數(shù)學(xué)課應(yīng)有“數(shù)學(xué)味”

【名師檔案】

周衛(wèi)東，南京師范大學(xué)附屬小學(xué)副校長，南京師范大學(xué)、鹽城師范學(xué)院客座教授，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，中學(xué)高級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。在省級以上報刊發(fā)表論文兩百余篇，出版?zhèn)€人專著《應(yīng)答與建構(gòu)：我的數(shù)學(xué)教學(xué)行與思》。應(yīng)邀在北京、上海、天津等二十多個省、市、區(qū)執(zhí)教觀摩課近兩百場，以其“清新、靈動、深刻、自然”的課堂教學(xué)風(fēng)格，贏得了廣大一線教師的好評。

常有老師問我：當下的教學(xué)主張、課堂標簽風(fēng)起云涌，令人眼花繚亂，我們的數(shù)學(xué)課堂究竟要關(guān)注什么？每當此時，我總是跟他們說這樣一個比喻：市場上有形形色色的褲子，有牛仔褲、休閑褲和西褲，有七分褲和九分褲，有長褲和短褲……但不管形式如何變化，褲子的生產(chǎn)商必須要保證兩點：一是褲子必須有兩條腿，否則就不能稱其為褲子；二是必須考慮到顧客的高矮胖瘦。這一比喻中所蘊含的樸素道理，對審視當下的數(shù)學(xué)課堂具有積極的意義。它警醒我們：一是數(shù)學(xué)課要有“數(shù)學(xué)味”，即數(shù)學(xué)的內(nèi)涵（褲子要有兩條腿）；二是數(shù)學(xué)課堂要重視兒童個體的特點，要關(guān)注兒童立場（如要考慮顧客的高矮胖瘦）。這兩者中，前者尤為關(guān)鍵。

問題1：什么是“數(shù)學(xué)味”？

“數(shù)學(xué)味”是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的形象表述。數(shù)學(xué)是一個多元復(fù)合體，數(shù)學(xué)內(nèi)涵包含如下兩大方面：

其一，數(shù)學(xué)的理論和方法體系。最古老的數(shù)學(xué)產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的計數(shù)和測量，經(jīng)過千百年的歸納、演繹、抽象、概括、擴展，形成了一套經(jīng)驗知識，構(gòu)成了如算術(shù)、代數(shù)、圖形、幾何等理論體系，所以，這些顯然是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)涵。在理論體系形成的過程中逐步累積起來的演繹證明、類比歸納、靈活計算、探索發(fā)現(xiàn)等思想與方法體系也屬于數(shù)學(xué)內(nèi)涵的范疇。

其二，數(shù)學(xué)理論和方法之上的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)能力。汪宇先生在《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書中的“主編贅語”部分寫道：“我們對數(shù)學(xué)的理解悖逆數(shù)學(xué)的本質(zhì)到了多么嚴重的程度。功利實用傾向和計算技能崇拜遮蔽了數(shù)學(xué)的本質(zhì)精神，因此，國民的科學(xué)精神和基本的思維能力依然令人失望。我們可以成規(guī)模地制造戰(zhàn)無不勝的奧賽選手，可是數(shù)學(xué)能力捉襟見肘。”上述論斷中的“科學(xué)精神”“基本的思維能力”都類屬于數(shù)學(xué)內(nèi)涵的范疇。

“數(shù)學(xué)味”在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中受到了很好的重視。比如，在“數(shù)學(xué)思考”部分的總目標中強調(diào)：建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維；發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念；發(fā)展合情推理和演繹推理能力。在“解決問題”部分的總目標中強調(diào)：從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性。在“情感態(tài)度”部分的總目標中強調(diào)：養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度。這里所倡導(dǎo)的各種要素，其實質(zhì)都是關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)涵，關(guān)注“數(shù)學(xué)味”。

問題2：怎樣才能做到數(shù)學(xué)課有“數(shù)學(xué)味”？

要做到數(shù)學(xué)課有“數(shù)學(xué)味”，不是一種簡單的技巧，它不像“泡湯”一樣，只要把“數(shù)學(xué)”放到湯碗里攪拌一下，就會出現(xiàn)“數(shù)學(xué)”的味道。

沉入教材，找尋“數(shù)學(xué)味”的配方。從教材的構(gòu)成體系來看，數(shù)學(xué)教材由兩條“河流”組成：由具體知識構(gòu)成的、易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”和由數(shù)學(xué)內(nèi)涵構(gòu)成的、具有潛在價值的“暗河流”，它們是骨架與血脈的關(guān)系。有了數(shù)學(xué)內(nèi)涵作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識才不會成為孤立的、零散的東西。正因為有了數(shù)學(xué)內(nèi)涵，游離狀態(tài)的知識才會凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，形成一個有機的整體。只有做到“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西”（蘇步青），充分挖掘教材中的靈魂——數(shù)學(xué)內(nèi)涵，用數(shù)學(xué)內(nèi)涵引領(lǐng)我們的課堂教學(xué)，才能高屋建瓴，統(tǒng)領(lǐng)整個知識體系，從而進行再創(chuàng)造、再建構(gòu)。

