空間兩直線平面角與其投影角變化關(guān)系的探討

王續(xù)明，邢華璐

(1.華北科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，北京東燕郊 101601;2.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西西安 710072)

0 引言

空間一條直線的投影較簡單，比如直線AB的長度和它在某一面的投影ab之間的關(guān)系符合AB=ab·cosθ，其中θ為直線與投影面之間的夾角，顯然AB＞ab。當(dāng)θ=0°時(shí)，直線AB平行于投影面，在該面的投影反應(yīng)實(shí)長?？臻g兩直線的平面角的投影不同于直線段，它可能大于或等于或小于角度本身，它們的內(nèi)在關(guān)系比較復(fù)雜，再加上空間位置變化多端，給角度投影的理解和應(yīng)用帶來很大困惑。空間角度的投影分為線面型和線線型，本文所討論的問題主要針對(duì)空間兩相交直線的線型。在工程制圖的教學(xué)中，沒有給出解決任意平面角的圖解問題，空間兩直線的夾角是工程實(shí)際中經(jīng)常碰到的問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)平面角與其投影之間的關(guān)系理解不夠深刻。筆者在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，應(yīng)用三射線定理，分類討論了它們之間的變化規(guī)律，以期強(qiáng)化工程制圖的教學(xué)工作，深化空間角在工程實(shí)際中的應(yīng)用。

1 三射線定理及其在角度投影中的應(yīng)用

如圖1所示，從空間一點(diǎn)P任意引出三條不共面的射線 PA、PB、PC，設(shè)∠APC =α，∠BPC=β，∠APB=θ，且二面角A－PCB為ω，則:

圖1 三射線定理空間示意圖

式(1)反應(yīng)空間角∠APB與其在H面上投影角∠ACB的關(guān)系，當(dāng)然通過三角函數(shù)也不難推導(dǎo)出此公式。三射線定理也稱為三面角的余弦定理，常被記作:

2 討論

1)直線PC同時(shí)垂直于PA與PB，即α=β= 90°

如圖2所示，此時(shí)兩直線PA、PB都與H面平行，那么在H面上的投影角反應(yīng)空間角度的實(shí)際大小，即θ=ω。把上述條件帶入公式(2)中，也很容易得出cosω=cosθ，θ=ω的情況。

圖2 α=β=90°的空間示意圖

2)PC垂直于PA和PB其中的一條邊，不妨設(shè)β=90°，α≠90°

把以上條件帶入公式(2)得到:cosω=cosθ/ sinα。由于符合β=90°，α≠90°的所有情況，可以總結(jié)為直線PA繞PB做360°的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，那么PA在空間經(jīng)過的軌跡是在一個(gè)以PB為軸線、錐頂角為2θ的圓錐面，其中θ是直線PA與PB的平面角。當(dāng)θ為銳角時(shí)，cosθ＞0，由上式得到ω＜θ。如圖3所示，A點(diǎn)的投影軌跡與圓錐底面的投影aa'重合，顯然投影角ω在0°到θ之間變化，小于空間實(shí)際的平面角。

當(dāng)夾角θ為直角時(shí)，在sinα≠0的情況下代入公式cosω=cosθ/sinα得到ω=90°。此情況其實(shí)就是工程制圖中的直角投影定理，即“互相垂直的兩直線，若其中一條平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上的投影也是直角”。

圖3 α≠90°且β=90°的空間示意圖

圖4 θ=90°的空間示意圖

如圖4所示，PA⊥PB，則bc⊥aa'，那么ω恒等于90°。在PA旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線PA與PC共線時(shí)，會(huì)出現(xiàn)sinα=0的情況，由于sinα在分母上，所以表達(dá)式?jīng)]有意義，此時(shí)空間實(shí)際情況是PA的投影積聚在c點(diǎn)上，ω可以看作等于0°。

當(dāng)直線PA與PB所成的角θ為鈍角時(shí)，cosθ＜0，由公式cosω=cosθ/sinα得出ω＞θ?？臻g投影情況如圖5所示，A點(diǎn)的投影仍在線段aa'上變化，但此時(shí)投影角ω在0°和180°之間變化，大于實(shí)際的平面角。

圖5 θ＞90°的空間示意圖

3)直線PC與兩條邊都不垂直，即α≠90°且β≠90°

此條件下有一種情況比較特殊，即當(dāng)PC與PA和PB共面的情況，如圖6所示，此時(shí)投影比較簡單。如果C點(diǎn)在AB之間變化，顯然θ=α+ β，則cosθ=cos(α+β)=cosα·cosβ

