帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈訂貨策略研究

溫 馨，郭永江

(北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876)

帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈訂貨策略研究

溫 馨，郭永江

(北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876)

針對(duì)季節(jié)性產(chǎn)品的銷(xiāo)售，研究了帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈的訂貨策略問(wèn)題。該問(wèn)題中供應(yīng)鏈由一個(gè)供應(yīng)商與一個(gè)零售商構(gòu)成，假設(shè)零售商有兩次訂貨機(jī)會(huì)，分別發(fā)生在得到需求信號(hào)前后，且第一次訂貨受到了零售商庫(kù)存的限制。對(duì)于該問(wèn)題，首先利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和逆推的方法，通過(guò)參數(shù)指標(biāo)設(shè)置求解出無(wú)庫(kù)存限制時(shí)的最優(yōu)訂貨策略，再利用凹函數(shù)的性質(zhì)得到在不同情況下有庫(kù)存限制時(shí)的最優(yōu)訂貨策略，使得供應(yīng)鏈能夠協(xié)調(diào)。最后通過(guò)算例驗(yàn)證了結(jié)果的正確性，并對(duì)最優(yōu)的訂貨策略作了進(jìn)一步解釋。

庫(kù)存限制；需求信號(hào)；供應(yīng)鏈；回購(gòu)合同

隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，企業(yè)間經(jīng)濟(jì)聯(lián)系越來(lái)越緊密，企業(yè)所處的供應(yīng)鏈關(guān)系著企業(yè)的生存發(fā)展。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)程度低、反應(yīng)速度快、協(xié)調(diào)性高的供應(yīng)鏈可以使企業(yè)在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中處于有利位置。基于對(duì)期望收益的最大化以及合同的協(xié)調(diào)性等指標(biāo)的考量，采用各種數(shù)學(xué)方法對(duì)供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算和評(píng)價(jià)，是供應(yīng)鏈管理領(lǐng)域非常重要的研究?jī)?nèi)容。

經(jīng)典的供應(yīng)鏈管理問(wèn)題不考慮零售商的庫(kù)存問(wèn)題，但事實(shí)上零售商的庫(kù)存是有限的，很多學(xué)者研究了有庫(kù)存限制的供應(yīng)鏈模型。Pasternack[1]研究了有庫(kù)存限制的報(bào)童模型，利用收益共享合同來(lái)分配利潤(rùn)；Lim等[2]提出了零售商批發(fā)季節(jié)性產(chǎn)品且有庫(kù)存限制的問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中零售商只有一次訂貨機(jī)會(huì)，并利用收益共享合同協(xié)調(diào)了供應(yīng)鏈。經(jīng)典的供應(yīng)鏈問(wèn)題不考慮第二次訂貨的問(wèn)題，但事實(shí)上零售商根據(jù)市場(chǎng)情況進(jìn)行再次訂貨也是合理的。Fisher等[3]提出零售商的需求更新可能改善整個(gè)供應(yīng)鏈；Donohue[4]提出了零售商在出售季之前得到需求信號(hào)并進(jìn)行第二次訂貨的模型；李健等[5]研究了帶有需求更新的兩階段電子商務(wù)供應(yīng)鏈模型，并設(shè)計(jì)了訂購(gòu)合同使供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。簡(jiǎn)惠云等[6]研究了一般的二階段并帶有需求更新的供應(yīng)鏈模型。胡覺(jué)亮等[7]和尚文芳等[8]分別研究了二階段帶有需求更新的服裝供應(yīng)鏈模型和延期供給的易逝品供應(yīng)鏈模型。宋華明等[9]研究了帶有需求更新的供應(yīng)鏈的合作問(wèn)題，并論證了合作策略的必要性。

