基于解析法的彈性板-柱殼結(jié)構(gòu)外場聲輻射有源力控制

李鴻秋,陳國平,謝琳艷

(1.金陵科技學(xué)院機(jī)電學(xué)院,江蘇 南京 211169; 2.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院,江蘇 南京 210016)

彈性薄板-殼-聲腔封閉結(jié)構(gòu)在工程實際中應(yīng)用極廣。對彈性矩形板、圓板或者圓柱殼的振動產(chǎn)生的聲輻射研究由來已久,而且也已經(jīng)相對成熟[1]。近年來,研究方向傾向于多個彈性板或者彈性板(殼)通過耦合連接之后產(chǎn)生的聲輻射,Dowell等[2]建立了彈性薄板-聲腔結(jié)構(gòu)的耦合理論模型,這類結(jié)構(gòu)多用于飛機(jī)、汽車等乘坐艙。Kim等[3]發(fā)展了Dowell的理論,但是缺點都是需要求解圓板和圓柱殼的振動微分方程,而此類方程的求解較為復(fù)雜,因此已有解法大多采用Rayleigh-Ritz等數(shù)值方法或半解析方法[4]。對結(jié)構(gòu)-聲耦合問題的研究也大多集中在耦合系統(tǒng)的建模以及定性分析上。結(jié)構(gòu)-聲腔具有怎樣的耦合特性以及結(jié)構(gòu)-聲腔耦合后外聲場的聲壓級解析解還少有報道。彈性板(殼)-聲腔系統(tǒng)的振動與耦合特性研究的難點在于邊界條件的假設(shè)與簡化,已有方法一般只限于簡支邊界。因此關(guān)于彈性圓板、圓柱殼結(jié)構(gòu)與聲腔耦合特性的研究必然具有重要的理論意義和實用價值。

本文設(shè)定板殼邊界條件,并考慮內(nèi)部聲腔的影響,分別求解彈性圓板和圓柱殼的位移響應(yīng),建立彈性板-殼-聲腔耦合結(jié)構(gòu)的分析模型。并分別推導(dǎo)考慮聲腔耦合作用的影響下彈性板以及圓柱殼受到外載荷時振動產(chǎn)生聲輻射在外場指定點的聲壓級公式;推導(dǎo)外載荷單獨作用在彈性板上以及彈性圓柱殼上時,彈性板以及彈性圓柱殼振動產(chǎn)生的聲輻射在外場指定點的聲壓級表達(dá)式。進(jìn)而根據(jù)外場點聲壓級的表達(dá)式探討有源力噪聲控制,并給出算例。

1 彈性板-殼-腔體結(jié)構(gòu)聲振耦合分析

2.1 彈性板-圓柱殼-聲腔結(jié)構(gòu)耦合頻率的求解

圖1 彈性板-殼-聲腔耦合結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)示意Fig.1 The plate-shell-cavity system

車輛的駕駛室,石油工業(yè)中的儲油罐,航天飛機(jī)的艙室等都可以看做薄壁圓柱結(jié)構(gòu)和平板結(jié)構(gòu)的相結(jié)合的復(fù)雜結(jié)構(gòu),本文建立一端固定,一端用彈性圓板封閉的圓柱殼(彈性板-殼-聲腔系統(tǒng))耦合結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型,探討此類結(jié)構(gòu)的聲振耦合特性以及噪聲控制。彈性板的振動分為彎曲振動和面內(nèi)振動,彎曲振動位移方向與板結(jié)構(gòu)的中性面垂直,面內(nèi)振動則存在于板結(jié)構(gòu)所在的平面。杜敬濤、Gorman和Li[5-6]分別建立了矩形板在不同邊界條件下的振動模型。

圖1為彈性板-殼-聲腔耦合結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)示意圖,圓柱殼軸向,周向和徑向3個方向的運動分別用u,v,w表示。邊界條件通過設(shè)置不同的剛度kp1,kp2,ks1,ks2表示。假設(shè)彈性剛度ks1,ks2沿彈性板和彈性柱殼連續(xù)分布。

