具有Markov轉(zhuǎn)換的Lotka-Volterra系統(tǒng)中市場結(jié)構(gòu)的演進(jìn)

付桐林

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

Lotka-Volterra模型由Lotka和Volterra提出,最初用于描述生態(tài)學(xué)中種群的動態(tài)關(guān)系.近年來在經(jīng)濟(jì)研究中開始有所應(yīng)用，但大部分結(jié)果都僅僅局限于經(jīng)濟(jì)增長和社會人口控制等宏觀問題.J. Brandera等[1]在一個簡單的一般均衡體系下采用Lotka-Volterra模型討論了社會文明的動態(tài)過程,付桐林等[2-3]研究了隨機(jī)Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)下的市場結(jié)構(gòu),證明了市場結(jié)構(gòu)的依分布穩(wěn)定性和隨機(jī)持久性.S. Slobodyan[4]利用Lotka-Volterra模型證明了在局部不確定的穩(wěn)態(tài)下,連續(xù)時間的經(jīng)濟(jì)增長模型不可能存在周期性軌道.C. Zhu等[5-6]先后研究了隨機(jī)環(huán)境下的Lotka-Volterra模型,給出了系統(tǒng)解的存在唯一性定理.X. Li等[7]研究了隨機(jī)干擾下的Lotka-Volterra人口模型.

市場產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的確立,傳統(tǒng)上是在市場處于均衡態(tài)的假設(shè)下以邊際成本與邊際收益相等作為廠商決策的依據(jù),并以此來確定市場結(jié)構(gòu).孔東民[8]避開市場處于均衡態(tài)的假設(shè)和邊際成本等于邊際收益的條件,研究了Lotka-Volterra系統(tǒng)下市場結(jié)構(gòu)的演進(jìn).這些研究都是借用確定性Lotka-Volterra系統(tǒng)對經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題加以討論.事實(shí)上,當(dāng)多種同類的競爭性產(chǎn)品投放市場后,會受到各種微小的隨機(jī)因素的干擾.而生產(chǎn)產(chǎn)品有時也會受到干擾強(qiáng)度很大的隨機(jī)因素如停電、維修、事故等的影響轉(zhuǎn)入停產(chǎn)狀態(tài),而這些隨機(jī)因素的來到時刻也具有很強(qiáng)的隨機(jī)性.文中用Markov鏈來描述這種突然地強(qiáng)度很大的隨機(jī)干擾[9-11],采用具有Markov轉(zhuǎn)換的Lotka-Volterra系統(tǒng)描述市場結(jié)構(gòu),這樣更加貼近現(xiàn)實(shí).

1 主要結(jié)果

事實(shí)上,上述n種同類的競爭性產(chǎn)品投放市場后,會受到各種微小的隨機(jī)因素的干擾.而生產(chǎn)產(chǎn)品有時也會受到干擾強(qiáng)度很大的隨機(jī)因素如停電、維修、事故等的影響轉(zhuǎn)入停產(chǎn)狀態(tài),而這些隨機(jī)因素的來到時刻也具有很強(qiáng)的隨機(jī)性.文中用Markov鏈來描述這種突然地強(qiáng)度很大的隨機(jī)干擾.考慮帶有Markov轉(zhuǎn)換和白噪聲干擾的如下形式的Lotka-Volterra方程

[b(α(t))+A(α(t))x(t)]dt+

σ(α(t))x(t)dB(t),

(1)

其中,B(t)是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動[12],α(t)是取值在S=1,2,…,M的右連續(xù)Markov鏈,滿足對每個α∈S有σii>0,σij≥0，i≠j,i,j=1,2,…,M.

這里

σ(α(t))=(σij(α(t)))n×n.

≤K,

其中K是常數(shù).

dV(x(t))=LV(x(t))dt+

xT(t)σ(α(t))x(t)dB(t),

其中

LV(x(t))=xT(t)b(α(t))+xT(t)A(α(t))x(t).

d(etV(x(t)))=etV(x(t))dt+

etdV(x(t))=et[V(x(t))+LV(x(t))]dt+

etxT(t)σ(α(t))x(t)dB(t).

對每個整數(shù)k≥|x0|,停時ρk=inf{t∈R+:|xt|≥k}.于是

+V(x(s))]ds=et[V(x(t))+

LV(x(t))]dt+etxT(t)σ(α(t))x(t)dB(t), (2)

LV(x(t))+V(x(t))=xT(t)b(α(t))+

基于引理和Chebyshev不等式[13],有如下定理.

定理1說明方程(1)的解為隨機(jī)最終有界的,這說明在各種隨機(jī)因素的干擾之下,構(gòu)成系統(tǒng)的各種產(chǎn)品的數(shù)目終將隨機(jī)的維持在各自的均衡點(diǎn)附近.下面的定理給出了方程(1)的漸近行為.

即

|xT(s)A(α(s))x(s)|≤

因此

令

則

因而

對1≤t≤k,?ω∈Ω′,?k≥k0(w)成立.若k-1≤t≤k且k≥k0(w),則有

于是

即

致謝隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目(XYZK1208)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

[1] Brandera J, Taylorm S. The simple economics of Easter Island:a ricard malthus model of renewable resource use[J]. Am Economic Rev,1998,88(1):119-138.

[2] 付桐林. 隨機(jī)Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)下的市場結(jié)構(gòu)的演進(jìn)[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,39(2):47-50.

[3] 付桐林,楊明霞. Markov轉(zhuǎn)換的隨機(jī)Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)下的市場結(jié)構(gòu)的演進(jìn)[J]. 黃岡師范學(xué)院學(xué)報,2012,32(6):5-7.

[4] Slobodyan S. On impossibility of limit cycles in certain two dimensional continuous time grouth model[J]. Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics,2001,5(1):33-40.

[5] Zhu C, Yin G. On hybrid competitive Lotka-Volterra ecosystems[J]. Nonlinear Anal,2009,71:1370-1379.

[6] Zhu C, Yin G. On competitive Lotka-Volterra model in random environments[J]. J Math Ana Appl,2009,357:154-170.

[7] Li X, Mao X. Population dynamical behavior of non autonomous Lotka-Volterra competitive systems with random perturbation[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems,2009,24:523-545.

[8] 孔東民. Lotka Volterra系統(tǒng)下市場結(jié)構(gòu)的演進(jìn)[J]. 管理工程學(xué)報,2005,19(3):77-81.

[9] 呂王勇,高仕龍,馬洪. 廣義Copula的存在理論[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,33(2):159-161.

[10] 付桐林,潘歡. 尾分布族L、D的一些性質(zhì)及其應(yīng)用[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,36(3):162-165.

[11] Embrocates P, Kluppelberg C, Mikosch T. Modelling Extreme Events for Insurance and Finance[M]. Berlin:Springer-verlag,1997.

[12] Rolski T, Schmidt H, Schmidt Y,et al. Stochastic Process for Insurance and Finance[M]. Johe Wiley & Sons,1999.

[13] Stevene Shreve. Stochastic Calculus for Finance[M]. New York:Springer-verlag,2008:251-269.

[14] 閆秀明,胡先權(quán). 新環(huán)狀勢的Klein-Gordon方程束縛態(tài)解[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,27(4):51-53.

[15] 馬月珍,李小綱,葛永斌. 二維波動方程的高精度交替方向隱式方法. 四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,33(2):179-183.

[16] 邵遠(yuǎn)夫,艾武. 一類脈沖多時滯互惠系統(tǒng)周期解的存在性與穩(wěn)定性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,35(1):33-38.