熔融沉積快速成型零件成型方向的多目標(biāo)優(yōu)化

袁貝貝， 姜兆亮

（山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061）

熔融沉積快速成型零件成型方向的多目標(biāo)優(yōu)化

袁貝貝， 姜兆亮

（山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061）

為了實(shí)現(xiàn)熔融沉積快速成型（FDM）中零件成型精度和成型效率的協(xié)同優(yōu)化，基于零件成型方向?qū)Τ尚途群统尚托实挠绊戇M(jìn)行分析，以體積誤差最小、零件成型方向上高度最低以及所需支撐體積最小為目標(biāo)，建立了零件成型方向的多目標(biāo)優(yōu)化模型。設(shè)計(jì)了基于非支配排序遺傳算法的智能求解算法，通過(guò)對(duì)模型的優(yōu)化計(jì)算得到零件成型方向的 Pareto解集，實(shí)現(xiàn)了 FDM 零件成型方向的智能優(yōu)化。最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了所建模型的正確性與算法的有效性。

快速成型；成型方向；遺傳算法；多目標(biāo)優(yōu)化

熔融沉積快速成型(fused deposition modeling, FDM)制造的零件具有成本低、強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn)，但其精度和成型效率之間的矛盾顯著。影響FDM精度和效率的主要因素有零件的成型方向和分層厚度，其中，成型方向的選擇會(huì)直接影響零件的表面質(zhì)量、成型高度、支撐結(jié)構(gòu)、成型效率以及強(qiáng)度等方面。因此，合理選擇零件的成型方向可以實(shí)現(xiàn)成型精度與成型效率的協(xié)同優(yōu)化。

目前，F(xiàn)DM中零件的成型方向主要依靠人工確定，對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的零件難以選出最優(yōu)的成型方向。所以，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)快速成型方向的優(yōu)化做了很多研究，Rattanawong等[1]將臺(tái)階效應(yīng)量化成體積誤差，以體積誤差最小為目標(biāo)優(yōu)化零件的成型方向；劉厚才和儲(chǔ)愛(ài)民[2]用遺傳算法優(yōu)化三維打印(3DP)的成型方向，以提高零件的表面質(zhì)量；文獻(xiàn)[3-5]建立了以支撐面積最小、制作時(shí)間最短以及零件表面質(zhì)量最優(yōu)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，用遺傳算法求解零件的成型方向；Thrimurthulu等[6]以平均表面粗糙度和成型時(shí)間為目標(biāo)，用遺傳算法優(yōu)化FDM工藝的成型方向，得到針對(duì)不同的加權(quán)系數(shù)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解；洪軍等[7]以光固化快速成型中的懸臂變形、臺(tái)階效應(yīng)、過(guò)固化及制作時(shí)間為目標(biāo)，分別構(gòu)造了子目標(biāo)函數(shù)，利用評(píng)價(jià)函數(shù)法，把制作方向優(yōu)化的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)值目標(biāo)的評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化。上述研究主要以單一的優(yōu)化目標(biāo)或者以線性加權(quán)法將多個(gè)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行研究，難以找到多個(gè)目標(biāo)綜合最優(yōu)的成型方向，而且線性加權(quán)法中加權(quán)系數(shù)的確定需要人為做出選擇，客觀性較差。文獻(xiàn)[8-9]以體積誤差和零件高度為目標(biāo)，用遺傳算法得到兩個(gè)目標(biāo)的 Pareto解集；劉厚才和廖艷春[10]采用基于 Pareto最優(yōu)解的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法對(duì)零件的成型方向進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果與單目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行比較。但是，上述研究很少考慮支撐體積對(duì)成型時(shí)間的影響，而且用支撐面積評(píng)價(jià)零件表面質(zhì)量的方法對(duì)水溶性支撐材料不再適用。因此，本文對(duì)FDM零件成型方向的優(yōu)化模型進(jìn)行了補(bǔ)充和修改，并采用基于 Pareto解集的方法優(yōu)化零件的成型方向。

1 分層方向多目標(biāo)優(yōu)化模型的建立

1.1 表面質(zhì)量的優(yōu)化模型

FDM制造過(guò)程中，隨著成型截面的不斷變化，會(huì)在零件的傾斜表面上產(chǎn)生臺(tái)階效應(yīng)。比如，當(dāng)圖1(a)中的模型沿Z方向成型時(shí)，模型的光滑傾斜表面上會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階效應(yīng)，使表面變得粗糙，如圖1(c)所示。臺(tái)階效應(yīng)是快速成型的原理性誤差，但是合理選擇零件的成型方向可以使其顯著降低。例如，當(dāng)圖 1(a)中的模型沿 Y向成型時(shí)，則不會(huì)產(chǎn)生臺(tái)階效應(yīng)，這時(shí)零件的表面質(zhì)量最好，如圖1(b)所示。

圖1 臺(tái)階效應(yīng)

