條件期望在微分博弈中的應(yīng)用

朱慶峰， 張 慧， 鄧 偉

(1.山東財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟學(xué)院, 山東 濟南 250014；2. 山東建筑大學(xué) 理學(xué)院, 山東 濟南 250101)

條件數(shù)學(xué)期望[1]是現(xiàn)代概率論中最重要的概念之一.眾所周知，鞅，Markov過程[2]等一些現(xiàn)代概率論最基本對象就是用條件期望定義的.條件期望對初學(xué)者也是一個難點，特別是對概念的理解和對這一數(shù)學(xué)工具的使用初學(xué)者較難掌握.為了讓本科學(xué)生比較深刻地學(xué)習(xí)有關(guān)理論以及認識到該知識點的廣泛應(yīng)用，本文介紹了條件數(shù)學(xué)期望的定義與性質(zhì)，并以條件數(shù)學(xué)期望為工具，研究了一類部分信息下線性二次非零和平均場微分博弈問題[3]，并通過關(guān)于部分信息取條件數(shù)學(xué)期望，得到了該博弈問題的納什均衡點.

1 條件數(shù)學(xué)期望的定義及性質(zhì)

給定概率空間 (Ω,F,P)，T>0是固定的時間常數(shù)，信息流{Ft}0≤t≤T是由1維標(biāo)準布朗運動{Bt}0≤t≤T生成的σ-域，即Ft=σ{Bs;0≤s≤t}，且滿足通常的假設(shè)，令F=FT.

定義1[4]設(shè){Ai}1≤i≤m是Ω的一個有限劃分，且Ai∈F,P{Ai}>0,1≤i≤m,令G是由{Ai}1≤i≤m生成的σ-代數(shù).對一可積隨機變量X，令

稱E[X|G]為X關(guān)于G的條件數(shù)學(xué)期望.

性質(zhì)1[4]條件數(shù)學(xué)期望有如下基本性質(zhì)：

(1)E[E[X|G]]=E[X];

(2)若X為G可測，則E[X|G]=X；

(3)設(shè)a,b為實數(shù)，X,Y,aX+bY的期望存在，則E[aX+bY|G]=aE[X|G]+bE[Y|G];

(4)設(shè)X及XY的期望存在，且Y為G可測，則E[XY|G]=YE[X|G].

2 條件數(shù)學(xué)期望在微分博弈中的應(yīng)用

研究部分信息平均場倒向線性二次非零和微分對策問題.考慮如下平均場博弈系統(tǒng)

(1)

Ji(v1(·)，v2(·))=

Ni(t)(yv1,v2(t))2+

i=1,2,

(2)

部分信息下微分博弈問題就是尋找納什均衡點(u1(·)，u2(·))∈Rk×Rk,使得

(3)

為了證明均衡點的存在性引入下列假設(shè)

(H)Bi(Mi)-1(Bi)TΞT=ΞTBi(Mi)-1(Bi)T,

通過取關(guān)于部分信息Et的條件數(shù)學(xué)期望，給出納什均衡點的表達式.

定理1 函數(shù)

(u1(t),u2(t))=

(4)

是上述博弈問題的一個納什均衡點，其中(p1(t),p2(t),y(t),z(t)是下列方程的解:

(5)

證明利用條件數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)，下面給出上述表達式的合理性.取關(guān)于Et的條件期望

(6)

并且函數(shù)(u1(·),u2(·))可改寫為

(u1(t),u2(t))=

3 結(jié)束語

本文以條件期望的形式給出了一類部分信息下線性二次非零和平均場微分博弈問題均衡點的顯式表達式．并根據(jù)條件期望的定義和性質(zhì)，證明了該顯式表達式的合理性．希望通過采用理論與經(jīng)濟模型相結(jié)合的教學(xué)方法，增加學(xué)生的課外實踐機會、自學(xué)機會和創(chuàng)新機會，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，使學(xué)生把學(xué)到的理論知識應(yīng)用于解決實際問題．

[1] 茆詩松，濮曉龍，程依明. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

[2] 張波，商豪.應(yīng)用隨機過程[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2014.

[3] 嚴加安.測度論講義[M].北京：科學(xué)出版社，1998.

[4] Issacs R. Differential games[M]. New York: John Wiley and Sons, 1965.

[5] Min H, Peng Y, Qin Y.Fully coupled mean-field forward-backward stochastic differential equations and stochastic maximum principle[EB/OL].(2014-04-13)[2014-06-12]http://www.hindawi.com/journals/aaa/2014/839467.