淺談矩陣特征值的估計

鄧亮章

(福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，福建福州350003)

1 引言

在當(dāng)今時代，矩陣的特征值問題是矩陣計算的一個重要方向，在眾多的領(lǐng)域中都得到了應(yīng)用。在這樣的大背景下，有必要深入地研究矩陣的特征值的估計問題。

2 矩陣的特征值問題概述

假如A是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換下的矩陣，如果存在 λ0∈P，存在 α∈V，α≠0，使得Aα=λ0α成立，那么，就可以說λ0是A的一個特征值，α是A屬于特征值λ0的特征向量。

對于上式進行轉(zhuǎn)換可以得到下式:

(A－λ0E)α=0。

這是n個未知數(shù)n個齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A－λ0E|=0也就是說，

上式左邊|A－λ0E|是λ0的n次多項式，將其作為A的特征多項式，|A－λ0E|=0將其作為A的特征方程，特征方程的所有根就是A的特征值。

在數(shù)值計算中，矩陣的特征值和特征向量問題占據(jù)著非常關(guān)鍵的地位，經(jīng)常應(yīng)用的求解方法主要涵蓋了迭代法和變換法兩種。具體來說，迭代法是進行一系列矩陣向量乘積而將矩陣的特征值和特征向量求解出來，經(jīng)常應(yīng)用的方法主要包括Lanczos法、Davidson法等等;變換法就是直接對矩陣進行變換處理，借助于變換的作用，保證能夠?qū)⒕仃囎儞Q成為非常容易求解特征值、特征向量的一個新矩陣。

3 有關(guān)矩陣的特征值的一些定理及證明

假設(shè)n階方陣A的特征值是λi，αi是A的屬于特征值 λi的特征向量(i=1，2，…，n)，那么，

1)kA(k是常數(shù))的特征值是 kλi，且 αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

2)A2的特征值是λ2i，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

3)Ak的特征值是λki，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

4)AT的特征值是λi，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

5)A可逆的情況下，A－1的特征值是 λ－1i，且 αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

6)A可逆的情況下，A的伴隨矩陣A*的特征值是|A|λ－1

i，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

7)假設(shè)f(x)=a0+a1x+…+amxm)，那么，f(A)的特征值是f(λi)，且αi是從屬于它的特征向量(i=1，2，…，n)．

證明:1)由于 Aαi=λiαi，因此能夠得到，(kA)αi=k(Aαi)=(kλi)αi。

2)由于Aαi=λiαi，故A2αi=A(Aαi)=A(λiαi)=λi(Aαi)= λi(λiαi)=λ2iαi。

3)同理．

4)|(λE －A)T|=|λE －AT|=|λE －A|因此能夠得到，與A與AT具有相同的特征值．

5)由于 Aαi= λiαi，且 A 可逆，因此能夠得到，A－1Aαi=A－1(λiαi)?αi=λi(A－1αi)

又|A|=λ1λ2…λn≠0(A 可逆)，因此能夠得到，λi≠0(i=1，2，…n)，從而由(1)知 A－1αi= λ－1iαi。

6)由于 A*=|A|A－1，再由1)及5)因此能夠得到結(jié)論，

7)由于 f(A)=α0E+α1A+…αmAm，因此能夠得到。

4 矩陣的特征值估計的相關(guān)例子分析

假設(shè)3階方陣的行列式|A|=6，且A有特征值一2，那么，求A*一定存在特征值;A*－2A－1有特征值;A3+4A2+8A+8E有特征值;|A3+4A2+8A+8E|的值。

解:A*的特征值為6÷(－2)=－3，而 A*－2A－1=|A|A－1－2A－1=4A－1，因此能夠得到 A*－2A－1的一個特征值為4÷(－2)= －2，

f(A)=A3+4A2+8A+8E的特征值是f(－2)=(－2)3+4(－2)2+8(－2)+8=0，

|f(A)|=|A3+4A2+8A+8E|=0。

5 矩陣的特征值在實際問題中的應(yīng)用－利用矩陣的特征值求Fibonacci數(shù)列的通項

Fibonacci數(shù)列{Fk}:0，1，1，2，3，5，…，F(xiàn)k，…滿足條件 F0=0，F(xiàn)1=l，F(xiàn)k+2=Fk+1+Fk(k=0，1，2，…) (1)

請解出通項Fk。

現(xiàn)在，可以通過運用矩陣的工具來對于數(shù)列的通項進行求解。

解:

那么，上面的公式能夠轉(zhuǎn)化為矩陣的形式 αk+1=Aαk(k=1，2，…，) (2)

由(2)式進行遞推能夠得到 αk=Akα1(k=l，2，…，) (3)

通過這種方式，求Fk的問題就轉(zhuǎn)化成為求αk，也就是說，求Ak的問題。

令

通過這種方式，

對于任意的一個正整數(shù)k，由(6)式求得的Fk都是正整數(shù)，在k=20的情況下，F(xiàn)20=6765。

在這一個問題里，利用矩陣的特征值理論能夠非常容易地求出Fibonacci數(shù)列的通項公式。

6 結(jié)語

通常情況下，矩陣的特征值問題是矩陣計算的一個重要方向，在眾多的領(lǐng)域中都得到了應(yīng)用。本文對于矩陣特征值的估計進行了深入地探索，希望有利于矩陣特征值的估計以及實際應(yīng)用。

［1］鄭毓明，周 巧．矩陣數(shù)值特征的兩個定理［J］．南通職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2011，(2).

［2］肖艾平．矩陣AB和BA的特征值的關(guān)系［J］．科技信息，2011，(17).

［3］孔祥強．可對稱化矩陣特征值的Weyl型和Wielandt型擾動界［J］．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011，(3).