基于ARMA時(shí)序分析模型的巷道圍巖變形預(yù)測(cè)

卜慶為

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院， 內(nèi)蒙古 包頭市 014010)

礦井建設(shè)中，根據(jù)巷道的服務(wù)范圍把巷道分為開拓巷道、準(zhǔn)備巷道和回采巷道，而每一種巷道具有不同的服務(wù)年限，所以各種巷道的支護(hù)技術(shù)和方法就會(huì)有不同考慮。近年來國內(nèi)外的專家學(xué)者對(duì)軟巖巷道進(jìn)行了大量的研究工作，并取得了許多成果，但是不少礦井的支護(hù)方式在很多種情況下并沒有充分考慮巷道服務(wù)年限的影響，由此往往增加巷道的維修工作量。

近些年來，廣大采礦研究學(xué)者和工程技術(shù)人員期望可以從巷道變形的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中找到其中蘊(yùn)含的規(guī)律，以便預(yù)測(cè)將來的巷道變形。隨著礦井向深部開采，巷道圍巖流變的控制成為深部礦井巷道支護(hù)的研究熱點(diǎn)[1]，應(yīng)用時(shí)間序列分析法[2-3]預(yù)測(cè)巷道圍巖變形量[4-9]，可以更好地判斷巷道支護(hù)工程是否滿足巷道在服務(wù)年限內(nèi)正常生產(chǎn)的要求；對(duì)于高應(yīng)力巷道采取一次讓壓二次抗壓的支護(hù)方法，該支護(hù)方法也需要圍巖變形的時(shí)間參考依據(jù)，以確定二次支護(hù)的最優(yōu)時(shí)間段；圍巖變形時(shí)間序列分析，利用有限的已觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)巷道服務(wù)期限內(nèi)圍巖變形進(jìn)行預(yù)測(cè)，不僅反映巷道在服務(wù)期限內(nèi)的圍巖變形規(guī)律，還可以對(duì)服務(wù)期限內(nèi)各個(gè)時(shí)刻的圍巖變形量實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)，最終起到“新奧法”支護(hù)技術(shù)的監(jiān)測(cè)與及時(shí)反饋的作用。

1 巷道圍巖變形觀測(cè)

1.1 巷道圍巖徑向位移的數(shù)學(xué)模型

巷道圍巖變形與圍巖條件和圍巖變形因素有關(guān)。從圍巖體在應(yīng)力重分布過程中變形特征的角度分析，Burgers本構(gòu)模型可以接近實(shí)際描述圍巖在各個(gè)蠕變階段變形特征，是較為廣泛使用的巖石流變本構(gòu)模型。本文以Burgers本構(gòu)模型建立巷道圍巖徑向位移的數(shù)學(xué)模型。

由彈性力學(xué)方法求解開挖巷道的圍巖徑向位移公式，本文直接引用彈性軸對(duì)稱問題結(jié)果，彈性體巷道圍巖的徑向位移公式為：

根據(jù)巖體流變力學(xué)[1]得知，對(duì)于粘彈性體的井巷工程問題，借助拉氏變換，將彈性常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎硰椥詭r石的粘彈性常數(shù)，再通過拉氏變換的反變換進(jìn)而求得粘彈性井巷工程問題中的粘彈性解。

1.2 基于ARMA的巷道圍巖時(shí)序分析模型

運(yùn)用高斯-牛頓法對(duì)擬合函數(shù)參數(shù)非線性回歸分析，基本思想是對(duì)擬合函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，通過迭代修正擬合函數(shù)的參數(shù)，根據(jù)最小二乘法原理使擬合函數(shù)的參數(shù)逼近非線性回歸模型的最佳參數(shù)值，即：

Y=f(t,a,b,c,d)

令g1，g2，g3，g4分別為擬合函數(shù)參數(shù)a，b，c，d的近似值，得：a=g1+δ1;b=g2+δ2;c=g3+δ3;d=g4+δ4。

對(duì)擬合函數(shù)Y進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，取其線性項(xiàng)，得：