在回購(gòu)合同(buy-back contract)中，零售商在出售季之前以一個(gè)固定的批發(fā)價(jià)向供應(yīng)商訂購(gòu)產(chǎn)品，出售季之后，如果零售商有剩余產(chǎn)品，供應(yīng)商再以一個(gè)固定的回購(gòu)價(jià)格回購(gòu)這些產(chǎn)品。對(duì)于回購(gòu)合同，Pasternack[10]針對(duì)報(bào)童問(wèn)題對(duì)回購(gòu)合同進(jìn)行了詳細(xì)分析，并指出回購(gòu)合同能夠協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈。鄧欣[11]利用回購(gòu)合同研究了損失厭惡偏好的供應(yīng)鏈模型。在回購(gòu)合同中，供應(yīng)商會(huì)回購(gòu)零售商的剩余產(chǎn)品，這樣可能導(dǎo)致零售商的不理性訂貨，Porteus[12]的研究表明，零售商的不理性訂貨是不穩(wěn)定的。Padmanabhan等[13]研究了一個(gè)供應(yīng)商利用回購(gòu)合同來(lái)處理多個(gè)零售商之間競(jìng)爭(zhēng)的問(wèn)題。除了回購(gòu)合同之外，還有一些其它的合同也可以用于利潤(rùn)的分配，如批發(fā)價(jià)合同、收益共享合同、數(shù)量柔性合同以及銷(xiāo)售回扣合同等。Lariviere等[14]在報(bào)童模型下對(duì)批發(fā)價(jià)合同進(jìn)行了全面分析，Cachon等[15]在一般情況下對(duì)收益共享合同提供了一個(gè)完整的分析，Tsay[16]研究了利用數(shù)量柔性合同進(jìn)行協(xié)調(diào)的供應(yīng)鏈，Taylor[17]研究了利用銷(xiāo)售回扣合同進(jìn)行協(xié)調(diào)的供應(yīng)鏈。因?yàn)榛刭?gòu)合同在實(shí)際中很普遍且一般情況下能協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈，故本文也采用了回購(gòu)合同。

本文針對(duì)季節(jié)性產(chǎn)品的銷(xiāo)售，研究了零售商帶有庫(kù)存限制且有兩次訂貨機(jī)會(huì)的供應(yīng)鏈的訂貨策略，零售商的兩次訂貨分別發(fā)生在得到需求信號(hào)前后，零售商的第一次訂貨受到庫(kù)存的限制，在進(jìn)行第二次訂貨時(shí)對(duì)市場(chǎng)需求有了更進(jìn)一步了解，供應(yīng)商直接發(fā)貨給消費(fèi)者，故第二次訂貨不受庫(kù)存的限制。第二次訂貨對(duì)總的訂貨量進(jìn)行了調(diào)整使得利潤(rùn)盡可能增大。本文利用回購(gòu)合同進(jìn)行利潤(rùn)分配，首先通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和參數(shù)設(shè)置，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和逆推的方法，求解出無(wú)庫(kù)存限制時(shí)的最優(yōu)訂貨策略，然后再利用分類(lèi)討論的方法和凹函數(shù)的性質(zhì)得到有庫(kù)存限制時(shí)不同情況下最優(yōu)的訂貨策略。該供應(yīng)鏈模型在實(shí)際中很常見(jiàn)，為了更好地利用本文所得的最優(yōu)訂貨策略，本文給出了相應(yīng)的實(shí)例。

一、帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈模型

本文研究零售商有庫(kù)存限制且有兩次訂貨機(jī)會(huì)的供應(yīng)鏈模型：一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)有庫(kù)存限制的零售商，單一的出售季與隨機(jī)需求。零售商在出售季之前有一次得到需求信號(hào)的機(jī)會(huì)，在出售季之前零售商有兩次機(jī)會(huì)向供應(yīng)商訂貨，第一次訂貨發(fā)生在得到需求信號(hào)之前，第二次訂貨發(fā)生在得到需求信號(hào)之后。為了方便，本文把整個(gè)過(guò)程分為兩個(gè)階段，第一階段為得到需求信號(hào)之前，第二階段為得到需求信號(hào)與出售季之間。第一階段的訂貨選擇源于市場(chǎng)需求分析與以往的經(jīng)驗(yàn)且受制于零售商的有限庫(kù)存。第二階段的訂貨選擇源于新得到的需求信號(hào)，零售商對(duì)所有的需求有了比較全面的了解。零售商第二次訂貨時(shí)，供應(yīng)商生產(chǎn)產(chǎn)品并在出售季開(kāi)始時(shí)直接發(fā)貨給消費(fèi)者，故零售商第二次訂的產(chǎn)品并不占用零售商的庫(kù)存。如果第一次訂貨量大于正常需求量，那么第二次訂貨就不會(huì)存在，即第二階段的訂貨量為零，否則第二階段還需要訂貨。

