基于重整化群方法的三棱柱單元整體破壞概率模型

顧培英,鄧 昌,湯 雷

(1.南京水利科學(xué)研究院材料結(jié)構(gòu)研究所,江蘇 南京 210029; 2.水利部水科學(xué)與水工程重點實驗室,江蘇 南京 210029)

目前,許多混凝土結(jié)構(gòu)承擔(dān)著生命線工程的重任,其失事所造成的直接、間接經(jīng)濟損失不可估量。我國很多混凝土結(jié)構(gòu)已進入中老年期,往往存在各種損傷與病害。此外,若混凝土結(jié)構(gòu)遭受地震及其他意外事故,局部破壞在所難免,那么局部破壞對整體安全性的影響以及是否會導(dǎo)致整體倒塌等破壞是目前還無法準確回答的問題，所以有必要開展水工混凝土結(jié)構(gòu)整體安全性研究。

混凝土結(jié)構(gòu)損傷狀況一般是通過外觀破損調(diào)查,并借助于多種無損或局部有損專項檢測技術(shù)來獲得,但從某種意義上講僅依據(jù)局部檢測結(jié)果還難以真正達到整體安全性評價的目的。顧培英等[1]提出了一種基于重整化群理論的混凝土結(jié)構(gòu)整體安全性評價新方法。重整化群方法是美國威爾遜在量子場理論中提出來的,他把量子場論中的重整化群方法應(yīng)用于臨界現(xiàn)象研究,提出重整化群在不動點附近的性質(zhì)決定了體系的臨界行為,建立了相變臨界現(xiàn)象理論,這是臨界現(xiàn)象研究領(lǐng)域的重大突破,1982年威爾遜也因此獲得諾貝爾物理學(xué)獎[2-4]。相變基本特點是系統(tǒng)變量連續(xù)變化會造成系統(tǒng)宏觀參數(shù)的不連續(xù)變化(突變)。重整化群方法可處理各種相變和臨界點問題,其利用了標度不變性,先在最小標度上研究較為簡單的相互作用系統(tǒng),然后將問題重整化,進一步在大的標度下利用同樣系統(tǒng)研究大的相互作用系統(tǒng),過程不斷重復(fù)[5]。重整化群方法主要有3個方面的應(yīng)用:①多孔介質(zhì)中的滲流;②巖石破碎;③斷層破裂。

重整化群方法成功地解釋了各種相變和臨界點問題,得到尺度越來越大情況下的原胞破壞概率遞推公式,建立的是局部與整體的關(guān)系,該方法已在巖石破碎和斷層破裂等方面得到應(yīng)用[6-16]。由于混凝土與巖石均屬脆性材料,性能較為相似,所以可以將重整化群方法“嫁接”到混凝土結(jié)構(gòu)。顧培英等[17]建立了基于小單元、大單元試驗結(jié)果的混凝土局部損傷概率確定方法,并針對數(shù)值仿真成果,提出混凝土局部損傷概率服從二參數(shù)的Weibull分布。顧培英等[1]還針對正方體的水工混凝土結(jié)構(gòu),建立了不等局部損傷概率與整體安全性之間的關(guān)系,但一般水工混凝土結(jié)構(gòu)不具備正方體的條件,經(jīng)常包含斜面或曲面,需分別對結(jié)構(gòu)體和單元體進行處理,建立符合實際水工混凝土結(jié)構(gòu)的整體破壞概率數(shù)學(xué)模型。

重整化群方法處理大體積塊體結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越性,適宜應(yīng)用于重力壩的整體安全性評價。重力壩基本剖面呈三角形,為適應(yīng)地基變形、溫度變化和混凝土的澆筑能力,用橫縫將壩體分隔成若干個獨立工作壩段。可將每個壩段作為一個整體加以分析,壩段呈三棱柱體結(jié)構(gòu),所以需推導(dǎo)三棱柱單元的混凝土結(jié)構(gòu)整體破壞概率,其他斜面或曲面結(jié)構(gòu)可通過等效、補償處理,綜合利用三棱柱單元和正方體單元數(shù)學(xué)模型得到整體破壞概率。本文在基于正方體單元巖石破碎概率模型的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)基于三棱柱單元的結(jié)構(gòu)整體破壞概率模型,得到導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體破壞的單元破壞概率臨界值,并對實際工程的原胞級數(shù)取值進行分析。

1 正方體單元巖石破碎概率模型

根據(jù)文獻[1,5],正方體單元巖石破碎情況如圖1所示。圖1中破碎單元用正方體角上的黑點表示,a、b、c、d、e、f分別為某破碎單元數(shù)不變情況下的不同組合形式,數(shù)字為破碎單元個數(shù),括號內(nèi)的數(shù)字表示出現(xiàn)該破碎情況的次數(shù)。圖1(n)(q)(s)(t)(u)(v)是6種巖石整體破碎情況。

圖1所示的模型假定8個單元的破碎概率相等,用p0表示,分別得出6種情況下各自的破碎概率，并求和， 6種巖石破碎情況下1級原胞破碎概率p1與1級單元破損概率p0之間存在以下關(guān)系[1,5]:

(1)

重整化后,可以將同樣的方法應(yīng)用于更高級原胞,將式(1)中的下標1、0替換成n+1、n,有

(2)

如果1級原胞特征長度為2h,則第n級原胞的特征長度為2nh。

圖1 正方體單元巖石破碎情況示意圖

2 三棱柱單元混凝土整體破壞概率模型

2.1 公式推導(dǎo)

