反例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用與研究——以隨機事件和概率為例

梅 芳 曾春華 王巧玲

（江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌330045）

對于分析、解答處理問題的思維方法，逆向思維方法與順向思維方法相對而言的。順向思維是按照已知條件出現(xiàn)的先后順序進行思考的；而逆向思維是是從反方向（或從問題的結(jié)果）出發(fā)，不依照問題出現(xiàn)的先后順序，從而逆轉(zhuǎn)推理的一種思維方法。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計和反例教學(xué)法

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)中會碰到許多用逆向思維求解的內(nèi)容，例如，顯著性假設(shè)檢驗的原理是小概率事件實際不可能原理，在一次實驗中小概率事件是不會發(fā)生的，但是在一次顯著性假設(shè)檢驗過程中小概率事件居然發(fā)生了，說明原命題是假的。統(tǒng)計中大量的反例教學(xué)是教學(xué)中的難點，也是學(xué)生理解概率統(tǒng)計問題的難點。我們知道，要斷定一個命題正確，必須經(jīng)過嚴(yán)密的推理論證，而要否定一個命題，只要能舉出一個與結(jié)論矛盾的例子就可以了，這種與命題相矛盾的例子稱為反例。反例教學(xué)法是從原問題的相反方向著手的一種思維教學(xué)法，對于某些特定的問題，從結(jié)論倒過來思考，會使得問題清晰簡單。它是數(shù)學(xué)思維的一個重要方面，是創(chuàng)造性思維的一個組成部分，也是進行思維訓(xùn)練的載體。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中始終貫穿反例教學(xué)法，是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的過程也是培養(yǎng)學(xué)生思維敏捷性的過程。

本文以大學(xué)數(shù)學(xué)公共課概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中的事件與概率一章為例，歸納總結(jié)反例教學(xué)法在此章節(jié)的應(yīng)用與研究。

2 三個典型性結(jié)論及其反例

在教學(xué)過程中，隨機事件及其概率這一章節(jié)中的可以歸納出很多個理論公式和結(jié)論，本文中只是舉三個典型性結(jié)論，然后舉出反例加以推理驗證，刺激學(xué)生的好奇心和興趣，從而使得學(xué)生更加透徹的理解數(shù)理統(tǒng)計概念，更加好學(xué)，更加具有專研精神，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

符號：

A，B，C：隨機事件

Ω：必然事件；樣本空b間；

?：不可能事件

定理1 用事件的運算關(guān)系表示事件的方法不一定唯一

例如，用A，B，C的運算關(guān)系表示事件D={A，B，C中不多于一個事件發(fā)生}，根據(jù)事件的和、差、積及其逆事件的概念，可以寫出下面四種不同的表示法：

定理2 樣本點不一定是事件

按照概率的公理化體系可知，樣本點是樣本空間Ω的元素，而事件是事件域中F中的元素，它是樣本點的某些子集.在古典概型中，樣本空間Ω只含有窮個點，所以Ω也是有窮的.此時常常把Ω的一切子集都視為事件.但卻不能由此認(rèn)為樣本點一定是事件.實際上，并不把Ω的一切子集都當(dāng)作事件來研究。

例如，現(xiàn)從標(biāo)有數(shù)字1~10的十個球，任取一球，樣本空間

Ω={1,2，…，10}

令

A={所取球的號碼為偶數(shù)}={2,4,6,8,10}

A={所取球的號碼為偶數(shù)}={1,3,5,7,9}

我們只考慮事件?，A，A，Ω時，容易驗證F={?，A，A，Ω}為一事件域，于是Ω中的樣本點B={所取球的號碼為4}就不是事件域F中的元素，即B={4}不是F中的事件。

定理3 對“等可能性”的理解不同，得到的概率不一定相同

在概率論發(fā)展的早期，大部分的人都相信，只要找到適當(dāng)?shù)牡瓤赡苄悦枋觯涂梢越o概率問題唯一的解答，但事實上確并非如此，這是個經(jīng)典的著名反例，貝特朗（Bertrand）奇論（貝特朗在1887年出版的《概率論教程》一書中構(gòu)造了這個例子）：

在半徑為1的園內(nèi)隨意畫一條弦，問它的長度超過其內(nèi)接正三角形的邊長的概率等于多少？

從不同的方向的理解，貝特朗對這個問題給出了三種不同的解法。

圖1

圖2

圖3

解法一：

如圖1，我們在圓中任意畫一條弦AB，又以A為定點作圓的內(nèi)接正ΔACD，要AB比AC（容易計算出）長，由已知，必須端點B落在弧CD上，點B落在圓周上任何一點是等可能的，于是，AB超過的概率為

解法二：如圖2，在圓中任意畫出一條弦AB，再作與AB垂直的直徑CF，并以C為頂點作圓的內(nèi)接正ΔCDE，由圖可見，要AB＞DF，必須AB和直徑CF的交點M落在GH內(nèi)，這里G是CF與DE的交點，H是G關(guān)于圓心O的對稱點，由平面幾何可以求出M點落在CF上各點是等可能的，故AB超過的概率為：

解法三：如圖3，在圓中任意畫出一條弦AB，再作圓內(nèi)接正ΔCDE，使得DE//AB。接著作出ΔCDE的內(nèi)切圓，計算出內(nèi)切圓的半徑設(shè)AB的中點為Q，很明顯Q點必須落在這個內(nèi)切圓（陰影部分）內(nèi)，AB的長才不會超過落在大圓內(nèi)任何一點都是等可能的，故所求的概率為：

三種解法推理看起來都無懈可擊，不同的理解得到了三種完全不同的答案，從而使得問題得到了奇論的美稱，也就是數(shù)學(xué)上的貝特朗悖論。同一個問題得到不同的結(jié)論的原因是什么呢？原因在于每種解法對于“等可能性”作出了不同的理解和假設(shè)：解法一假定了弦的端點落在圓周上各點是等可能的；解法二假定了弦的中點落在直徑上各點是等可能的；解法三假定了弦的中點落在圓內(nèi)各點上是等可能的。對于各自不同的假設(shè)，上面三種解法和結(jié)果都是正確的，這個例子提醒學(xué)生，在解答概率問題時，一定要弄清楚等可能性的條件，以免發(fā)生混淆。

3 結(jié)束語

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)過程中的引人各種反例教學(xué)，會使得上課更加生動有趣，不同于常規(guī)的思維推理一定會引起學(xué)生的好奇心和好勝心，從而激發(fā)學(xué)生對概率統(tǒng)計的極大興趣，然后可以引導(dǎo)學(xué)生專研問題，思考結(jié)論。在教學(xué)中插入恰當(dāng)?shù)姆蠢?，即是簡明有力的否定方法，又是加深學(xué)生對概念和定理的理解的重要手段，它有助于發(fā)現(xiàn)問題，活躍思維、避免常犯易犯的錯誤。從而達到教學(xué)上的最高水平，取得令人滿意的教學(xué)效果。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].4版.高等教育出版社，2008：1-14.

［2］沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].5版.高等教育出版社，2011：1-7.

［3］袁蔭棠.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].2版.人民大學(xué)出版社，1990：1-14.