一類帶有不育控制的單種群離散模型

李秋英， 張鳳琴， 劉漢武

(運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系 山西運(yùn)城044000)

0 引言

鼠類在農(nóng)、林、牧業(yè)等方面造成的損失遠(yuǎn)大于病害和蟲害，它們還是多種病菌的寄主和傳播者，因此對害鼠的有效控制越來越重要．隨著對鼠類研究的深入，科學(xué)家們已經(jīng)不再局限于研究鼠類對人類生產(chǎn)、生活的危害了，并展開鼠類對于生態(tài)系統(tǒng)的影響以及對鼠類的不育控制方面的研究．

不育控制是借助某種技術(shù)或方法使雄性或雌性絕育，或阻礙胚胎著床發(fā)育，甚至阻斷幼體生長發(fā)育，以降低生育率，從而控制種群數(shù)量的增長［1］．不育控制有許多優(yōu)點(diǎn):不會(huì)對環(huán)境造成污染，具有針對性，能大面積使用，在經(jīng)濟(jì)上花費(fèi)更少，效率更高等［2］．因此公眾和動(dòng)物權(quán)益組織認(rèn)為不育控制是人道的．目前，關(guān)于不育控制技術(shù)的研究主要分為2方面:一方面為藥效的研究即野外控制實(shí)驗(yàn)［3］;另一方面為不育控制下害鼠種群動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)分析［4－5］．

種群動(dòng)態(tài)的理論分析方面，一些學(xué)者采用微分方程模型［5－7］，也有學(xué)者采用差分模型研究種群動(dòng)態(tài)．張知彬指出［4］，不育控制之前應(yīng)從理論上分析，同時(shí)建立數(shù)學(xué)模型，并對其進(jìn)行分析，預(yù)見不育控制下害鼠的種群動(dòng)態(tài)，評價(jià)其效果，并提出指導(dǎo)意見．

1 模型建立

本文中，將害鼠種群分為可育者F和不育者S兩類．為建立模型，首先做以下假設(shè):

1)生育函數(shù)為B(N)=b(1－rN)1r，b ＞0，r＜0．

2)不育控制方式是非自傳播方式．

3)單位時(shí)間內(nèi)可育個(gè)體和不育個(gè)體的死亡率分別為d1，d2(d1，d2＜b)．

4)單位時(shí)間內(nèi)可育個(gè)體到不育個(gè)體的轉(zhuǎn)化率為α．

5)單位時(shí)間不育個(gè)體恢復(fù)率(即不育的一部分會(huì)變?yōu)榭捎?為δ．

基于以上假設(shè)，建立不育控制下的單種群模型為

由于一些害鼠物種之間沒有連續(xù)的重疊代，在(1)中令微分步長為1，利用歐拉法得到離散種群模型

根據(jù)實(shí)際意義假設(shè)1－d1－α＞0，1－d2－δ＞0，(2)的初始函數(shù)滿足 F(0)＞0，S(0)≥0．

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性分析

定理1(i)當(dāng) R0=(d1(d2+δ)+d2α)/(b(d2+δ))＞1 時(shí)，(2)僅存在零平衡點(diǎn) E0=(0，0);

(ii)當(dāng) R0=(d1(d2+δ)+d2α)/(b(d2+δ))＜1時(shí)，(2)除平衡點(diǎn) E0外還存在正平衡點(diǎn) E*(F*，S*)，其中，F(xiàn)*=((1－Δ)/r)·(d2+δ)/(d2+α+δ)，S*=((1－Δ)/r)·α/(d2+α+δ)，Δ =Rr0．

下面介紹差分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的一般準(zhǔn)則．

若某二維離散系統(tǒng)在其平衡點(diǎn)E處的線性化系統(tǒng)為X(m+1)=WX(m)，其中W為該差分系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E處的Jacobi矩陣．若W特征值的絕對值都小于1，則平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的．即W同時(shí)滿足3個(gè)Jury條件:(i)1－tr W+det W＞0;(ii)1+tr W+det W＞0;(iii)1－det W＞0．

定理2 當(dāng)R0＞1時(shí)，(2)的平衡點(diǎn)E0=(0，0)是局部漸近穩(wěn)定的．

證明 令 ψ=1－d1－α，μ=1－d2－δ．則(2)在E0=(0，0)處的Jacobi矩陣

由矩陣W0得tr W0=b+ψ+μ＞0，det W0=(b+ψ)μ－δα＞0．于是

顯然，1+tr W+det W＞0，從而滿足3個(gè)Jury條件，因此平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的．

定理3 當(dāng)R0＜1時(shí)，(2)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的．

證明 (2)在E*處的Jacobi矩陣為

其中C=bF*=b(d2+δ)/(d2+δ+α)·R0·(1－R0－r)/(－r)．令 f(x)=(1－x－r)/(－r)，x＞d1/b．顯然有 f'(x)= －x－r－1＜0．故當(dāng) x＞d1/b時(shí)，f(x)≤f(d1/b)=(1 －(d1/b)－r)/(－r)．令 g(t)=1 －(d1/b)t－t(t＞0)．從而 t＞0 時(shí)，g'(t)=ln(d1/b)(d1/b)t－1 ＜0，且有 g(0)=0．因此 g(t)＜0，即 g(t)=(1－(d1/b)t)/t＜1(t＞0)．由于(1－R0－r)/(－r)＜1，從而 C=(b(d2+δ)/(d2+δ+α))·R0·(1－R0－r)/(－r)＜(d1(d2+δ)+d2α)/(d2+δ+α)．根據(jù)矩陣W*得tr W*=1－αδ/(d2+δ)－C+μ，det W*=(1－αδ/(d+δ)－C)μ－δα+αC．由Jury條件可知，當(dāng)(2)在正平衡點(diǎn) E*處的 Jacobi矩陣 W*滿足 tr W*＜1+