Y=f(ti,g1,g2,g3,g4)+Σf′(ti,g1,g2,g3,g4)](j=1,2,3,4)

最小二乘原理，建立目標(biāo)函數(shù)Q：

Q=Σ[y-Y(t)]2，

從而得E矩陣：

E=(F′TF′)-1·(F′TW)

由此, 解得擬合函數(shù)的參數(shù)誤差δ1,δ2,δ3,δ4帶入擬合函數(shù)的參數(shù)近似值g1，g2，g3，g4中，通過迭代計(jì)算以求得最佳擬合函數(shù)，進(jìn)而得擬合函數(shù)Y(t)和誤差集合W，然后集合W進(jìn)行自回歸分析(AR)。

圍巖變形影響因素復(fù)雜多變，但考慮到t時(shí)刻的數(shù)值不僅與該時(shí)刻以前的自身值有關(guān)，同時(shí)還與其過去時(shí)刻的自身擾動(dòng)項(xiàng)存在一定關(guān)系。因此，建立給定自回歸移動(dòng)平均模型(差分方程形式)：

式中：wi為擬合函數(shù)誤差集合W中的元素，qi為自回歸(AR)的系數(shù)，pi為移動(dòng)平均(MA)的系數(shù)，ri為擾動(dòng)項(xiàng)。

對(duì)于自回歸(AR)模型，采用廣泛使用的最小二乘法估計(jì)自回歸系數(shù)，其精度相對(duì)矩估計(jì)的精度要高。對(duì)于移動(dòng)平均(MA)部分中ri是不可觀測(cè)的，因此該模型系數(shù)(qi，pi)采用非線性最小二乘原理，借助迭代法求得線性化近似解。公式如下：

設(shè)qi=qi0+αi，pi=pi0+βi，得S矩陣，于是有：

式中：w*和r*分別為wi和ri的一維列矩陣。根據(jù)非線性最小二乘，列目標(biāo)函數(shù)，求解近似模型參數(shù)，公式為：

S=(QPT·QP)-1·(QPT·Rt)

將計(jì)算得到的α和β代入模型系數(shù)q、p中，循環(huán)迭代得圍巖變形的時(shí)間序列模型參數(shù)。

1.3 ARMA模型圍巖變形預(yù)測(cè)過程

設(shè)t時(shí)刻的下一時(shí)間間隔v時(shí)的預(yù)測(cè)值為w(v)，當(dāng)v=1時(shí),該模型差分方程：

當(dāng)v=2時(shí)，則模型差分方程為：

對(duì)于rt+v，由于w(v)是對(duì)未來時(shí)刻的期望值，因此在預(yù)測(cè)過程中令預(yù)測(cè)值的擾動(dòng)項(xiàng)rt+v=0，得一般式為：

至此，通過w(v)公式，通過由t時(shí)刻等以前觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)建的ARMA(m，n)模型預(yù)測(cè)任意等時(shí)間間隔的預(yù)測(cè)值，并與擬合函數(shù)Y構(gòu)成實(shí)際預(yù)測(cè)值Zt。將擬合函數(shù)和ARMA(m，n)模型一同編制成為程序，這樣就可以獲得Zt=Y(t+h·v)+w(v)；其中h為間隔時(shí)間。

2 工程實(shí)例

測(cè)站布置在永華一礦12021工作面上、下巷，前期觀測(cè)主要在12021工作面下巷。測(cè)站布置緊跟掘進(jìn)工作面，距掘進(jìn)工作面3 m遠(yuǎn)位置。通過測(cè)站監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)頂板下沉量進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析。

如表1 所示，已知數(shù)據(jù)觀測(cè)時(shí)刻為2 d，確定模型參數(shù)所用數(shù)據(jù)時(shí)刻1～8，ARMA時(shí)序預(yù)測(cè)時(shí)刻9～12。如圖 1 所示，通過對(duì)比分析，可以看出：實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)圍繞著預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)生上下波動(dòng)。實(shí)際工程中，主要是由于巷道圍巖自身復(fù)雜構(gòu)造條件等因素，如節(jié)理、裂隙、圍巖局部不均勻等因素，所以根據(jù)圍巖的本構(gòu)方程，結(jié)合時(shí)間序列分析方法進(jìn)行分析，出現(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)圍繞著預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)生上下波動(dòng)的現(xiàn)象，但誤差變化規(guī)律具有明顯的趨勢(shì)性。分析后的該巷道時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)公式為：

