Banach空間中變分不等式組的廣義f-投影迭代算法

張紅玲, 馬淑霞, 王中寶

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

1 預(yù)備知識(shí)

近幾十年來,變分不等式及其相補(bǔ)問題已在眾多不同領(lǐng)域得到應(yīng)用,其中一個(gè)非常重要的問題就是尋求有效的迭代算法來逼近變分不等式的解[1-9].1994年,Y. Alber[10]在一致光滑和一致凸的Banach空間中引進(jìn)廣義投影的概念,并用它解決變分不等式解的逼近問題.隨著變分不等式向變分不等式組的推廣,這個(gè)方法也隨之被應(yīng)用到變分不等式組解的逼近問題[11-12].本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上討論集值變分不等式組的廣義f-投影算子的迭代算法.

令X和Y是拓?fù)淇臻g,F:X→2Y是非空集值映像,稱F是：

(i) 在x0∈X上半連續(xù)的,若對(duì)Y中任意包含F(xiàn)(x0)的開集V,在X中存在x0的開鄰域U使F(U)?V;

(ii) 在X是上半連續(xù)的,若在X中的任意點(diǎn)處是上半連續(xù)；

(iii) 是閉的,若它有閉圖,即GrF={(x,y):x∈X,y∈F(x)}在X×Y中是閉的.

令X是實(shí)Banach空間,X*是其對(duì)偶空間,記X與X*間的對(duì)偶為〈·,·〉,K是X的非空閉凸子集.J:X→2X*是X到其對(duì)偶空間的正規(guī)對(duì)偶映像,定義為

J(x)={f*∈X*:〈x,f*〉=‖x‖2=

‖f*‖2}, ?x∈X.

為了參考方便,下面列出它的一些性質(zhì).

(i)J在光滑的Banach空間中是強(qiáng)拓?fù)涞絏*空間中弱星拓?fù)涞倪B續(xù)的單值算子；

(ii)J在一致光滑的Banach空間中每個(gè)有界集上是一致連續(xù)算子；

(iii) 如果X是自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,J*:X*→X是X*上的正規(guī)對(duì)偶映像,那么J-1=J*,JJ*=IX*,J*J=IX.

令S,T,U:K3→2X*是3個(gè)非線性集值映像.考慮下面的廣義非線性變分不等式組問題(SGNVIP):尋找x*,y*,z*∈K,使得s*∈S(y*,z*,x*),t*∈T(z*,x*,y*),u*∈U(x*,y*,z*),并且滿足對(duì)?x∈K有

〈s*,x-x*〉+f(x)-f(x*)≥0,

〈t*,x-y*〉+f(x)-f(y*)≥0,

〈u*,x-z*〉+f(x)-f(z*)≥0.

(1)

現(xiàn)在回想廣義f-投影算子的概念和它的一些性質(zhì).設(shè)泛函G:X*×K→(-∞,+∞),則有

G(φ,ξ)=‖φ‖2-2〈φ,ξ〉+

‖ξ‖2+2ρf(ξ),

(2)

其中,ξ∈K,φ∈X*,ρ>0,f:K→(-∞,+∞)是真凸下半連續(xù)泛函.文獻(xiàn)[13]有如下性質(zhì)：

(i) 對(duì)固定的ξ∈X,G(φ,ξ)關(guān)于φ是凸連續(xù)的；

(ii) 對(duì)固定的φ∈X*,G(φ,ξ)關(guān)于ξ是凸下半連續(xù)的.

?φ∈X*.

如果X是光滑的Banach空間,那么J是單值映射.所以,對(duì)任意的x∈X在X*空間中存在唯一的φ滿足φ=Jx,將它帶入(2)式得到

G(Jx,ξ)=‖x‖2-2〈Jx,ξ〉+

‖ξ‖2+2ρf(ξ).

(3)

Banach空間X中的廣義投影算子有如下定義.

?x∈X.

對(duì)于廣義f-投影算子,有如下基本性質(zhì).