2det W*＜2時(shí)，正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的．而 tr W*=1－αδ/(d2+δ)－C+μ＞1－(d1(d2+δ)+d2α)/(d2+δ+α)－αδ/(d2+δ)＞0．因此只需證明 tr W*＜1+det W*＜2．因此1－tr W*+det W*=C(d2+δ)+αC ＞0，1－det W*=(d+δ)(1－C)+(1－α)C+αδ/(d+δ)＞0．故當(dāng)R＜1時(shí)，tr W*＜1+det W*＜2．即

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滿足Jury的3個(gè)條件，所以正平衡點(diǎn)E*(F*，S*)是局部漸近穩(wěn)定的．

3 主要結(jié)果

定理4 當(dāng)R0＞1時(shí)，(2)的平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的．

證明 因?yàn)?R0＞1，所以 b－d1＜αd2/(d2+δ)＜1．定義 Lypunov函數(shù) V(F，S)=F(n)+S(n)．由(2)得

其中Θ=min{b－d1，d2}，顯然0＜Θ＜1．從而平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的．為證明(2)的解是持續(xù)生存的，引進(jìn)引理1．考慮

其中 ω≥0，0＜d＜1 是正常數(shù)．則對(3)有引理1［8］．

引理1 令u(n)是方程(3)滿足u(0)＞0的解．則

(a)nl→im∞u(n)=ω/d;(b)任給常數(shù) ε ＞0，M ＞0，存在正常數(shù)δ(ε)(ε，M)使得當(dāng)

定理5 當(dāng)δ=0，R0＜1時(shí)，(2)的解是一致持續(xù)生存的．

證明 易證明(2)是耗散的．即存在常數(shù)M＞0，使得集合Ω={(F，S )0≤Fn≤M，0≤Sn≤M}為(2)的正向不變集．

考慮方程

令 v(n，n0，v0)為(4)的解．根據(jù)引理 1，對于 n0∈Z+，0≤v0≤M，給定 ε1＞0 和正常數(shù) M，存在常數(shù) δ0=δ0(ε1)＞0和 n*=n*(ε1，M)＞0 使得 e(n)＜ δ0，n≥n0+n*時(shí)，0≤v(n，n0，v0)＜ ε1．由本定理?xiàng)l件知，存在常數(shù) η 和 ε1滿足(1－((d1+α)/b)1r)/r＞ε1+η，αη ＜ δ0．即

下面證明存在常數(shù)β使得對于(2)的任意解有

首先證明(2)的任意解(F(n)，S(n))有

由解的有界性知對每個(gè) m，存在 K使得當(dāng) n＞K時(shí)，F(xiàn)(n，θ)＜M，S(n，θ)＜M．又因?yàn)楫?dāng) q→+∞時(shí)，s(qm)→+∞．所以存在K1(m)，使得q＞K1(m)時(shí)，s(qm)＞K(m)．令q≥K1(m)，故n∈［s(qm)+1，t(qm)－1］時(shí)，，從而可得

故當(dāng) q≥K1(m)，m=1，2，…時(shí)，t(qm)－s(qm)≥(ln(m+1))/(－ ln γ)．進(jìn)而，可取，使得 m≥．q≥K1(m)時(shí)，有t(qm)－s(qm)≥n*．對任意的 m≥，q≥K1(m)及 n∈［s(qm)，t(qm)］，Sn+1≤α·η/(m+1)+(1 －d2－δ)Sn成立．設(shè)v(n)是(4)滿足 v(s(qm))=S(s(qm))的解，則當(dāng) n∈［s(qm)，t(qm)］，m≥，q≥K1(m)時(shí)，有 S(n，θ(m))≤v(n)．取n0=s(qm)，v0=S(s(qm))，由于 0＜v0＜M，αη ＜ δ1，因此可得 n∈［s(qm)+n*，t(qm)］時(shí)，方程(4)的解 v(n，s(qm)，u(s(qm)))滿足 v(n)=v(n，s(qm)，u(s(qm)))＜ ε1．故 S(n，θ(m))＜ ε1，n∈［s(qm)+n*，t(qm)］，q≥K1(m)，m≥．根據(jù)(2)的第一個(gè)方程和比較定理，可得當(dāng)m≥，q≥K1(m)，n∈［s(qm)+n*，t(qm)］時(shí)，

成立．因此η/(m+1)2≥F(s(qm)，θ(m))≥F(s(

qm)－1，θ(m))(b(1 －rη －rε1)1r+1－d1－ α)＞ α0/(m+1)2．

這導(dǎo)致矛盾．因此，存在η＞0使得對于(2)任意的解(F(n)，S(n))，有 lnim inf F(n)＞η．類似可得，存在 η'，

→∞使得．從而定理得證．

4 結(jié)論

本文主要討論了不育控制的作用．從定理4～5可以看出，當(dāng)不育轉(zhuǎn)化率α比較小，使得R0＞1時(shí)，(2)的解是持續(xù)生存的，且可以借助Matlab軟件可得正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的;種群規(guī)模趨向于(1－((d1(d2+δ)+d2α)/(b(d2+δ)))r)/r．當(dāng)α比較大，使得R0＜1時(shí)，種群逐漸消失．由定理4～5得，若不育者的恢復(fù)率δ比較小，使得R0＜1時(shí)，種群是滅絕的．若不育劑失效了，導(dǎo)致恢復(fù)率變大且使得R0＜1，從而種群將會(huì)持續(xù)生存．所以在對害鼠進(jìn)行控制時(shí)，應(yīng)使α比較大，而δ比較?。?/p>

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