極坐標(biāo)下,完整圓板的振型解為:

Wnp(r,θ)=[AnJn(αr)+BnIn(αr)]cos(nθ)

(1)

An,Bn為待定系數(shù),可以通過邊界條件確定。聲壓作用下彈性圓板的位移響應(yīng)可以表示為:

(2)

Usp(r,θ)、Vsp(r,θ)、Wsp(r,θ)分別表示第s階彈性圓板的固有振型函數(shù)。

聲壓作用下,彈性圓柱殼的位移表示為:

(3)

其中,Uss(z,θ)、Vss(z,θ)、Wss(z,θ)分別表示第s階彈性圓柱殼的固有振型函數(shù)。

將up、vp、wp、us、vs、ws分別代入彈性圓板和圓柱殼的振動微分方程,并考慮到振型Wsp、Wss已經(jīng)分別滿足圓板和圓柱殼的振型方程組,因此可得:

(4)

(5)

將式(4)兩端同時乘以Wkp,然后在圓板中面上積分,將式(5)兩端同時乘以Wks,然后在圓柱殼中曲面上積分,同時考慮振型的正交性特點得:

(6)

(7)

且:

(8)

(9)

三維聲波方程中取cos(nθ)項進(jìn)行分析,將圓柱殼中聲腔內(nèi)聲場的聲壓可以表示為:

(10)

由彈性圓板和柱殼交界面處速度協(xié)調(diào)性條件以及腔內(nèi)聲壓值,并利用貝塞爾函數(shù)性質(zhì),對于不同的n得到關(guān)于An,Bn,Cn,kr,kz,ω的6個方程,應(yīng)用擬牛頓迭代方法求解此方程組,令n=1,得到第1階耦合頻率,同樣,令n=2,可得到第2階耦合頻率,再計算n=3,4,…N。

2.2 考慮聲振耦合求板-殼-腔結(jié)構(gòu)中板和殼的位移響應(yīng)

考慮內(nèi)腔聲壓的作用,忽略外場聲壓對結(jié)構(gòu)的作用,內(nèi)腔聲壓垂直作用在彈性板和彈性殼的內(nèi)表面,彈性板(殼)-聲腔形成結(jié)構(gòu)-聲場的耦合結(jié)構(gòu)。同上節(jié)的計算方法,彈性圓板彎曲位移和彈性柱殼的徑向位移可以表示為:

(11)

其中,ω為結(jié)構(gòu)和聲腔耦合后聲腔的頻率,ωs表示結(jié)構(gòu)和聲腔耦合后彈性板(殼)結(jié)構(gòu)的頻率。Wsp(r,θ)表示第s階圓板彎曲振型函數(shù)、Wss(z,θ)表示圓柱殼徑向振型函數(shù)。

2.3 彈性板-殼-聲腔耦合系統(tǒng)的外輻射聲場

彈性板-圓柱殼-聲腔結(jié)構(gòu)如圖2所示,根據(jù)板-殼-腔的耦合模型分別推導(dǎo)外力單獨作用在彈性板或者作用在圓柱殼上在外場點引起的聲輻射聲壓級表達(dá)式。根據(jù)聲輻射的疊加性原理,計算外力作用在彈性板或者作用在彈性殼上,板殼振動產(chǎn)生的聲輻射在外場點的聲壓值之和。

圖2 外場點以及彈性板-聲腔耦合結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The exterior point and the plate-shell-cavity system

2.3.1 考慮內(nèi)腔聲的影響彈性板振動產(chǎn)生的聲輻射在外場點的聲壓值 彈性體-聲腔結(jié)構(gòu)振動引起的外場點聲壓值為:

(12)

(14)

根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質(zhì):

(15)

因此,式(14)可以寫成:

(16)

2.3.2 考慮內(nèi)腔聲的影響彈性殼振動產(chǎn)生的聲輻射在外場點的聲壓值 外場點位于遠(yuǎn)聲場時,彈性體-聲腔耦合后,圓柱殼的外輻射聲場聲壓值可以寫成[7]:

