球函數(shù)加法公式的坐標(biāo)變換解雙環(huán)靜電問題

王禮祥

（西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院, 四川 成都 610041）

球函數(shù)加法公式的坐標(biāo)變換解雙環(huán)靜電問題

王禮祥

（西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院, 四川 成都 610041）

用球函數(shù)加法公式的坐標(biāo)變換法與電勢(shì)疊加原理導(dǎo)出了雙環(huán)靜電問題的電勢(shì)解; 繼而由帶電體系的互能與虛功原理給出了帶電雙環(huán)的相互作用力表達(dá)式并作了特殊討論.

帶電圓環(huán); 坐標(biāo)變換; 電勢(shì); 疊加原理; 勒讓得函數(shù); 球函數(shù)

1 引言

眾所周知, 在靜電問題求解中不少專著與教材都不涉及坐標(biāo)變換法, 大多數(shù)都僅在具有嚴(yán)格對(duì)稱性的坐標(biāo)系中求解靜電問題; 本文我們以均勻帶電雙環(huán)靜電問題為例, 借助球函數(shù)的加法公式[1]實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換導(dǎo)出雙環(huán)靜電問題的電勢(shì)解析解[2], 最后通過計(jì)算帶電雙環(huán)的靜電互能并應(yīng)用虛功原理討論了帶電雙環(huán)的相互作用力問題.

2 單環(huán)靜電問題在軸對(duì)稱坐標(biāo)系中的電勢(shì)解

文獻(xiàn)[3]給出了如圖1所示的單環(huán)靜電問題在坐標(biāo)原點(diǎn)位于軸線上任意點(diǎn)的軸對(duì)稱坐標(biāo)系中的電勢(shì)解為

圖1 單環(huán)靜電問題Fig.1 Charged single ring electrostatic problems

3 雙環(huán)靜電問題的球函數(shù)加法公式坐標(biāo)變換疊加法解

雙環(huán)靜電問題是指真空中任意方向、在任意位置處放置的軸線相交的兩個(gè)均勻帶電圓環(huán)靜電問題, 如圖2所示.

圖2 雙環(huán)靜電問題Fig.2 Charged double ring electrostatic problems

建立如圖2所示的兩個(gè)共原點(diǎn)的兩種球坐標(biāo)Orθφ與Or'θ'φ', 原點(diǎn)位于是雙環(huán)各自對(duì)稱軸的交點(diǎn)上, 環(huán)1的軸線為Z軸, 環(huán)1的環(huán)心位于球坐標(biāo)(d1,0,0), 環(huán)1半徑為r1, 帶電總量是Q1; 環(huán)2軸線方向位于球坐標(biāo)Orθφ經(jīng)緯角為φ0和θ0方向上, 環(huán)2的環(huán)心位于球坐標(biāo)( d2, θ0,φ0), 半徑為r2, 帶電總量為Q2. 于是根據(jù)幾何關(guān)系有

4 均勻帶電雙環(huán)的互能計(jì)算

5 用虛功原理計(jì)算帶電雙環(huán)的相互作用力

6 簡單討論

與文獻(xiàn)[5]一樣相互作用力僅有徑向力.

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A solution with the coordinates transformation of spherical function addition formula to electrostatic problem of double charged ring

WANG Li-xiang
(Southwest University for Nationalities, Chengdu 610041, P.R.C.)

In this paper, the electrostatic problem of double charged ring is solved with the spherical function addition formula's special coordinates transformation and the potential principle of superposition. The force’s expression of the double charged ring is given by interaction energy of charged system and the principle of virtual work.

uniform charged ring; coordinate transformation; potential; principle of superposition; electric potential; legendre function; spherical function

O412.3

A

1003-4271(2014)04-0598-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.04.25

2014-03-26

王禮祥(1962-), 男, 苗族, 云南彝良人, 副教授, 研究方向: 物理學(xué)和計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)理論.