?y∈K;

引理1.2[13]若f(x)≥0,?x∈K,則有

G(Jx,y)≤G(φ,y)+2ρf(y),

引理1.3設(shè)X是實(shí)光滑嚴(yán)格凸自反Banach空間,K是X的非空閉凸子集,f:K→(-∞,+∞)是真凸下半連續(xù)泛函.令S,T,U:K3→2X*是3個(gè)非線性集值映像,ρ>0,η>0,ξ>0.點(diǎn)(x*,y*,z*)∈K3是變分不等式組(1)的解當(dāng)且(x*,y*,z*)∈K3是下面變分包含組的解

(4)

證明實(shí)際上,(x*,y*,z*)∈K3是(1)式的解當(dāng)且僅當(dāng)存在s*∈S(y*,z*,x*),t*∈T(z*,x*,y*),u*∈U(x*,y*,z*),使得對(duì)?x∈K與任意ρ>0,η>0,ξ>0有

ρ〈s*,x-x*〉+ρf(x)-ρf(x*)≥0,

η〈t*,x-y*〉+ηf(x)-ηf(y*)≥0,

ξ〈u*,x-z*〉+ξf(x)-ξf(z*)≥0.

上式成立當(dāng)且僅當(dāng)

〈Jx*-ρs*-Jx*,x*-x〉+

ρf(x)-ρf(x*)≥0,

〈Jy*-ηt*-Jy*,y*-x〉+

ηf(x)-ηf(y*)≥0,

〈Jz*-ξu*-Jz*,z*-x〉+

ξf(x)-ξf(z*)≥0.

由引理1.1的(ii)可知此式成立當(dāng)且僅當(dāng)(4)式成立,這就完成了證明.

引理1.4[16]設(shè)X是一致凸Banach空間,r>0,那么存在一個(gè)嚴(yán)格單增的連續(xù)凸函數(shù)g:[0,2r]→R,使得g(0)=0,并且

‖tx+(1-t)y‖2≤t‖x‖2+

(1-t)‖y‖2-t(1-t)g(‖x-y‖),

(5)

對(duì)任意的x,y∈Br和t∈[0,1],其中

Br={z∈X:‖z‖≤r}.

引理1.5(i) 設(shè)若X是Banach空間[17],則有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,J(x+y)〉,

?x,y∈X.

(ii) 若X是一致凸和光滑Banach空間[18],則有

‖f+g‖2≤‖f‖2+2〈g,J-1(f+g)〉,

?f,g∈X*.

2 算法

算法2.1對(duì)任意給定的初始點(diǎn)(x0,y0,z0)∈K3,按下面的定義計(jì)算{sn}、{tn}、{un}和{xn}、{yn}、{zn}:

sn∈S(yn+1,zn+1,xn),

tn∈T(zn+1,xn,yn),

un∈U(xn,yn,zn),

zn+1=(1-γn)zn+

(6)

其中,ρ,η,ξ>0,{αn}、{βn}、{γn}是[0,1]中序列.

當(dāng)X=H是Hilbert空間,f=0時(shí),則有X=X*,J=J-1=I.若S、T、U為單值映射,則算法2.1變?yōu)樗惴?.2.

算法2.2對(duì)任意給定的初始點(diǎn)(x0,y0,z0)∈K3,按下面的定義計(jì)算{xn}、{yn}、{zn}:

xn+1=(1-αn)xn+αnPK(xn-ρS(yn+1,zn+1,xn)),

yn+1=(1-βn)yn+βnPK(yn-ηT(zn+1,xn,yn)),

zn+1=(1-γn)zn+

γnPK(zn-ξU(xn,yn,zn)), ?n≥0,

(7)

其中,ρ,η,ξ>0,{αn}、{βn}、{γn}是[0,1]中序列,PK:H→K是度量投影.

3 主要結(jié)果

現(xiàn)在給出變分不等式組在一定條件下解的近似逼近.

定理3.1設(shè)X是一致凸和一致光滑的Banach空間,K是X的非空閉凸子集,θ∈K,f:K→R是凸下半連續(xù)泛函.令S,T,U:K3→2X*是3個(gè)上半連續(xù)閉值的集值映像且滿足下列條件：

(i)f(x)≥0,?x∈K且f(0)=0;

(ii) 存在X*中的一個(gè)緊子集C和常數(shù)ρ>0,η>0,ξ>0,使得

(J-ρS)(K3)∪(J-ηT)(K3)∪

(J-ξU)(K3)?C,

其中,J(x,y,z)=Jz,?(x,y,z)∈K3而且對(duì)任意(x,y,z)∈K3,s∈S(y,z,x),t∈T(z,x,y),u∈U(x,y,z),下式成立

〈s,J-1(Jx-ρs)〉≥0,

〈t,J-1(Jy-ηt)〉≥0,

〈u,J-1(Jz-ξu)〉≥0.

