基于時間效應(yīng)的廣義信度模型

劉志海, 張 強(qiáng)

(1.哈密市商業(yè)銀行股份有限公司， 新疆 哈密 839000；2.石河子大學(xué) 理學(xué)院， 新疆 石河子 832000)

在非壽險精算中,信度理論來對未來時期經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)的厘定具有重要的意義.主要是通過結(jié)合投保人個人的索賠經(jīng)歷與先驗(yàn)保費(fèi)來共同決定保費(fèi)，所制定的保費(fèi)為兩者的加權(quán)和.關(guān)于信度理論的詳細(xì)介紹，可見文獻(xiàn)[1].為了計(jì)算各種情況下的信度保費(fèi)，人們建立了各種各樣的信度模型，多數(shù)假設(shè)歷史時期的索賠具有共同的風(fēng)險參數(shù),在風(fēng)險參數(shù)給定下,各期的索賠滿足獨(dú)立同分布的的條件.然而,在保險實(shí)務(wù)中，這種假設(shè)有時候是不成立的，風(fēng)險參數(shù)對時間存在著依賴性.近年來，關(guān)于風(fēng)險之間的相依性的研究受到越來越多的精算研究者的關(guān)注.文獻(xiàn)[2]在提出一種共同效應(yīng)隨機(jī)變量的前提下，建立了風(fēng)險間有某種相依結(jié)構(gòu)的信度模型，文獻(xiàn)[3]提出了共同效應(yīng)相依的信度模型，推廣了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果. 此外，文獻(xiàn)[4]在風(fēng)險不是獨(dú)立的條件下，得到了風(fēng)險等相關(guān)的多合同模型的估計(jì).文獻(xiàn)[5]考慮了給定風(fēng)險參數(shù)歷史索賠服從不同分布的情形，得到了風(fēng)險間等相關(guān)下的廣義信度估計(jì).文獻(xiàn)[6]在假設(shè)誤差呈現(xiàn)等相關(guān)正態(tài)—正態(tài)分布下得到了Bayes保費(fèi)，建立了誤差等相關(guān)的Bühlmann信度模型，從而推廣到Bühlmann-Straub信度情形.文獻(xiàn)[7]研究了不同年風(fēng)險間的時間效應(yīng)，在平方損失函數(shù)下給出了具有時間變化效應(yīng)的信度模型.

另一方面，保險公司制定下一年保費(fèi)的時候，往往希望與某個目標(biāo)(如上一年的保費(fèi)等)相差較小.平衡損失函數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[8]在平衡損失函數(shù)下討論了廣義的信度模型.文獻(xiàn)[9]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計(jì)，并討論了性質(zhì).文獻(xiàn)[10]在平衡損失函數(shù)下給出了風(fēng)險具有共同效應(yīng)的信度估計(jì)，推廣了文獻(xiàn)[9]的結(jié)果.文獻(xiàn)[11]在平衡損失函數(shù)下研究了風(fēng)險相依回歸的信度模型，同時得到了風(fēng)險等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).

本文考慮了不同年份的風(fēng)險有時間效應(yīng)，采用某種相關(guān)矩陣來刻畫時間變化效應(yīng)，在平衡損失函數(shù)下討論了具有時間變化效應(yīng)的信度估計(jì).

1 模型假設(shè)與準(zhǔn)備知識

本文研究滿足如下假設(shè)的風(fēng)險間具有時間變化效應(yīng)的信度模型.

假設(shè)3平衡損失函數(shù)為如下形式

L(A,B)=w(δO(X)-A-BX)2+

(1-w)(Xn+1-A-BX)2

(1)

其中δO(X)為Xn+1的已知目標(biāo)估計(jì)

在上述的假定下，我們的目標(biāo)是基于所有的歷史索賠數(shù)據(jù)X=(X1,X2,…Xn)′，來估測未來年的索賠Xn+1的保費(fèi)，此時需要解決最小化問題

(2)

μδ=E[δ0(X)],Cov(δ0(X),Xi)=d,

d=(d1,d2,…,dn)

下面陳述一些準(zhǔn)備型的引理.

引理1在假設(shè)1，假設(shè)2下，有以下結(jié)論

(1)Xi的均值E(Xi)=γiμ,i=1,2,…,n

(2)X可表示為X=(X1,X2,…,Xn)′,

Cov(Xn+1,X)=τn+1(τ1,τ2,…,τn)

詳細(xì)證明可參見文獻(xiàn)[3].

其中∑YX是Y與X的協(xié)方差矩陣，證明可見文獻(xiàn)[12].

由引理2可知，隨機(jī)變量Y在隨機(jī)向量X的非齊次函數(shù)類L(X,1)上的正交投影為非齊次信度估計(jì)，即有

(3)

2 平衡損失函數(shù)下的信度保費(fèi)估計(jì)

定理1在假設(shè)1和2下，通過求解最小化問題，可得未來索賠Xn+1的非齊次信度估計(jì)為

其中：

證明令Y=IδO(X)+(1-I)Xn+1,隨機(jī)變量I滿足P(I=1)=1-P(I=0)=w.

此時最小化問題轉(zhuǎn)化為

(4)

應(yīng)用引理2，可得Xn+1的信度估計(jì)為

(5)

由Y的定義，E(Y)可表示為

E(Y)=wμδ+(1-w)μ

(6)

事實(shí)上有E(Y|I)=E(X),從而可知

Cov(E(Y|I),E(X|I))=0

協(xié)方差矩陣∑YX為

∑YX=Cov(Y,X)=wCov(δ0(X),X)+

(1-w)Cov(Xn+1,X)=

wd+(1-w)τn+1(τ1,τ2,…,τn)

通過引理1，有

(7)

和

(8)

結(jié)合(5)-(8)式，可得Xn+1的信度估計(jì)為

3 結(jié)束語

信度理論作為非壽險精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險保險公司精算部門重要的工具.由于現(xiàn)實(shí)復(fù)雜，一般情況下，風(fēng)險之間都存在著某種相依性.本文考慮歷年風(fēng)險具有時間效應(yīng)，在平衡損失函數(shù)下得到了風(fēng)險具有時間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)，所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型，可為非壽險保險公司制定下期保費(fèi)提供理論依據(jù).

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