完全平方公式在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的作用

陳佩山

摘要：“完全平方公式”是初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用最廣泛的公式，是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)公式，在初中階段的教學(xué)中具有重要地位，是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要知識(shí)基礎(chǔ)。運(yùn)用這一公式可以迅速而簡捷地計(jì)算出符合公式特征的多項(xiàng)式乘法的結(jié)果，不能亂套公式。特別對(duì)于初學(xué)者來說，要通過具體的、學(xué)生易出錯(cuò)的例子讓學(xué)生正確理解公式中的字母a和b的真正含義。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用；基礎(chǔ)公式；簡捷；正確理解

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）02-0118

“完全平方公式”是初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用最廣泛的公式，是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)公式。它在整式乘法、因式分解、分式運(yùn)算及其他代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用。它是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容；它是讓學(xué)生感悟換元思想，感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性的好教材。在初中階段的教學(xué)中具有重要地位。所以對(duì)這個(gè)公式的教學(xué)要求很高，需要每一名學(xué)生都必須熟練掌握這個(gè)公式，從而靈活運(yùn)用公式。但是，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)公式后，仍對(duì)其來源、形成過程理解不透徹，對(duì)其結(jié)構(gòu)形式記憶模糊，并未深刻領(lǐng)悟到公式的本質(zhì)。

作為整式的乘法公式，北師大版教科書把完全平方公式安排在整式的乘除這一章的第六節(jié)，前五節(jié)先讓學(xué)生掌握整式乘法的各項(xiàng)法則，當(dāng)學(xué)生熟練掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法后，再讓學(xué)生利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，從而推導(dǎo)完全平方公式，并由找規(guī)律得出公式的猜想，再通過幾何面積驗(yàn)證方法來驗(yàn)證公式猜想的正確性，從而由代數(shù)探究及幾何論證來得出公式。

完全平方公式是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要知識(shí)基礎(chǔ)。重點(diǎn)是對(duì)完全平方公式的熟記及應(yīng)用。難點(diǎn)是對(duì)公式特征的理解（如對(duì)公式中積的一次項(xiàng)系數(shù)的理解）。運(yùn)用這一公式可以迅速而簡捷地計(jì)算出符合公式特征的多項(xiàng)式乘法的結(jié)果.但運(yùn)用公式計(jì)算一定要看是否符合公式的特征，不能亂套公式。特別對(duì)于初學(xué)者來說，要通過具體的、學(xué)生易出錯(cuò)的例子讓學(xué)生正確理解公式中的字母a和b的真正含義。

在教學(xué)完全平方公式后反思學(xué)生中常見錯(cuò)誤有：①學(xué)生難于跳出原有的定式思維，如典型（a±b）2=a2±b2錯(cuò)誤；（錯(cuò)因：在公式（ab）2=a2b2的基礎(chǔ)上類推，隨意“創(chuàng)造”）②混淆公式（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2；③運(yùn)算結(jié)果中符號(hào)錯(cuò)誤；④變式應(yīng)用對(duì)初學(xué)者來說更難于掌握。現(xiàn)結(jié)合教授完全平方公式的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)完全平方公式作如下解析：

一、概念理解

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

這就是說，兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或者減去）它們的積的2倍，這個(gè)公式叫做乘法的完全平方公式。

公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是二項(xiàng)式的完全平方，右邊是三項(xiàng)式。如果左邊二項(xiàng)式各項(xiàng)分別用首項(xiàng)、尾項(xiàng)代表，那么右邊三項(xiàng)可以記作：首平方，尾平方，首尾2倍乘積寫中央；積的符號(hào)由二式項(xiàng)系數(shù)符號(hào)來確定，二項(xiàng)式系數(shù)符號(hào)同號(hào)，則積的符號(hào)為正；二項(xiàng)式系數(shù)符號(hào)異號(hào)，則積的符號(hào)為負(fù)，平方項(xiàng)前面均為正號(hào)。在運(yùn)用完全平方公式（a±b）2= a2±2ab+b2解題時(shí)，應(yīng)注意掌握公式中各項(xiàng)的特征，明確公式中的“兩數(shù)”的意義。在公式中，字母a，b可以表示一個(gè)具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

例如：在運(yùn)用公式（a-b）2= a2-2ab+b2計(jì)算（-2b2-5a）2時(shí) “-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”。

二、把握運(yùn)用公式四步曲

1. “察”：計(jì)算時(shí)，要先觀察題目特點(diǎn)是否符合公式的條件，若不符合，應(yīng)先變形為符合公式的形式，再利用公式進(jìn)行計(jì)算，若不能變?yōu)榉瞎降男问?，則應(yīng)運(yùn)用相應(yīng)乘法法則進(jìn)行計(jì)算。

2. “導(dǎo)”：正確地選用完全平方公式，關(guān)鍵是確定式子中a、b分別表示什么數(shù)或式。

3. “算”：注意每步的運(yùn)算依據(jù)，即各個(gè)環(huán)節(jié)的算理。

4. “驗(yàn)”：完成運(yùn)算后學(xué)會(huì)檢驗(yàn)，既回過頭來再反思每步的計(jì)算依據(jù)和符號(hào)等各方面是否正確無誤，又可通過多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行驗(yàn)算，確保萬無一失。

三、掌握運(yùn)用公式常規(guī)四變

1. 變符號(hào)