－sinα·sinβ，帶入得到公式(2)得到ω= 180°，這說明不管PA、PB怎么改變，投影角恒等于180°。

圖6 C點(diǎn)在AB之間的空間示意圖

當(dāng)C點(diǎn)在AB之外時(shí)，如圖7所示，θ=β－α (或θ=α－β)，cosθ=cos(β－α)=cos(β－α) =cosα·cosβ+sinα·sinβ，帶入公式(2)得到ω =0°，說明投影角恒等于0°，不隨α、β的變化而改變。

圖7 C點(diǎn)在AB之外空間的示意圖

除了上述的這種共面情況外，其他情況就相對(duì)比較復(fù)雜，通常工程制圖的解題思路是利用換面法把空間平面角的一條邊變換成投影面的平行線，然后運(yùn)用相應(yīng)的投影規(guī)律進(jìn)行解題。這里不用投影變換，先假定投影角ω為一定值(不妨設(shè)ω=90°)，然后研究α、β與θ之間的變化關(guān)系。把ω=90°帶入公式(2)得到:

顯然θ是α、β的二元連續(xù)函數(shù)，θ在［0°，90°］內(nèi)取值時(shí)，都會(huì)找到一組α、β值與之相對(duì)應(yīng)。具體變化情況是怎么樣的呢?先假定PA、PB都在P點(diǎn)的下側(cè)，那么α和β都在［0°，90°］變化，筆者用matlab軟件繪制出了θ=0、π/6、π/3、π/2時(shí)的曲線見圖9所示?？梢钥闯?，每一個(gè)θ值都對(duì)應(yīng)一條曲線，只要適當(dāng)調(diào)整α、β的大小，讓它們落在相應(yīng)的曲線上，就能滿足給定的θ值，而且滿足此條件的空間位置有很多個(gè)。

圖8 兩直線在P點(diǎn)下側(cè)的空間示意圖

圖9 平面角θ為銳角時(shí)的曲線簇

θ在［90°，180°］取值時(shí)，cosθ的值為負(fù)數(shù)，此時(shí)PA與PB應(yīng)該分別位于P點(diǎn)的上下兩側(cè)，不妨設(shè)PA在P點(diǎn)下側(cè)，PB在P點(diǎn)上側(cè)，即α在［0°，90°］變化，β在［90°，180°］變化。同理繪制出θ=π/2、5π/6、2π/3、π時(shí)的曲線見圖11所示，這組曲線與上面那組曲線是以β=π這條線對(duì)稱分布的。θ取最小值0°的情況是α=β= 90°，即PA、PB都與PC重合;θ取最大值180°的情況是α=90°，β=0°，則PA與PC重合，PB與PC的反方向重合。

圖10 兩直線在P點(diǎn)上下兩側(cè)空間的示意圖

綜上所述，對(duì)于任意給定的投影角ω，可以在空間中找到任意大小的平面角θ，并且滿足此平面角θ的位置有很多個(gè)，只需讓?duì)梁挺卵刂鄳?yīng)的曲線變化即可?？偠灾?，這種情況空間平面角可以大于、等于或小于其投影角，它們之間的關(guān)系不確定。

圖11 平面角θ為鈍角時(shí)的曲線簇

3 結(jié)論

1)兩直線PA、PB都與H面平行，那么在H面上的投影角反應(yīng)空間角的實(shí)際大小，即ω=θ。

2)如果兩直線PA、PB中的一條平行于H面，當(dāng)θ為銳角時(shí)，0°＜ω＜θ;當(dāng)θ為直角時(shí)，ω= 90°，特殊情況 ω=0°;當(dāng) θ為鈍角時(shí)，θ＜ω＜180°。

3)當(dāng)兩邊都不平行于投影面時(shí)，對(duì)于任意給定的投影角度值，可以在空間中找到［0°，180°］任意大小的平面角，而且每個(gè)平面角所對(duì)應(yīng)的位置也存在很多個(gè)，只要讓?duì)梁挺碌年P(guān)系沿著曲線變化即可。這種情況空間平面角可以大于、等于或小于其投影角，它們之間的關(guān)系不確定。

4)本文只是針對(duì)平面角的水平投影行了分析，實(shí)際三面投影中，還需要分析其他兩投影面的情況，運(yùn)用三面角余弦定理，再結(jié)合三面角的正弦定理，就可以解決空間角度的解析計(jì)算問題。將所求空間角度的關(guān)系分析清楚，然后把相應(yīng)的計(jì)算方法編寫成程序，這對(duì)工程實(shí)際來說是非常便捷和實(shí)用的。

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