對接雙材平面中圓弧裂紋問題的數(shù)值方法

杜云海， 劉雯雯， 徐軼洋

(鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 河南鄭州450001)

0 引言

在工程結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的裂紋往往呈曲線形狀，特別是大尺度裂紋，理想的直線狀裂紋是極少見的．圓弧作為一般曲線的極好近似，以此建立裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值方法，對于工程實(shí)際中曲線裂紋問題的實(shí)用計(jì)算具有重要意義．關(guān)于圓弧裂紋問題，文［1－2］曾研究過有限元法，文［3］曾研究過復(fù)變函數(shù)半逆解法，文［4］則研究了邊界元法．超奇異積分方程法作為一種能快速求解裂紋問題的半數(shù)值方法，近年來也受到諸多學(xué)者關(guān)注［5－7］，作者在這方面也曾做過一些探索［8－10］，并在近期研究了雙材料平面中的一般曲線裂紋問題．本文基于研究所得精確描述圓弧裂紋問題的超奇異積分方程組，建立相應(yīng)的數(shù)值方法，并對應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)進(jìn)行了系統(tǒng)的計(jì)算．

1 超奇異積分方程組

假定雙材料平面中有一條圓弧裂紋，如圖1所示，Gi、μi(i=1，2)分別為兩半平面材料的切變模量與泊松比，裂紋長度為2a，裂紋半徑為R，裂紋中點(diǎn)坐標(biāo)為(c，d)，中點(diǎn)半徑與橫軸之間的夾角為θ0，則裂紋曲線的參數(shù)方程可表示為

其中，s為裂紋的弧長坐標(biāo)．

若僅在裂紋岸上作用大小相等、方向相反的分布載荷qj(s)(j=1，2;－a＜s＜a)，則問題的應(yīng)力邊界條件為

利用互等功定理可得到上述問題用彈性力學(xué)基本解表達(dá)的位移場，然后再利用幾何方程、物理方程和邊界條件(2)，經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，將具有奇異性的項(xiàng)合并后再從結(jié)果中分離出非奇異部分，可得到描述該問題的超奇異積分方程組

圖1 雙材料平面中的圓弧裂紋Fig．1 An arc crack in bi-material plane

這里S12(s，t)、S21(s，t)為奇異積分核函數(shù)的曲率影響項(xiàng);Jik(s，t)為正常積分核函數(shù)的曲率影響項(xiàng)，可寫成冪級數(shù)形式:

其中Bj為伯努利數(shù)(可查數(shù)學(xué)手冊);而Kik(s，t)為一般正常積分核函數(shù)(無奇異性，限于篇幅不再給出);對于平面應(yīng)力問題，式(3)中的κi=(3－μi)/(1+μi);而對于平面應(yīng)變問題，κi=(3－4μi)．不難看出，S12，S21，J11，J22，J12，J21等曲率影響項(xiàng)都隨圓弧裂紋半徑R的增大而減小，當(dāng)R→∞ 時(shí)，式(3)退化為直線裂紋問題的超奇異積分方程組，與文［8］結(jié)果一致．

2 數(shù)值方法

為建立應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值算法，需將式(3)進(jìn)行歸一化處理，這里引入如下變量與函數(shù)替換

將式(6)代入式(3)，可得到歸一化超奇異積分方程組為

歸一化方程組(7)形式上與文［10］結(jié)果相同，因此其后繼處理可參照文［10］，將裂紋位移間斷fk(ζ)用含契比謝夫多項(xiàng)式的配置函數(shù)表示，并利用已有奇異積分的有限分部積分結(jié)果［7］，適當(dāng)增配方程個(gè)數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)封閉可解線性方程組的建立，應(yīng)力強(qiáng)度因子則可用方程組的解(即契比謝夫多項(xiàng)式的系數(shù))來表示．

利用上述方法，通過適當(dāng)編程即可實(shí)現(xiàn)該問題無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的快速計(jì)算．通過增加配置方程數(shù)重新計(jì)算，并與上次結(jié)果相比較，可有效控制應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算精度．本文實(shí)際應(yīng)用程序的控制計(jì)算精度為5×10－4．

3 圓弧裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)

假定對接雙材料平面中一條圓弧裂紋在裂紋岸上僅承受均布壓力q0，選擇不同的圓弧中點(diǎn)坐標(biāo)c/a、不同半徑R/a和切變模量比G2/G1，當(dāng)裂紋中點(diǎn)的半徑與水平坐標(biāo)軸之間的夾角取不同值(0°、45°和90°)時(shí)，無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算結(jié)果如表1～3所示．這里，是圓弧裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子與距界面無限遠(yuǎn)處直線裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子之比．

計(jì)算結(jié)果表明，在單純法向載荷作用下，對于均質(zhì)材料(G2/G1=1)，圓弧裂紋的半徑越小，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子越小，并伴隨著Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增大，其量級較小，所以非直線裂紋與直線裂紋相比是有利的．而對于雙材料(G2/G1≠1)，圓弧裂紋半徑的變小導(dǎo)致應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化較復(fù)雜，其變化規(guī)律與裂紋的方位有關(guān)．在距離界面較遠(yuǎn)處，變化規(guī)律如同均質(zhì)材料，但在靠近界面處，會出現(xiàn)隨著圓弧半徑變小而Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子反而變大，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子有時(shí)變大、有時(shí)變小的情況，如表1中c/a=1的結(jié)果所示，但多數(shù)情況下還是遵從與均質(zhì)材料相同的規(guī)律．因此，總體來說，材料中的非直線裂紋較直線裂紋安全．此外，材料的切變模量比也是影響應(yīng)力強(qiáng)度因子大小的主要因素，在G2/G1＜1時(shí)導(dǎo)致Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子變大，而在G2/G1＞1情況下，導(dǎo)致Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子變小，這種變化應(yīng)歸因于半平面之間的相互約束．

表1 圓弧裂紋中點(diǎn)徑向角θ0=0°時(shí)的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子Tab．1 Dimensionless SIFs when midpoint radial angle of circular crack was θ0=0°

表2 圓弧裂紋中點(diǎn)徑向角θ0=45°時(shí)的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子Tab．2 Dimensionless SIFs when midpoint radial angle of circular crack was θ0=45°

表3 圓弧裂紋中點(diǎn)徑向角θ0=90°時(shí)的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子Tab．3 Dimensionless SIFs when midpoint radial angle of circular crack was θ0=90°

4 結(jié)論

基于所得圓弧裂紋問題的超奇異積分方程，通過變量與函數(shù)代換進(jìn)行歸一化處理，建立了該問題的數(shù)值方法，并通過進(jìn)一步編程計(jì)算，系統(tǒng)求解了雙材料平面中圓弧裂紋問題的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子．結(jié)果表明，雖然在裂紋岸作用單一法向載荷，因裂紋變曲卻使得Ⅰ、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子同時(shí)存在，但Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子量級較小，與無限遠(yuǎn)處直線裂紋相比，應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化一般呈減小趨勢;而在雙材料界面附近，應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律較為復(fù)雜，表現(xiàn)為有時(shí)變小，有時(shí)增大，這主要取決于裂紋的方位．另一方面，當(dāng)含裂紋半平面的切變模量大于另半平面的切變模量時(shí)，裂紋越靠近界面，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子越大;相反情況下，裂紋越靠近界面，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子越小;量級較小的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子一般也呈相同變化規(guī)律，但有時(shí)則呈相反的變化，這也取決于裂紋的方位;當(dāng)裂紋遠(yuǎn)離界面時(shí)，界面對應(yīng)力強(qiáng)度因子大小的影響消失．

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