當(dāng)臺(tái)階效應(yīng)無(wú)法完全避免時(shí)，可以減小實(shí)際成型的零件和設(shè)計(jì)模型之間的體積誤差以提高零件的表面質(zhì)量。計(jì)算零件每一成型層上的體積誤差，將各層體積誤差相加得到整個(gè)零件的體積誤差，并將其轉(zhuǎn)化為 STL(stereo lithography)模型上各個(gè)三角面片引起的體積誤差之和[5]，體積誤差 f1如式(1)所示：

其中，h表示分層厚度， (xi, yi,zi)表示STL模型中第 i個(gè)三角面片的法向量， (x , y,z)表示零件的成型方向的單位向量， Ai是第 i個(gè)三角面片的面積， (xi, yi,zi)和 (x , y,z)均為單位向量。

快速成型中，分層方向的選擇應(yīng)該在分層厚度確定之前進(jìn)行，F(xiàn)DM分層厚度一般取值范圍為0.15～0.30 mm[11]，式(1)中的分層厚度 h取為0.20 mm。而且，當(dāng)三角面片的法向量和成型方向的方向向量平行時(shí)，在該三角面片上不會(huì)產(chǎn)生臺(tái)階，因此，采用閾值函數(shù) ε1將滿足上述條件的三角面片從式(1)中排除，則臺(tái)階效應(yīng)引起的體積誤差 f1如式(2)所示：

1.2成型時(shí)間的優(yōu)化模型

FDM中，零件的成型時(shí)間包括零件本身的成型時(shí)間Tm、輔助成型時(shí)間Ta以及支撐的成型時(shí)間Ts。零件成型時(shí)間[3]T，如式(3)所示：

其中，Vm為零件的體積，Vs為支撐材料的體積，vm為成型零件時(shí)的平均速度，vs為成型支撐時(shí)的平均速度，Ta(i)為第i層的輔助成型時(shí)間。

(1) 成型方向上零件高度的優(yōu)化模型：零件每一層的成型時(shí)間包括噴嘴勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及噴嘴加減速時(shí)間，零件分層數(shù)目越多，成型時(shí)噴嘴加減速的時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，零件成型的平均速度也就越低。另外，零件在進(jìn)入下一層成型時(shí)，噴頭需要沿z軸方向運(yùn)動(dòng)一個(gè)層厚的距離，分層數(shù)目越多，層與層之間運(yùn)動(dòng)的輔助時(shí)間就越長(zhǎng)?？梢?jiàn)，零件的成型時(shí)間和輔助時(shí)間都與零件的分層數(shù)目密切相關(guān)，而目前大多數(shù)的FDM成型工藝都是固定層厚的，因此零件的成型時(shí)間和輔助時(shí)間與零件在成型方向的高度有關(guān)，高度越小，成型輔助時(shí)間越短。零件在成型方向上的高度f(wàn)2可以用式(4)表示：

其中，(xij, yij, zij）表示第i個(gè)三角面片的第j個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)組成的向量。

(2) 支撐體積的優(yōu)化模型：FDM 中，零件在成型時(shí)需要添加支撐，零件沿不同的方向成型所需的支撐體積不同，由式(3)可見(jiàn)，支撐體積越大，成型時(shí)間相應(yīng)越長(zhǎng)。支撐體積用需要添加支撐的三角面片在工作臺(tái)上的投影面積和支撐高度的乘積表示，支撐高度用三角面片 3個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)于工作臺(tái)高度的平均值來(lái)近似表示，因此支撐體積的表達(dá)式f3如式(5)所示：

其中，ε2是判斷三角面片是否需要添加支撐的閾值函數(shù)。

Zi1、Zi2和Zi3分別表示STL模型中第i個(gè)三角面片的3個(gè)頂點(diǎn)在成型方向上相對(duì)于工作臺(tái)的高度。

2 分層方向多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解

2.1成型方向的表示

上述優(yōu)化模型中的向量(x, y, z)表示零件的成型方向，為單位向量，因此用單位球上的一點(diǎn)來(lái)表示零件的成型方向，如圖2所示，其中x, y, z的數(shù)值都是在生成初始種群時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生的，因此向量(x, y, z)可能是空間中的任意向量。

圖2 單位球

2.2 算法流程及參數(shù)選用

(1) 非支配排序遺傳算法流程：遺傳算法是一種模擬自然界生物進(jìn)化過(guò)程和機(jī)制的智能優(yōu)化算法，是求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有效方法。非支配排序遺傳算法[12-13]是一種將 Pareto最優(yōu)原理與遺傳算法相結(jié)合形成的新型多目標(biāo)遺傳算法，可以在一個(gè)進(jìn)化代中得到多個(gè)不同的 Pareto優(yōu)化解，本文采用該算法對(duì)FDM成型方向的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，可實(shí)現(xiàn)FDM零件成型方向的智能優(yōu)化，流程如圖3所示。