(8)

令{xn}、{yn}、{zn}是(6)式定義的序列,{αn}、{βn}、{γn}是(a,b)?(0,1)中的序列滿足

則由算法2.1構(gòu)造的序列{xn}、{yn}、{zn}存在子列{xnt}、{ynt}、{znt}滿足當(dāng)t→∞時(shí),有xnt→x*,ynt→y*,znt→z*,其中,(x*,y*,z*)∈K3是(1)式的解.

證明根據(jù)引理1.2和引理1.5(ii)可知

G(Jxn-ρsn,0)+ρf(0)=‖Jxn-ρsn‖2≤

‖Jxn‖2-2ρ〈sn,J-1(Jxn-sn)〉≤

‖Jxn‖2=‖xn‖2.

(9)

另一方面有

(1-αn)‖xn‖+

(10)

應(yīng)用引理1.4,存在一個(gè)嚴(yán)格增的連續(xù)凸函數(shù)g:[0,2r]→R,使得g(0)=0,并且使得(5)式成立.根據(jù)(5)和(9)式可知

這就表明

‖xn‖2-‖xn+1‖2.

(11)

因?yàn)閧‖xn‖}單調(diào)遞減且有下界,知道{‖xn‖}的極限存在.在(11)式中令n=0,1,2,…,k并求和有

‖x0‖2-‖xk+1‖2.

令k→∞,上式蘊(yùn)含

根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知

由條件(iii)知上式等價(jià)于

因此由g的性質(zhì)可得

(12)

用完全類似的方法可得

(13)

(14)

因?yàn)閧xn}、{yn}、{zn}有界,而且存在緊子集C?X*使(J-ξU)(K3)?C,所以存在子列{xni}?{xn},{yni}?{yn},{zni}?{zn}使得存在{uni}∈U(xni,yni,zni)有

Jzni-ξuni→h1∈X*.

(15)

而此時(shí)

由(14)和(15)式有zni→z*.由{zn}的定義可知

‖zni+1-zni‖=

所以zni+1→z*.

因?yàn)閧xni}、{yni}、{zni+1}有界,(J-ηT)(K3)∈C,所以存在子列{xnk}?{xni},{ynk}?{yni},{znk+1}?{zni+1},使得存在tnk∈T(znk+1,xnk,ynk),從而

Jynk-ηtnk→h2∈X*,

(16)

所以

類似可證得ynk→y*,ynk+1→y*.

由{xnk}、{ynk+1}、{znk+1}有界,(J-ρS)(K3)∈C,所以存在子列{xnt}?{xnk},{ynt+1}?ynk+1},{znt+1}?{znk+1},使得存在snt∈S(ynt+1,znt+1,xnt),從而

Jxnt-ρsnt→h3∈X*,

(17)

所以

再由S,T,U:K3→2X*是3個(gè)具有閉值的上半連續(xù)映射,知道J-ρS、J-ηT、J-ξU是閉的,從而由(15)～(17)式可得

所以由引理1.3可知(x*,y*,z*)∈K3是變分不等式(1)的解.這就完成了證明.

若X是Hilbert空間,f=0時(shí),S、T、U為單值映射,由定理3.1可得定理3.2.

定理3.2設(shè)X是Hilbert空間,K是X的非空閉凸子集,θ∈K,令S,T,U:K3→X是3個(gè)連續(xù)映像且滿足下列條件：

存在一個(gè)緊子集C?X和常數(shù)ρ>0,η>0,ξ>0,使得

(J-ρS)(K3)∪(J-ηT)(K3)∪

(J-ξU)(K3)?C,

其中,I(x,y,z)=z,?(x,y,z)∈K3而且對(duì)?(x,y,z)∈K3,下式成立

〈S(y,z,x),x〉≥ρ‖S(y,z,x)‖2,

〈T(z,x,y),y〉≥η‖T(z,x,y)‖2,

〈U(x,y,z),z〉≥ξ‖U(x,y,z)‖2.

令{xn}、{yn}、{zn}是(7)式定義的序列,{αn}、{βn}、{γn}是(a,b)?(0,1)中的序列滿足定理3.1(iii),則定理3.1的結(jié)論仍然成立.

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