基于雙延遲變形系統(tǒng)的圖像加密方法

蒲 鑫，王靈敏，范曉丹，白 燁，姜 威，郭丹偉

(1.吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130012;2.長(zhǎng)春理工大學(xué)光電信息學(xué)院，長(zhǎng)春 130012)

0 引言

近年來(lái)，基于混沌的圖像加密方法已有很多研究［1-4］，同時(shí)圖像解密方法也日新月異，面對(duì)被破解的圖像加密技術(shù)，需要構(gòu)造拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的系統(tǒng)，用以抵抗攻擊，于是構(gòu)造復(fù)雜混沌信號(hào)的方法逐漸引起人們的興趣。周欣等［5］通過(guò)對(duì)三維二次廣義洛倫茲系統(tǒng)的改造，提出了網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng);黃露等［6］在三階蔡氏電路的基礎(chǔ)上，提出了兩個(gè)異結(jié)構(gòu)五階蔡氏電路。這些結(jié)構(gòu)都屬于復(fù)雜混沌信號(hào)，但系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)較小，偽隨機(jī)性較差，應(yīng)用在圖像加密方面不太合適。筆者提出了一種基于單環(huán)摻鉺光纖激光器雙延遲變形系統(tǒng)的圖像加密方法，此變形系統(tǒng)通過(guò)增加延遲項(xiàng)增加系統(tǒng)的維數(shù)，由二維系統(tǒng)變?yōu)楦呔S系統(tǒng)，比一般的混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜，并且其最大李雅普諾夫指數(shù)更大，偽隨機(jī)性更好。系統(tǒng)的偽隨機(jī)性越好，其用于加密系統(tǒng)時(shí)被破解的可能性越小［7］。這種方法能有效地抵抗攻擊，是基于超混沌的圖像加密方法的新選擇，筆者將這種超混沌映射產(chǎn)生的序列應(yīng)用于圖像加密，經(jīng)證明產(chǎn)生了較好的加密效果。

1 單環(huán)摻鉺光纖激光器雙延遲變形系統(tǒng)超混沌序列的產(chǎn)生

Fan等［8］在2007年對(duì)單環(huán)摻鉺光纖激光器進(jìn)行了研究，證明了帶光延遲反饋回路的單環(huán)摻鉺光纖激光器在一定條件下可以產(chǎn)生混沌，可表示為

其中E表示輸出激光場(chǎng)強(qiáng)，˙E(τ)表示E對(duì)τ的微分，D表示反轉(zhuǎn)粒子數(shù)，D·(τ)表示D對(duì)τ的微分，k表示損耗系數(shù)，g表示增益系數(shù)，Ip表示泵浦光強(qiáng)，ε表示延遲反饋光路的延遲率，τ0表示延遲的歸一化時(shí)間。對(duì)方程(1)進(jìn)行修改，將D也附加一個(gè)延遲項(xiàng)，其延遲時(shí)間和E的延遲時(shí)間相同，變?yōu)殡p延遲系統(tǒng)，表示為

在方程(2)中，所有參數(shù)表示的含義與方程(1)相同，延遲的時(shí)間τ0與E的延遲時(shí)間也相同。文獻(xiàn)［9］詳細(xì)推導(dǎo)了改進(jìn)的雙延遲系統(tǒng)從倍周期分岔到混沌的過(guò)程，這里不再贅述。根據(jù)文獻(xiàn)［9］給出的系統(tǒng)初值:k=1 000，g=4 800，Ip=5，τ0=0.01，D(0)=0.2，E(0)=0.2，ε=48，得到系統(tǒng)的吸引子圖，如圖1所示。

圖1 改進(jìn)系統(tǒng)的吸引子圖Fig.1 Diagram of attractors of the improved system

從圖1中可見(jiàn)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，但究竟是工作在混沌還是超混沌區(qū)域，還需要計(jì)算系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)進(jìn)行判斷。當(dāng)系統(tǒng)增加了延遲項(xiàng)，就由一個(gè)二維系統(tǒng)變?yōu)楦呔S系統(tǒng)，而只要此高維系統(tǒng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的李雅普諾夫指數(shù)大于零，就可以斷定系統(tǒng)工作在超混沌區(qū)域。采用文獻(xiàn)［10］的方法，計(jì)算此時(shí)系統(tǒng)的前兩個(gè)Lyapunov指數(shù)L1=11.038，L2=1.513，由此可見(jiàn)系統(tǒng)工作在超混沌區(qū)域。比較典型的超混沌系統(tǒng)，網(wǎng)格多翅膀混沌系統(tǒng)［1］在參數(shù)a=1時(shí)，最大李氏指數(shù)為0.16;Rosslor超混沌系統(tǒng)［11］在參數(shù)k=0.02時(shí)，最大李氏指數(shù)為0.075;新的Lorenz超混沌系統(tǒng)［12］在參數(shù)r=-6時(shí)，最大李氏指數(shù)為1;Lü系統(tǒng)添加狀態(tài)反饋控制器產(chǎn)生新的超混沌系統(tǒng)［13］在參數(shù)k=5時(shí)，最大李氏指數(shù)為1.5;三維的Rabinovich混沌系統(tǒng)擴(kuò)展成四維從而產(chǎn)生新的超混沌系統(tǒng)［14］，在參數(shù)k=0時(shí)，最大李氏指數(shù)為0.45?？梢?jiàn)雙延遲變形系統(tǒng)的最大李氏指數(shù)為11.038，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)典型的超混沌系統(tǒng)，由此可見(jiàn)，此系統(tǒng)的偽隨機(jī)性最好。