(17)

(18)

將式(18)代入式(17),利用穩(wěn)相法得:

(19)

因此,彈性板(殼)-聲腔耦合結(jié)構(gòu)的聲輻射外場指定點聲壓值可以表示為:

p(R1,θ,φ)=pp(R1,θ,φ)+ps(R1,θ,φ)

(20)

3 次級力源減振降噪分析

在結(jié)構(gòu)的振動中有針對性的控制影響較大的一階或幾階模態(tài),只要設(shè)法使模態(tài)力Fs=0,則可以完全控制第s階模態(tài),而且僅需一個次級力源Fs1ejωt,由前文知,當(dāng)受力點位于彈性板上,則在外場點指定位置的聲壓值為:

(21)

初級力的模態(tài)力為Fs0,由于次級力源Fs1的作用,在指定點位置處的產(chǎn)生的聲壓為:p=ps0+ps1,如果初始力為單點激勵,要使p=0,且定義次級力源與初級力源的振幅比為:

(22)

控制多階模態(tài)振動,則需要采取多個次級力源,需要滿足:

Fi=0; (i=1,2,..n)

(23)

即:

(24)

通常情況下,上式有唯一解。

4 算 例

算例結(jié)構(gòu)如圖2所示,圓板的幾何尺寸及材料常數(shù)為:半徑R=0.5 m,厚度h=0.001 m,彈性模量Ep=2.1e11 N/m2,密度ρ=7 850 kg/m3,泊松比ν=0.3,聲波的傳播速度c=340 m/s,空氣的密度ρ0=1.21 kg/m3,聲腔的深度l=1 m。設(shè)外載荷作用在彈性圓板上,激勵點位置為彈性圓板上的(0.12 m,π/4) 處,激勵力為單位簡諧力,取需要控制的外場點位于(3 m,π/4,4 m) 處。針對第1階模態(tài)振動予以控制,次級力源的位置不能位于模態(tài)節(jié)線處,因此,本文取次級力源的位置分別為(0.02 m,5π/4)、(0.02 m,3π/4)處。根據(jù)式(1)和式(22)求解得到次級力源與初級力源的振幅比見表1,表2。

表1次級力源的位于(0.02m,5π/4)對應(yīng)不同模態(tài)振動控制次級力源與初級力源的振幅比

Table1Theamplituderatiobetweentheprimaryforceandthesecondaryforcewhenthesecondaryforceisexertedat(0.02m,5π/4)

控制振動模態(tài)次級力源與初級力源振幅比 14.115?21.855 30.154 8

表2次級力源的位于(0.02m,3π/4)對應(yīng)不同模態(tài)振動控制次級力源與初級力源的振幅比

Table2Theamplituderatiobetweentheprimaryforceandthesecondaryforcewhenthesecondaryforceisexertedat(0.02m,3π/4)

控制振動模態(tài)次級力源與初級力源振幅比 1-6.857 2-3.092 3-0.257 9

結(jié)果表明最佳次級聲源強(qiáng)度相對于噪聲源強(qiáng)度而言,其振幅大小與(rc/rp)成正比;次級聲源在該點處產(chǎn)生的聲壓相位與噪聲源在該點處產(chǎn)生的聲壓相位相差180°。

5 結(jié) 語

本文基于彈性板(殼)結(jié)構(gòu)的振動微分方程,并定義板殼之間的連接形式,推導(dǎo)彈性板的彎曲振動以及圓柱殼的徑向位移表達(dá)式,推導(dǎo)彈性板(殼)-聲腔結(jié)構(gòu)耦合振動情況下,外輻射聲場指定點的聲壓表達(dá)式。彈性板(殼)結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生的聲輻射主要由受力板(殼)的振動產(chǎn)生,并進(jìn)行了有源力控制研究。算例表明,基于解析方法得到的聲壓值表達(dá)式,便于計算精確的次級力源大小。

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