例1. 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：

（1）（-2x+5y）2；（2）（-a-b）2；

方法一：把兩式分別變形為：

（-2x+5y）2=[-（2x-5y）]2=（2x-5y）2；（-a-b）2=[-（a+b）]2=（a+b）2再用公式計(jì)算。

方法二：把兩式分別變形為：

（-2x+5y）2=[5y-2x]2；（-a-b）2=[（-a）-b]2后直接用公式計(jì)算。

方法三：把兩式分別變形為：

（-2x+5y）2=[（-2x）+5y]2；（-a-b）2=[（-a）+（-b）]2后直接用公式計(jì)算。

2. 變項(xiàng)數(shù)：

例2. 計(jì)算：（a+b+c）2

分析：完全平方公式的左邊是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項(xiàng)，故應(yīng)考慮將其中兩項(xiàng)結(jié)合運(yùn)用整體思想看成一項(xiàng)，從而化解矛盾。所以在運(yùn)用公式時(shí)，（a+b+c）2可先變形為或[a+（b+c）] 2或[（a+c）+b]2，再進(jìn)行計(jì)算。

3. 變結(jié)構(gòu)

例3. 運(yùn)用公式計(jì)算： （1）（a+b）·（-a-b）；（2）（a-b）·（b-a）。

分析；本例中所給的均是二項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式，表面看外觀結(jié)構(gòu)不符合公式特征，但仔細(xì)觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個(gè)因式作適當(dāng)變形就可以了。即（1）（a+b）·（-a-b）=-（a+b）2；（2）（a-b）·（b-a）=-（a-b）2。

4. 簡便運(yùn)算

例4. 計(jì)算：（1）9992；（2）100.12

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成兩個(gè)數(shù)的和或差，從而運(yùn)用完全平方公式計(jì)算。

即：（1）9992=（1000-1）2；100.12=（100+0.1）2

四、學(xué)會(huì)公式運(yùn)用中三拓展

1. 公式的混用

例5. 計(jì)算：（x+y+z）（x+y-z）；

分析：此例是三項(xiàng)式乘以三項(xiàng)式，特點(diǎn)是：有些項(xiàng)相同，另外的項(xiàng)互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng)分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計(jì)算后，再運(yùn)用完全平方公式等計(jì)算。

即：（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=……

2. 公式的變形：除了學(xué)會(huì)按照公式進(jìn)行直接、簡單的套用外，我們可以將公式進(jìn)行變形，靈活運(yùn)用，使某些問題求解十分簡單、明快。

將公式（a±b）2= a2±2ab+b2變形為： a2+b2=（a+b）2-2ab； a2+b2=（a-b）2+2ab； （a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2； （a+b）2-（a-b）2=4ab。熟悉完全平方公式的變形式，是相關(guān)整體代換求值的關(guān)鍵。

例6. 已知實(shí)數(shù)a、b滿足（a+b）2=10，ab=1。求下列各式的值：（1）a2+b2； （2）（a-b）2。

分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把a(bǔ)、b的值分別求出來，非常困難；仔細(xì)探究易把這些條件同完全平方公式結(jié)合起來，運(yùn)用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。

例7. 已知在Rt△ABC中， ∠C= 90°，△ABC的周長為18，CD是斜邊AB上的中線，CD=4，求△ABC的面積。

解：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a。

在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴AB=2CD=2×4=8

則a+b= BC+AC =△ABC的周長 -AB=18-8=10

由勾股定理，得a2 +b2=c2=82=64

∵a2+b2=（a+b）2-2ab∴把已知值代入，可求得ab=36.

∴△ABC的面積=ab/2=18

五、利用完全平方公式結(jié)合整體轉(zhuǎn)化思想求代數(shù)式的值

例8. 已知a2+b2=1，a-b=■，求（a+b）4的值。

分析：要求（a+b）4，直接求a，b的值有一定的困難，因而可利用整體思想，設(shè)法求出（a+b）2，結(jié)合題目條件a2+b2=1，只需求出ab值。

解：（略）。

公式的逆用：在條件滿足的情況下，將完全平方公式反過來進(jìn)行逆向使用，能使運(yùn)算簡便得多。

例9. 計(jì)算（2x+y）2-2（x+y）（2x-3y）+（x-3y）2

分析：若先平方展開后再計(jì)算，比較復(fù)雜，但把（2x+y）看作a，（x-3y）看作b，此算式恰好是完全平方公式的右邊三項(xiàng)，可逆用完全平方公式，迅速得出結(jié)果。

六、利用完全平方式判斷三角形形狀

例10. 已知三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請(qǐng)你判斷這個(gè)三角形是什么三角形。

分析：判斷形狀的三角形一般都是特殊三角形，而進(jìn)行判斷的關(guān)鍵是分析角或邊的關(guān)系.本題所給的條件和邊有關(guān)，因而可把目標(biāo)定為證明邊相等，即證明等腰或等邊三角形。結(jié)合條件的形式，聯(lián)想到完全平方式的非負(fù)性，從而可利用完全平方公式進(jìn)行證明。

解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0兩邊同時(shí)乘以2，整理可得

（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0

所以（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

因?yàn)椋╝-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，所以（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0，所以 a=b，a=c，b=c即a=b=c。

所以這個(gè)三角形是等邊三角形。

七、完全平方公式的推廣

計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推廣得到

（a+b+c）2=[（a+b）+c]2=（a+b）2+2（a+b）c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每兩項(xiàng)乘積的2倍。

例11. 計(jì)算（x+2y-z）2

解：原式=x2+（2y）2+（-z）2+2·x·2y+2·x（-z）+2·2y（-z）

=x2+4y2+z2+4xy-2xz-2yz

總之，在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)關(guān)鍵是記住公式形式，把握公式特征，運(yùn)用合理的算法，注重勤練習(xí)，適時(shí)積累典例，定能收到良好的效果。

（作者單位：甘肅省靖遠(yuǎn)縣劉川中學(xué) 730604）