圖3 非支配排序遺傳算法流程圖

(2) 染色體編碼方式：變量的編碼方式選用二進(jìn)制編碼，方向向量的每個(gè)坐標(biāo)值用十位二進(jìn)制數(shù)表示，因此整個(gè)染色體用一個(gè)30位的二進(jìn)制數(shù)表示，如圖4所示。

圖4 染色體的編碼

(3) 遺傳算子的選擇：遺傳算子對(duì)遺傳算法的收斂性、收斂速度等都有影響，本文參照文獻(xiàn)[14]并結(jié)合問(wèn)題本身的特點(diǎn)設(shè)定表1所示的遺傳算子。

表1 遺傳算子

3 實(shí)例驗(yàn)證

為了證明上述模型的正確性和算法的有效性，從文獻(xiàn)[15-16]中選擇了如圖 5所示的兩個(gè)模型對(duì)該優(yōu)化方法進(jìn)行驗(yàn)證。

文獻(xiàn)[15]模型由600個(gè)三角面片組成，用上述優(yōu)化算法對(duì)其成型方向進(jìn)行優(yōu)化求解，求解結(jié)果如表2所示。

該模型的 Pareto解集中只包含一個(gè)解，它對(duì)應(yīng)的成型方向?yàn)閤軸方向，在該方向下3個(gè)目標(biāo)均取得最優(yōu)值，因此該模型最優(yōu)的成型方向即為 x軸方向。3個(gè)目標(biāo)的進(jìn)化曲線如圖6所示，從進(jìn)化曲線中可以看到，在43代左右各目標(biāo)收斂。根據(jù)所求成型方向的坐標(biāo)值算出旋轉(zhuǎn)角度α和β，本實(shí)例求得α約為0°，β約為90°，和文獻(xiàn)[15]中的結(jié)果吻合。

文獻(xiàn)[16]模型由 60個(gè)三角面片組成，同樣的方法對(duì)其成型方向進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如表3所示。

圖5 成型方向優(yōu)化模型

表2 文獻(xiàn)[15]模型的優(yōu)化結(jié)果

圖6 進(jìn)化曲線

表3 文獻(xiàn)[16]模型的優(yōu)化結(jié)果

從表 3可以看出，該模型的 Pareto解集由 3個(gè)解組成，其中，方向 1是零件成型高度最小的成型方向，方向 2是體積誤差最小的成型方向，方向3是支撐體積最小的成型方向。與方向2相比，方向 1的零件高度和支撐體積明顯較優(yōu)，而且兩個(gè)方向的體積誤差相差不大，因此，總體上方向1優(yōu)于方向2。方向1與方向3相比，方向1的體積誤差較小，成型精度高，方向 1的零件高度小于方向3，但是方向1的支撐體積大于方向3，因此，兩個(gè)方向成型時(shí)間的多少關(guān)系不能確定，可直接選擇成型精度較高的方向1。上述3個(gè)方向分別對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)[16]中的目標(biāo)3、目標(biāo)1和目標(biāo)2，求解結(jié)果與文獻(xiàn)[16]基本吻合。

以上兩個(gè)模型的求解結(jié)果和文獻(xiàn)中的結(jié)果相吻合，證明了模型的正確性和算法的有效性。而且該方法不必提前確定模型可能的最優(yōu)成型方向，只需在整個(gè)單位球空間上進(jìn)行一次優(yōu)化計(jì)算即可找到全部的較優(yōu)成型方向，用戶可根據(jù)各自的偏好從中選擇合適的成型方向。

4 結(jié) 論

結(jié)合水溶性支撐材料和FDM工藝的特點(diǎn)分別以體積誤差最小、成型方向上零件的高度最低以及支撐體積最小為目標(biāo)建立了FDM零件成型方向的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用非支配排序遺傳算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解，得到Pareto解集，為用戶提供多種可供選擇的成型方向，用戶可以從中選擇合適的成型方向以滿足成型精度和成型效率的最優(yōu)組合。

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Multi-objective Optimization of the Part Building Orientation in Fused Deposition Molding

Yuan Beibei, Jiang Zhaoliang
(Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture of Ministry of Education, School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan Shandong 250061, China)

In order to optimize accuracy and efficiency in fused deposition modeling (FDM), effect of the building orientation on part′s accuracy and efficiency is analyzed; meanwhile, three optimization models of part′s building orientation, i.e. volume error, height of parts in its building orientation, and support volume are established. A non dominated sorting genetic algorithm is designed to seek the Pareto optimal solutions of any complex model intelligently. Finally, the correctness of the proposed model and the efficiency of the algorithm are carried out based on two instances case study.

rapid prototyping; building orientation; genetic algorithm; multi-objective optimization

TP 391

A

2095-302X(2014)06-0835-05

2014-06-12；定稿日期：2014-07-02

國(guó)家自然基金資助項(xiàng)目(51175304)

袁貝貝(1988-)，男，山東濰坊人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)榭焖俪尚?。E-mail：792516984@qq.com