圖2為三棱柱單元混凝土3級原胞三維模型示意圖。與正方體單元巖石破碎假設(shè)類似[1,5],原胞中每個單元要么破碎,要么完整,如果原胞兩面之間有一不破壞的“支柱”相連,則認為原胞是完整的。此模型也是8個單元組成1級原胞，每個原胞破壞狀況也有256種情況,去掉重復(fù)情況,從拓撲學(xué)角度共有36種不同情況,三棱柱單元混凝土破壞情況如圖3所示(編號含義同圖2)。圖3(F)(H)(I)(J)是4種原胞破壞情況。圖4為6c6和6d6三棱柱單元混凝土原胞示意圖,圖4中空白部分表示破壞單元,陰影部分表示完整單元。6c6具有用陰影部分表示的非破壞“支柱”,因而認為是完整的,而6d6任兩個面之間沒有由完整單元組成的“支柱”支撐,是一個破壞原胞。

圖2 三棱柱單元混凝土3級原胞三維模型示意圖

圖3 三棱柱單元混凝土破壞情況示意圖

圖4 6c6和6d6三棱柱單元混凝土原胞示意圖

(3)

重整化后,可以將同樣的方法應(yīng)用于更高級數(shù),將式(3)中的下標1、0替換成n+1、n,有

(4)

2.2 不動點分析

圖5為基于三棱柱單元混凝土整體破壞概率模型pn+1與pn的關(guān)系曲線。為了研究不動點,將式(4)改寫成

f(x)=x6(5x2-16x+12)

(5)

圖5 基于三棱柱單元混凝土整體破壞概率模型pn+1與pn的關(guān)系曲線

令f(x)=x,可得到不動點。在0

為說明式(4)的迭代過程,考慮一特定情況：當(dāng)p0=0.70時,由圖5可得p1=0.382 4、p2=0.020 7、p3=9.18×10-10,p3接近零,當(dāng)?shù)^續(xù)下去時,p∞=0,因此,p0=0.70時不會發(fā)生整體破壞。當(dāng)p0=0.95時,p1=0.964 8、p2=0.981 9、p3=0.995 0,p3→1。p*=0.924是一個臨界點,它對應(yīng)于混凝土發(fā)生突變式的破壞。所以,對于小于臨界值的概率,即0

3 原胞級數(shù)取值討論

若最大級原胞對應(yīng)于某一有限的三棱柱混凝土結(jié)構(gòu)體,每個單元破壞概率相等且已知,則可通過式(4)遞推得到該結(jié)構(gòu)整體破壞概率。理論上講,原胞級數(shù)趨于無窮大,即1級單元尺度遠小于最大級原胞尺度時,若單元破壞概率不是臨界值p*,則整體破壞概率只有0、1兩種可能,即要么破壞、要么完整。但在實際工程應(yīng)用中,原胞級數(shù)不可能取很大,下面對迭代次數(shù)進行進一步的分析。表1為三棱柱單元混凝土結(jié)構(gòu)前5次迭代整體破壞概率計算結(jié)果。

表1 三棱柱單元混凝土結(jié)構(gòu)前5次迭代整體破壞概率計算結(jié)果

由表1可知,當(dāng)單元破壞概率p0≤0.70時,2次迭代后p2→0;當(dāng)p0=0.80時,3次迭代后p3→0;當(dāng)p0=0.90時,3次迭代后p3=0.694 4,5次迭代后p5→0。所以,大多數(shù)情況下,只需3次迭代即可獲得趨于零的整體破壞概率,這時結(jié)構(gòu)完整,隨著p0的增大,收斂速度有所降低;若p0接近于臨界值p*時,3次迭代后p3仍較大,利用收斂速度可判斷接近臨界值的程度。因此,原胞級數(shù)即迭代次數(shù)取3即可滿足實際工程需要。此外,若迭代后整體破壞概率增大或等于1,則混凝土整體發(fā)生破壞。

4 結(jié) 語

傳統(tǒng)重整化群方法只能處理正方體巖石破碎問題,但一般水工混凝土結(jié)構(gòu)不具備正方體條件,本文提出并建立了基于重整化群方法的三棱柱單元混凝土結(jié)構(gòu)整體破壞概率模型。通過不動點計算分析,得到導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體破壞的單元破壞概率臨界值。

迭代計算結(jié)果表明,大多數(shù)情況下,只需3次迭代即可獲得趨于零的整體破壞概率,這說明雖然存在局部破壞,但結(jié)構(gòu)整體是安全的。隨著單元破壞概率的增大,整體破壞概率收斂速度有所降低。若3次迭代后整體破壞概率仍較大,則說明單元破壞概率接近臨界值。若迭代后整體破壞概率增大或等于1,則混凝土整體發(fā)生破壞。因此,原胞級數(shù)即迭代次數(shù)取3可滿足實際工程需要。

本文所提出的概率模型適用于重力壩,在確定外載作用下,其局部破壞相應(yīng)確定,建立了局部破壞概率與整體安全性之間的關(guān)系,此模型可從定量的角度評價混凝土重力壩的整體安全性；其他斜面或曲面結(jié)構(gòu)可通過等效、補償處理,綜合利用三棱柱單元、正方體單元概率模型獲得結(jié)構(gòu)整體破壞概率。值得一提的是,本文模型是基于等概率三棱柱單元,仍有一些問題有待完善,不等概率三棱柱單元的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)及其分析成果將另文發(fā)表,下一步還將研究外力及其他環(huán)境因素對結(jié)構(gòu)整體破壞概率的影響規(guī)律。

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