(一)符號(hào)定義與模型假設(shè)

V:零售商的庫(kù)存容量；

v:單位產(chǎn)品所占的體積；

D:小范圍內(nèi)的市場(chǎng)需求；

ξ：得到的需求信號(hào)；

G(·):需求信號(hào)ξ的分布函數(shù)；

g(·):需求信號(hào)ξ的密度函數(shù)；

F(·|ξ)：得到需求信號(hào)ξ之后，需求D的分布函數(shù)；

f(·|ξ)：得到需求信號(hào)ξ之后，需求D的密度函數(shù)；

p:單位產(chǎn)品的零售價(jià)；

w1:第一階段單位產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)；

w2:第二階段單位產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)；

b:單位產(chǎn)品的回購(gòu)價(jià)格；

c1:第一階段單位產(chǎn)品的成本；

c2:第二階段單位產(chǎn)品的成本；

q1:零售商在第一階段的總訂貨量；

q2:整個(gè)過(guò)程中零售商的總訂貨量；

π2(q2|q1,ξ):給定q1與ξ，總訂貨量為q2時(shí)供應(yīng)鏈的利潤(rùn)函數(shù)；

πr2(q2|q1,ξ):給定q1與ξ，總訂貨量為q2時(shí)零售商的利潤(rùn)函數(shù)；

πs2(q2|q1,ξ):給定q1與ξ，總訂貨量為q2時(shí)供應(yīng)商的利潤(rùn)函數(shù)；

q2(q1,ξ):給定q1與ξ，使供應(yīng)鏈利潤(rùn)最大的q2；

π1(q1):整個(gè)過(guò)程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段總訂貨量為q1時(shí)供應(yīng)鏈的利潤(rùn)函數(shù)；

πr1(q1):整個(gè)過(guò)程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段總訂貨量為q1時(shí)零售商的利潤(rùn)函數(shù)；

πs1(q1):整個(gè)過(guò)程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段總訂貨量為q1時(shí)供應(yīng)商的利潤(rùn)函數(shù)。

假設(shè)：供應(yīng)商在每一階段按零售商的訂貨量生產(chǎn)產(chǎn)品；F(·|ξ)嚴(yán)格單增，p為常數(shù)；產(chǎn)品的成本包括庫(kù)存費(fèi)用、運(yùn)輸費(fèi)用以及生產(chǎn)費(fèi)用等其他費(fèi)用；出售季結(jié)束之后產(chǎn)品的剩余價(jià)值為零；需求信號(hào)ξ與需求D單位一樣且ξ≥0；c1

(二)模型分析與求解

本節(jié)求解帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨策略。首先考慮無(wú)庫(kù)存限制的情況，利用逆推的方法找到第一、二階段的最優(yōu)訂貨量；然后考慮有庫(kù)存限制的情況，利用凹函數(shù)的性質(zhì)，得到帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨策略。

得到需求信號(hào)ξ之后，需求D的分布函數(shù)為：

F(x|ξ)=P(D≤x|ξ),

當(dāng)需求信號(hào)ξ增大時(shí)，需求D增大，p(D≤x|ξ)減小，故F(x|ξ)隨著ξ的增大而減小。

1.求解無(wú)庫(kù)存限制時(shí)帶有需求更新的供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨策略

首先分析第二階段，為了方便，把產(chǎn)品的售出及剩余產(chǎn)品的回購(gòu)均看作是第二階段發(fā)生的。第二階段供應(yīng)鏈的利潤(rùn)函數(shù)等于賣(mài)出去產(chǎn)品所得收益減去第二階段的成本。給定q1與ξ，總訂貨量為q2時(shí)供應(yīng)鏈的利潤(rùn)函數(shù)為：

π2(q2|q1,ξ)=pS(q2|ξ)-c2(q2-q1)=pS(q2|ξ)-c2q2+c2q1,

其中：

此時(shí)，

(1)

q2(q1,ξ)=q1.

給定q1、ξ總訂貨量為q2時(shí)零售商的利潤(rùn)函數(shù)：πr2(q2|q1,ξ)=pS(q2|ξ)+b[q2-S(q2|ξ)]-w2(q2-q1) =(p-b)S(q2|ξ)-(w2-b)q2+w2q1.