表1 工程實(shí)例數(shù)據(jù)比較

3 結(jié) 論

(1) ARMA時(shí)間序列預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型生成的曲線初期會(huì)呈現(xiàn)出一定的抖動(dòng)、不平穩(wěn)的特征，隨時(shí)間的向前推移，預(yù)測(cè)曲線逐漸平穩(wěn)。說明開挖巷道圍巖自身會(huì)自發(fā)地通過圍巖體變形來適應(yīng)圍巖所處的圍巖應(yīng)力環(huán)境，通過逐漸變形來實(shí)現(xiàn)自穩(wěn)。

(2) 基于時(shí)間序列預(yù)測(cè)巷道圍巖變形時(shí)序預(yù)測(cè)法相對(duì)單一的非線性函數(shù)數(shù)值擬合，不僅考慮到整體的圍巖變形量與巖石參數(shù)和時(shí)間存在的非線性關(guān)系，而且強(qiáng)調(diào)了圍巖變形受到來自圍巖體內(nèi)部自身復(fù)雜構(gòu)造條件對(duì)圍巖變化的干擾；當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)充足時(shí)，可以估算最終的圍巖變形量以及自穩(wěn)變化所經(jīng)歷的時(shí)間，否則會(huì)導(dǎo)致較大誤差，不能正確反映應(yīng)力重分布的過程，圍巖變形的實(shí)際情況。

圖1 工程實(shí)例實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)比較

(3) 由于圍巖變化所受到的干擾與其自身圍巖條件、應(yīng)力環(huán)境、開挖和支護(hù)工藝、巷道斷面等諸多因素都有關(guān)系。不同的巷道圍巖條件，圍巖變形具有其自身的獨(dú)特性，利用時(shí)間序列模型可以建立不同巷道圍巖條件下該巷道所特有的圍巖變形隨時(shí)間變化的特征曲線；隨著監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的更新，巷道變形特征曲線也會(huì)得到更新，進(jìn)而更加貼近實(shí)際情況，不至于因?yàn)閲鷰r巖性參數(shù)的差異而產(chǎn)生較大誤差。

(4) 通過時(shí)序預(yù)測(cè)分析法和巷道變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立圍巖變形時(shí)序分析模型，以現(xiàn)場(chǎng)的支護(hù)-圍巖相互作用的共同體作為研究對(duì)象，更加貼近工程實(shí)際對(duì)巷道服務(wù)年限內(nèi)的巷道圍巖變形量進(jìn)行預(yù)測(cè)，及時(shí)反饋給支護(hù)設(shè)計(jì)者調(diào)整支護(hù)參數(shù)、優(yōu)化支護(hù)設(shè)計(jì)方案。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡美峰.巖石力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社,2002.

[2]王振龍,胡永宏.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京：科學(xué)出版社,2007.

[3]李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2006.

[4]史玉峰,孫保琪.時(shí)間序列分析及其在變形數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].金屬礦山,2004(8)：13-15.

[5]王永巖，馬士進(jìn)，高 菲.軟巖巷道圍巖變形時(shí)序預(yù)測(cè)方法的研究[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,20(4):505-506.

[6]譚 赟.時(shí)間序列分析模型構(gòu)建與MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].科技通訊,2009(36):254-256.

[7]張玉祥.巖石工程時(shí)序列預(yù)報(bào)問題初探[J].巖石力學(xué)學(xué)報(bào)與

工程學(xué)報(bào),1998,10(5):32-35.

[8]張長亮,王曉雯,陳 華.隧道圍巖變形預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)方法研究[J].公路交通技術(shù),2008(4):88-92.

[9]廖野瀾.監(jiān)測(cè)位移的灰色預(yù)報(bào)[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),1996,15(3):269-274.