融入過程，品嘗“數(shù)學(xué)味”的芳香。數(shù)學(xué)的內(nèi)涵往往呈隱蔽形式，凝聚在數(shù)學(xué)結(jié)論的背后，常常滲透在學(xué)生獲得知識和解決問題的過程中。著名數(shù)學(xué)家波利亞認為：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！蔽覀儜?yīng)該有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學(xué)生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受和理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解達到領(lǐng)悟的水平，提升其數(shù)學(xué)思考的能力。只有如此，學(xué)生所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學(xué)習(xí)才是充滿智慧的。

聚焦思想，吮吸“數(shù)學(xué)味”的營養(yǎng)。從哲學(xué)角度來看，思想即觀念，即客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。而數(shù)學(xué)思想，是人們對數(shù)學(xué)研究統(tǒng)一的本質(zhì)性認識，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是被人們反復(fù)運用和確認的、帶有普遍意義的、相對穩(wěn)定的特征，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。由此看來，數(shù)學(xué)思想是“數(shù)學(xué)味”（數(shù)學(xué)內(nèi)涵）的核心，它決定了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗基礎(chǔ)、思考核心和發(fā)展目標。

從宏觀角度來看，思想按研究層次不同大致可分為以下幾類：一為哲學(xué)的（包括邏輯的）思想，如抽象、推理、建模、分析、綜合、演繹、歸納、類比等；二為科學(xué)的思想，如試驗法、圖表法、假設(shè)法等；三為數(shù)學(xué)的思想，如化歸法、遞推法、列舉篩選法等。數(shù)學(xué)思想的形成同樣有一個循序漸進的過程，只有經(jīng)過理解、應(yīng)用、促疑、釋疑才能使學(xué)生真正領(lǐng)會，形成自覺運用數(shù)學(xué)思想的意識，建立起學(xué)生自我的“數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)”?！?/p>

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬小學(xué)）

閱讀延伸

要弄清“數(shù)學(xué)味”，必須厘清一個關(guān)系：“生活化”與“數(shù)學(xué)化”該如何把握？

數(shù)學(xué)“生活化”要不要？回答是肯定的！數(shù)學(xué)走向生活，這是教育的訴求，純粹例題式的教學(xué)起點，對于兒童來說，不具有可攀性。于是，我們需要各種生活情境，需要借助于現(xiàn)實素材。但在這個過程中，我們不能遺漏一點：即使最簡單的數(shù)學(xué)，也是抽象的產(chǎn)物。有人問得好：你見過純粹的三角形而不是三角形物體嗎？你見過沒有大小的點或沒有寬度的線嗎？你能說出的那些數(shù)字又在哪兒真實地看見過？所有這一切，都是從現(xiàn)實原型中提取出的“理想化”的思維產(chǎn)物。

從現(xiàn)實原型中提取出“理想化”的思維產(chǎn)物的過程，就是“數(shù)學(xué)化”的過程?！皵?shù)學(xué)味”與“數(shù)學(xué)化”是密不可分的?！皵?shù)學(xué)化”是荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾教育思想的核心，有橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化之分。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”?？梢赃@樣說，“橫向數(shù)學(xué)化”生成生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，“縱向數(shù)學(xué)化”生成抽象數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。弗賴登塔爾認為，如果用二分法分別從橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化分類，數(shù)學(xué)教育可以分成四種類型，分別對應(yīng)著四種不同的哲學(xué)觀：一是缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺少縱向數(shù)學(xué)化，是機械主義；二是橫向數(shù)學(xué)化得到成長，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗主義；三是橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來，是結(jié)構(gòu)主義；四是橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化都得到成長，是現(xiàn)實主義。當下的數(shù)學(xué)課堂倡導(dǎo)現(xiàn)實主義的教學(xué)，亦即在“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”的關(guān)系中找到一個合適的地帶，能夠促使兩者均衡地發(fā)展。

為了更系統(tǒng)地把握“數(shù)學(xué)味”的意義，可以品讀下列資料：

1.《被壓迫者教育學(xué)》（保羅·弗萊雷著，顧建新、趙友華、何曙榮譯，華東師范大學(xué)出版社）

2.《數(shù)學(xué)內(nèi)涵：數(shù)學(xué)本質(zhì)在教學(xué)中的體現(xiàn)》（鐘麒生，《教學(xué)110：小學(xué)數(shù)學(xué)主流話題疑難問題透析》，教育科學(xué)出版社）

3.《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》（弗賴登塔爾著，陳昌平、唐瑞芬等編譯，上海教育出版社）

4.《美國核心知識課程的理論和實踐（上）》（趙中建，《外國教育資料》，1996年第5期）

5.《“人文素質(zhì)”的教育形態(tài)及其知識生態(tài)》（樊浩，《教育研究》，2005年第8期）

6.《“數(shù)學(xué)味”不是泡出來的》（周衛(wèi)東，《江西教育》，2011年第10B期）