給定q1、ξ總訂貨量為q2時(shí)供應(yīng)商的利潤(rùn)函數(shù)：

πs2(q2|q1,ξ)=

w2(q2-q1)-c2(q2-q1)-b[q2-S(q2|ξ)].

考慮回購(gòu)參數(shù){w2,b}引入常數(shù)λ≥0，使得：

(2)

則λ∈(0,1)，且

πr2(q2|q1,ξ)=λπ2(q2|q1,ξ)-λc2q1+w2q1,

πs2(q2|q1,ξ)=(1-λ)π2(q2|q1,ξ)+λc2q1-w2q1,

故給定q1、ξ后，供應(yīng)鏈、零售商和供應(yīng)商最優(yōu)總訂貨量均為q2(q1,ξ)。

下面分析整個(gè)供應(yīng)鏈，把在第二階段中找到的給定q1與ξ之后最優(yōu)總訂貨量q2(q1,ξ)代入整個(gè)過(guò)程的供應(yīng)鏈利潤(rùn)函數(shù)中，尋找最優(yōu)的q1。

定義函數(shù)ξ(q1)，使得：

(3)

即給定一個(gè)q1就可以找到一個(gè)函數(shù)ξ(q1),當(dāng)需求信號(hào)為ξ(q1)時(shí)，最優(yōu)總訂貨量為：

ξ(q1)恰好把需求信號(hào)劃分成了兩部分：當(dāng)ξ>ξ(q1)時(shí)，第二階段需要訂貨，此時(shí)

q2(q1,ξ)>q1,

且滿足式(1)。此時(shí)q2(q1,ξ)與q1無(wú)關(guān)。當(dāng)ξ≤ξ(q1)時(shí)，第二階段不需要訂貨，此時(shí)

q2(q1,ξ)=q1.

供應(yīng)鏈的利潤(rùn)函數(shù)等于賣(mài)出去產(chǎn)品所得的收益減去兩個(gè)階段的成本。整個(gè)過(guò)程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段訂貨量為q1時(shí)應(yīng)鏈的利潤(rùn)函數(shù)：

π1(q1)=E[π2(q2(q1,ξ)|q1,ξ)]-c1q1=pE[S(q2(q1,ξ)|ξ)]-c2E[q2(q1,ξ)]+ c2q1-c1q1.

定理1π1(q1)關(guān)于q1是凹函數(shù)。

證明：首先對(duì)π1(q1)求一階導(dǎo)，

S[q1|ξ(q1)]g[ξ(q1)ξ′(q1)-

S[q2(q1,ξ(q1))|ξ(q1)]g[ξ(q1)]ξ′(q1)

其中q2[q1,ξ(q1)]=q1。

則

故π1(q1)是凹函數(shù)。□

(4)

整個(gè)過(guò)程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段訂貨量為q1時(shí)零售商的利潤(rùn)函數(shù)：

πr1(q1)=E[πr2(q2(q1|ξ)|q1,ξ)]-w1q1=λE[π2(q2(q1,ξ)|q1,ξ)]-(w1-w2+λc2)q1.

整個(gè)過(guò)程中，總訂貨量為q2(q1,ξ)，第一階段訂貨量為q1時(shí)供應(yīng)商的利潤(rùn)函數(shù)：

πs1(q1)=E[πs2(q2(q1,ξ)|q1,ξ)]-c1q1+w1q1.

選擇w1使得

w1-w2+λc2=λc1

(5)

則

πr1(q1)=λπ1(q1),

πs1(q1)=(1-λ)π1(q1),

故供應(yīng)鏈、零售商和供應(yīng)商第一階段的最優(yōu)訂貨量均為q1*。

綜上所述，在無(wú)庫(kù)存限制時(shí)，第一、二階段的最優(yōu)訂貨量分別為q1*、q2(q1*,ξ)-q1*,總訂貨量為q2(q1*,ξ)。

2.求解帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨策略

從第1節(jié)的分析中可知，在兩個(gè)階段中供應(yīng)鏈最優(yōu)的訂貨量均是零售商和供應(yīng)商的最優(yōu)訂貨量，且第二階段和整個(gè)過(guò)程供應(yīng)鏈利潤(rùn)函數(shù)均為凹函數(shù)。