根據(jù)方程(2)，產(chǎn)生兩個(gè)序列E(t)和D(t)，圖2為兩個(gè)序列的直方圖。從圖2中可以看到，兩個(gè)序列并不服從均勻分布。根據(jù)Golomb對(duì)偽隨機(jī)序列提出的3個(gè)公設(shè)可知，偽隨機(jī)序列應(yīng)具備:自相關(guān)為delta函數(shù)，均值為零，互相關(guān)為零。

圖2 修改前序列直方圖Fig.2 The histogram of sequences before modification

筆者對(duì)原序列進(jìn)行修改，使之符合均勻分布的統(tǒng)計(jì)特性。根據(jù)文獻(xiàn)［15］可知，調(diào)整洛倫茲序列的方法為

其中X為輸入序列，round(·)為取整函數(shù)。

將改進(jìn)系統(tǒng)的序列應(yīng)用此方法，得到如圖3所示的序列直方圖。從圖3中可以看到，兩個(gè)序列都滿足均勻分布。求得的兩個(gè)序列的自相關(guān)和互相關(guān)特性，由圖4可以看到，自相關(guān)函數(shù)為delta函數(shù)，互相關(guān)為零，均滿足要求。此時(shí)E序列的均值為-0.004 049 8，D序列的均值為0.010 959，與均值為零的要求非常接近。

圖3 修改后序列直方圖Fig.3 The histogram of sequences after modification

圖4 序列的統(tǒng)計(jì)特性Fig.4 Statistical property of sequence

2 加解密算法

圖像加密的過(guò)程分為:置亂和擴(kuò)散。置亂的作用是改變?cè)瓐D像像素的位置，擴(kuò)散的作用是改變圖像像素的灰度值，以改變?cè)瓐D像統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)，使圖像分析者不能從統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)入手解密圖像。在筆者方法中，置亂過(guò)程用Arnold映射［16］，擴(kuò)散過(guò)程使用改進(jìn)的單環(huán)摻鉺激光器雙超混沌序列。

2.1 加密算法

由于對(duì)圖像進(jìn)行加密操作要求序列具有很好的偽隨機(jī)特性，在以往方法中，許多典型的混沌序列因?yàn)閭坞S機(jī)特性較差，需要添加其他的序列進(jìn)行補(bǔ)充［17］，或?qū)⒃S多混沌系統(tǒng)混合在一起使用［18，19］，還有一些方法是增加置亂與擴(kuò)散步驟，以增加被破解的難度［20］。筆者的基于單環(huán)摻鉺光纖激光器方法所產(chǎn)生的超混沌序列具有極強(qiáng)的偽隨機(jī)特性，所以使加密工作變得非常簡(jiǎn)化，既不用添加其他的偽隨機(jī)序列作為補(bǔ)充，也不用將幾個(gè)混沌序列聯(lián)合在一起使用，直接使用雙延遲方法所產(chǎn)生的混沌序列對(duì)置亂后的圖像進(jìn)行擴(kuò)散，即可達(dá)到預(yù)期的效果。加密步驟如下。

1)輸入原始圖像，并顯示原始圖像的直方圖(見(jiàn)圖5)。

圖5 原圖和統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.5 Original image and its histogram

2)用Arnold映射對(duì)原圖像進(jìn)行置亂操作，并求得置亂后圖像的直方圖(見(jiàn)圖6)。從圖6可以看到，置亂后的圖像并沒(méi)有改變其統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)。

圖6 置亂后圖像和統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.6 Scrambled image and its histogram

3)通過(guò)改進(jìn)的單環(huán)摻鉺光纖激光器混沌化產(chǎn)生兩個(gè)序列E(t)和D(t)(t=0，1，2，…，n)。將這兩個(gè)序列通過(guò)式(3)修改成E'(t)和D'(t)(t=0，1，2，…，n)。E'(t)和D'(t)這兩個(gè)序列就是符合Golomb 3個(gè)公設(shè)的序列。

4)將E'(t)序列與置亂后圖像做異或操作，得到一幅加密圖像e，再將D'(t)與加密圖像e做異或操作，得到圖像ee(見(jiàn)圖7)。圖7a為ee圖像，圖7b為ee圖像的直方圖。從圖7中可以看出，圖像的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)已經(jīng)改變，達(dá)到了加密效果。

圖7 擴(kuò)散后圖像和統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.7 Diffused image and its histogram

從操作步驟可以看出，圖像加密過(guò)程非常簡(jiǎn)單，程序的編寫也更加容易，沒(méi)有使用混合序列，節(jié)省計(jì)算空間，減少計(jì)算時(shí)間。

解密算法為加密算法的逆，在這里不再贅述。

2.2 算法安全性分析

筆者采用的超混沌系統(tǒng)為二維系統(tǒng)，將初值E(0)和D(0)作為密鑰，當(dāng)計(jì)算精度為10-16時(shí)，產(chǎn)生的密鑰空間為1032，足以抵御窮舉攻擊。對(duì)密鑰稍加改動(dòng)，并對(duì)圖像解密，也未產(chǎn)生正確的解密效果，實(shí)驗(yàn)證明加密方案對(duì)初值敏感，安全性較好。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者提出了一種基于單環(huán)摻鉺光纖激光器雙延遲變形系統(tǒng)超混沌序列的圖像加密方法。該方法的偽隨機(jī)性較好，不用聯(lián)合使用其他混沌序列，就能完成加密，從而簡(jiǎn)化了處理步驟和過(guò)程。經(jīng)過(guò)對(duì)算法的安全性分析，證明該算法有較大的密鑰空間，能抵御窮舉攻擊，并且對(duì)密鑰敏感，其統(tǒng)計(jì)特征符合要求，加密算法簡(jiǎn)單可行，所用存儲(chǔ)空間小，計(jì)算時(shí)間短，加密效果理想、可靠。

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