M-矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值下界新的估計式

高美平

(文山學院 數(shù)學學院, 云南 文山 663000)

許多專家學者對矩陣特征值的估計進行了研究[1-14].因為M-矩陣是一類有重要應用背景的特殊矩陣,所以關于M-矩陣與其逆矩陣的Hadamard積的最小特征值下界的估計式成為被關注的問題之一[1-12].對于M-矩陣A與其逆A-1的Hadamard積最小特征值q(A°A-1)下界問題.M.Fiedler等首先在文獻[1]中得出

(1)

且猜想

(2)

隨后文獻[2-5,9]中證明了M.Fiedler和T.L.Markham的猜想.(2)式形式簡單,計算容易,但矩陣A的階數(shù)很大時,該估計式所得的效果不佳.文獻[6]給出了改進的結(jié)果,即

其中ρ(J)是矩陣A的Jacobi迭代矩陣的譜半徑.

當階數(shù)n比較大時(3)式改進了(2)式,但由于ρ(J)計算比較復雜,于是文獻[7]從矩陣的元素得出

(4)

其中

H. B. Li等[7]改進了以上結(jié)論, Y. Y. Li等在文獻[8]中得出,當A是M-矩陣,A-1是雙隨機矩陣時q(A°A-1)的估計式,即

(5)

文獻[8]還得到M-矩陣A與其逆A-1的Hadamard積的最小特征值下界的估計式

(6)

其中

最近,文獻[12]得到的結(jié)果為

(7)

本文繼續(xù)對M-矩陣A與其逆A-1的Hadamard積的最小特征值下界問題進行研究,得到了q(A°A-1)新估計式.

1 預備知識

下面先給出一些定義和引理,以便于后面的敘述.

設Cn×n(Rn×n)表示復(實)數(shù)域上所有n×n矩陣作成的集合,N表示正整數(shù)集.

定義1[15]設

Zn×n=A=(aij)|A∈Rn×n,

aij≤0, ?i,j∈N,i≠j,

則稱An×n的矩陣A為Z矩陣(簡記為A∈Zn×n).

定義2[15]若矩陣A=(aij)∈Rm×n的所有元素aij≥0,則稱矩陣A為非負矩陣,記為A≥0.非負矩陣A=(aij)m×n中的所有元素aij>0,則稱矩陣A為正矩陣,記為A>0.

定義3[15]設A為Z矩陣且A-1≥0,則稱A為(非奇)M-矩陣.

定義4[15]設矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)m×n則矩陣A與B的Hadamard積為C=A°B=(cij)m×n,其中cij=aijbij.

定義5[15]矩陣A=(aij)n×n的n個特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合稱為A的譜,記為σ(A).

定義7[15]若n階實矩陣A的各行元素之和均為1,則稱A為行隨機矩陣;若n階實矩陣A的各列元素之和均為1,則稱A為列隨機矩陣;若A與AT均為行隨機矩陣,則稱A為雙隨機矩陣.

定義8[16]設矩陣A=(aij)∈Zn×n,記q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)},稱q(A)為A的最小特征值.

引理1[7](a)若A=(aij)是n階行嚴格對角占優(yōu)矩陣,則A-1=(bij)滿足

(b) 若A=(aij)是n階列嚴格對角占優(yōu)矩陣,則A-1=(bij)滿足

j≠i,j∈N,

引理2[2]若A是M-矩陣,A-1是雙隨機矩陣,則Ae=e,ATe=e,其中e=(1,…,1)T.

引理3[17]設A=(aij)∈Cn×n,x1,x2,…,xn是任意給定的一組正實數(shù),則A的所有特征值包括在復平面C的如下區(qū)域內(nèi)

引理4[16]設A是非負矩陣,則存在對角元都是正實數(shù)的對角矩陣D1和D2使得D1AD2是雙隨機陣.

引理5[1]若P是不可約的M-矩陣且對于非負非零向量z滿足Pz≥kz(其中k∈R),則k≤τ(P).

2 主要結(jié)論

2.1逆矩陣元素的估計以下給出嚴格對角占優(yōu)矩陣A=(aij)的逆矩陣A-1=(bij)的元素bij的估計式.

定理1(a) 若A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)矩陣,則A-1=(bij)滿足

(b) 若A=(aij)∈Rn×n是列嚴格對角占優(yōu)矩陣,則A-1=(bij)滿足

j≠i.

證明(a) 設

因為A是行嚴格對角占優(yōu)矩陣,所以

因此,存在ε>0使得0

即

j≠i,j∈N.

(8)

當j=i時有

(9)

由(8)和(9)式知ARi(ε)是行嚴格對角占優(yōu)矩陣.

由引理1(a)得

j≠i,j∈N.

也就是

j≠i,j∈N.

上式中令ε→0得

j≠i,j∈N.

(b) 設

因為A是列嚴格對角占優(yōu)矩陣,所以

因此,存在ε>0,使得0

為了敘述方便,記為

注1定理1分別改進了文獻[2,7-8]的引理2.2,定理2.1和引理2.2.

這是因為矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣可得dk<1.文獻[8]指出ri≤dk<1.另易證|mki|≤ri.事實上,

因此,若A是行嚴格對角占優(yōu)的M-矩陣,則A-1=(bij)滿足

j≠i,j∈N.