零售商第一階段的訂貨量受到庫(kù)存的限制，第二階段的訂貨量不受庫(kù)存的限制，在第二階段供應(yīng)商生產(chǎn)產(chǎn)品并直接發(fā)貨給消費(fèi)者。

設(shè)

(6)

二、算例分析

(一)實(shí)例分析

考慮某種在單一季節(jié)出售的產(chǎn)品，并且假設(shè)小范圍內(nèi)需求的變動(dòng)對(duì)市場(chǎng)價(jià)格無(wú)影響。單位產(chǎn)品所占體積：

v=0.5m×0.5m×1.5m=0.375m3,

第一、二階段產(chǎn)品的成本分別為c1=80元、c2=100元，產(chǎn)品的零售價(jià)p=200元，零售商的庫(kù)存容量：

V=10m×10m×3m=300m3,

假設(shè)需求信號(hào)ξ～U(800,1200)，給定ξ之后，需求D～U(ξ-200,ξ+200),零售商和供應(yīng)商通過(guò)協(xié)商決定各自利潤(rùn)占供應(yīng)鏈利潤(rùn)的一半，即λ=0.5，則由式(2)得b=100元，w2=150元，再由式(5)得w1=140元，由式(6)可得：

由式(3)

得

故此時(shí)第二階段的最優(yōu)訂貨量為

總的最優(yōu)訂貨量為

如果

V=10m×5m×3m=150m3,

其它量不變，則由式(6)

則

則此時(shí)第二階段的最優(yōu)訂貨量為

總的最優(yōu)訂貨量為

如果在第二階段開(kāi)始時(shí)觀察到的需求信號(hào)ξ=300，零售商的庫(kù)存容量

V=10m×5m×3m=150m3,

其它量不變，則由式(6)

(二)應(yīng)用總結(jié)

三、結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)季節(jié)性產(chǎn)品的銷(xiāo)售，研究了帶有庫(kù)存限制與需求更新的供應(yīng)鏈，該供應(yīng)鏈利用回購(gòu)合同進(jìn)行利潤(rùn)分配，本文利用逆推的方法和凹函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)參數(shù)設(shè)置，分別得到了不同情況下第一、二階段的最優(yōu)訂貨量，該最優(yōu)訂貨量能夠協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈且使得供應(yīng)鏈、零售商和供應(yīng)商利潤(rùn)均達(dá)到最大。在實(shí)際中也可以直接利用這個(gè)模型使得各自利潤(rùn)最大。為了進(jìn)一步理解該模型及最優(yōu)的訂貨策略，給出了相應(yīng)的算例。本文只研究了一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)帶有庫(kù)存限制的零售商的供應(yīng)鏈，事實(shí)上一個(gè)供應(yīng)商對(duì)多個(gè)帶有庫(kù)存限制的零售商的情況很普遍，零售商可以通過(guò)各種促銷(xiāo)增加銷(xiāo)售量，產(chǎn)品過(guò)了銷(xiāo)售季還有剩余價(jià)值，批發(fā)價(jià)會(huì)隨著訂貨量的變化而變化等，這些情況有待進(jìn)一步研究。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Ordering Strategy for a Supply China with Limited Storage Capacity and Demand Updating

WENXin,GUOYongjiang

(School of Sciences, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

In this paper, we studied the ordering strategy for a supply chain with limited storage capacity and demand updating in the setting of the sale of seasonal products. The supply chain consists of one supplier and one retailer. The retailer is assumed to have two opportunities to place order before and after receiving demand signals respectively, and the first order is limited by the storage capacity. We obtained the optimal ordering strategy with no storage capacity limit by setting parameter indexes according to the properties of derivative with backstepping method, and then got the optimal ordering strategy with limited storage capacity according to the properties of the concave function in different cases, to balance the supply chain. At last, we verified the correctness of the result via numerical example, and further explained the optimal ordering strategy.

storage capacity limit; demand signal; supply chain; buy-back contract

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.08.003

2017-02-26 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2017-06-21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471053)

溫馨(1991-)，女，山西晉中人，碩士研究生，主要從事供應(yīng)鏈管理方面的研究。

F274

A

1673- 3851 (2017) 04- 0299- 07