應(yīng)用了離散型隨機(jī)變量概率分布列的和為1的性質(zhì)，將上式中的n-k提出常數(shù)倍np后，轉(zhuǎn)換成，而該式是二項(xiàng)分布b(n-1,p)的概率分布列的各項(xiàng)和，即知值為1，從而求出最終結(jié)果.這個(gè)方法在離散型隨機(jī)變量的期望求解過程中被廣泛應(yīng)用.

因此，以后凡碰到與某個(gè)概率分布列或概率密度相差常數(shù)倍的題型，都可以以相應(yīng)分布列或概率密度進(jìn)行化歸.3 連續(xù)性隨機(jī)變量解題中最具有代表性的化歸可以說是一般形式的正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率之間的轉(zhuǎn)換了，利用的依據(jù)是下面的定理.

定理 若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則有

例4若隨機(jī)變量X1~N(1,4)，X2~N(-1,5)，記p1=P(|X1|≤1)，p2=P(|X2|≤1)，比較p1與p2的大??？

以上例題只是對(duì)概率論解題過程中的化歸做了個(gè)簡單示范，其實(shí)，化歸思想在概率論解題中的作用遠(yuǎn)不止如此，這需要學(xué)習(xí)過程中的不斷總結(jié)和積累.

〔1〕盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔2〕茆詩松,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

O211

A

1673-260X（2014）01-0003-01