定理2若A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)的M-矩陣,則A-1=(bij)滿足

證明一方面,由A是M-矩陣知:A-1=(bij)≥0.由AA-1=I得

即

于是

另一方面

由A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)的M-矩陣知

于是

因此

定理3若A=(aij)∈Rn×n是M-矩陣,且A-1=(bij)是雙隨機矩陣,則

所以A是嚴格對角占優(yōu)矩陣.由定理1知

即

2.2M-矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值下界的估計式在文獻[1-2,5-8,12]中分別給出了M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值下界的估計式為(1)～(7)式.下面給出M-矩陣A與其逆矩陣A的Hadamard積的最小特征值下界新的估計式.

定理4若A=(aij)∈Rn×n是M-矩陣,且A-1=(bij)是雙隨機矩陣,則

(10)

證明1) 若A是不可約的,因為A-1是雙隨機矩陣,所以由引理2知

aii>1,i∈N.

所以

因此,矩陣A是一個嚴格對角占優(yōu)矩陣.設

則對于?j∈N,j≠i有

因此,存在實數(shù)γji(0≤γji≤1)使得

所以

令

由A是不可約矩陣得

設A°A-1的特征值為λ,由引理3知,存在i0∈N得

因此

(ai0i0-vi0Ci0)bi0i0=(ai0i0-vi0Ri0)bi0i0≥

2) 若A是可約的M-矩陣,則存在置換矩陣P使得

其中Ai1i1,Ai2i2,…,Aisis是不可約方陣.不失一般性,可假設A是塊上三角形式

其中Ai1i1,Ai2i2,…,Aisis是不可約方陣,于是A-1仍為塊上三角矩陣.因為

所以當A可約時,由1)的證明過程知,(10)式仍然成立.

定理5設矩陣A=(aij)∈Rn×n是M-矩陣,且A-1=(bij)是雙隨機矩陣,則

證明因為

且

由mki≤ri,得0≤vji≤mji,0≤vi≤mi,所以

aii-viRi≥aii-miRi≥aii-Ri>0.

因此

注2定理5指出,本文的定理4比文獻[8]的定理3.2更加接近于q(A°A-1).

定理6設矩陣A=(aij)∈Rn×n是M-矩陣,則

因此,為了方便和不失一般性,設A是不可約且A-1是雙隨機矩陣.

由A-1是雙隨機矩陣和引理2得:對于?i∈N有

且q(A°A-1)=q((A°A-1)T)=q(AT°(AT)-1).

令(AT°(AT)-1)e=(q1,q2,…,qn)T,則

于是

由引理5知

因此

2) 當A是可約的M-矩陣時,證明與定理4的2)類似的方法可以證(11)式成立.

推論若矩陣A=(aij)∈Rn×n是M-矩陣,則

推論表明定理6比文獻[8]的定理3.4更加接近于q(A°A-1).

本文得到的M-矩陣A與其逆矩陣A-1的Hadamard積最小特征值的下界,改進了文獻[8],而文獻[8]改進了文獻[7],文獻[7]改進了文獻[2-6].因此所得的結(jié)果是現(xiàn)有的結(jié)果提高.另外,新估計式的計算僅依賴于矩陣的元素.最后用數(shù)值算例表明文中得到的估計式比現(xiàn)有的估計式更為精確.

3 數(shù)值算例

下面給出數(shù)值算例以說明本文定理的正確性和有效性.

對于矩陣

顯然矩陣A是嚴格對角占優(yōu)的M-矩陣,且A-1是雙隨機矩陣.

1) 對矩陣A的逆矩陣A-1=(bij)的非對角元上界的估計.根據(jù)文獻[3]的引理2.2得

(12)

把文獻[7]的定理1(a)和推論2.5相結(jié)合得

(13)

根據(jù)文獻[8]的引理2.2(a)得

(14)

根據(jù)定理1(a)得

(15)

由(12)～(15)式可看出,由定理1所得的結(jié)果比文獻[3,7-8]所得的結(jié)果能更好地估計A-1的非對角元.

2) 對逆矩陣A-1的對角元的估計.由文獻[7]的定理2.3和引理3.2,可知矩陣A-1的對角元的上界與下界的估計值為

0.341 9≤b11≤0.481 9;

0.340 4≤b22≤0.410 3;

0.341 9≤b33≤0.484 8;

0.340 4≤b44≤0.484 8.

由文獻[8]的引理2.3和定理3.1,可以得到矩陣A-1的對角元的上界與下界的估計值

0.363 6≤b11≤0.444 4;

0.352 9≤b22≤0.3871;

0.400 0≤b33≤0.400 0;

0.400 0≤b44≤0.400 0.

如果根據(jù)本文的定理2和定理3得到矩陣A-1的對角元的上界與下界的估計值

0.379 1≤b11≤0.423 3;

0.360 9≤b22≤0.375 0;

0.400 0≤b33≤0.400 0;

0.400 0≤b44≤0.400 0.

對以上結(jié)果進行比較,可知定理2和定理3比文獻[7-8]對矩陣A的逆矩陣A-1的對角元素的上界和下界更好地進行了估計.

3) 對A°A-1的最小特征值下界的估計,由Fiedler和Markham的猜想得:q(A°A-1)≥0.5.由文獻[7]中的定理3.1得:q(A°A-1)≥0.662 4;由文獻[8]中的定理3.2得:q(A°A-1)≥0.799 9;由本文定理4得:q(A°A-1)≥0.825 0,而q(A°A-1)的真實值為q(A°A-1)=0.975 5.

對以上結(jié)果進行比較,可知定理4的結(jié)果有效地改進了M.Fiedler和T.L.Markham猜想以及文獻[7-8]的結(jié)果.

致謝文山學院重點學科建設項目(12WSXK01)對本文給予了資助,謹致謝意.

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