板球系統(tǒng)自適應(yīng)解耦滑模控制

韓京元，田彥濤，孔英秀，張英慧，李津淞

0 引 言

板球系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，20世紀(jì)具有強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)和無(wú)約束的特點(diǎn)［1－2］。80年代末許多學(xué)者以板球?qū)嶒?yàn)裝置作為被控對(duì)象進(jìn)行各種控制算法的研究，用于檢驗(yàn)非線性控制算法的性能［3－4］。1989年，Hauser利用近似線性化模型完成了對(duì)實(shí)際板球系統(tǒng)的控制，Zhang提出了T-S模糊算法和分層控制算法［5－7］。Hauser等的控制方法是基于近似線性化模型提出的，在控制器設(shè)計(jì)上具有局限性［5］。多步的李雅普諾夫函數(shù)比較復(fù)雜，反步法容易出現(xiàn)因高階非線性系統(tǒng)計(jì)算量增加而導(dǎo)致的微分爆炸現(xiàn)象［8］。上述方法沒(méi)能充分考慮板球系統(tǒng)的不確定性、強(qiáng)耦合和外部干擾等因素［9－10］。如果不確定性的范圍超出了控制器所設(shè)計(jì)的給定界限值，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不能保證。針對(duì)板球系統(tǒng)存在的不確定性、強(qiáng)耦合和滯后等非線性特性，文獻(xiàn)［1，4，11-13］提出了對(duì)非線性對(duì)象數(shù)學(xué)模型精度要求不高的人工智能方法和切換方法。

在這類模型不確定系統(tǒng)的控制領(lǐng)域中，滑?？刂破鳎⊿MC）是一種有效的非線性控制方法［14－15］。應(yīng)用SMC方法在滑模表面調(diào)節(jié)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，系統(tǒng)對(duì)于其系統(tǒng)的不確定性和攝動(dòng)等具有不變的特性。但是SMC也存在切換增益過(guò)大和抖振的缺點(diǎn)［15－16］。

針對(duì)具有未建模特性的非線性系統(tǒng)，模糊邏輯控制器（FLC）是一種能夠克服系統(tǒng)不確定性的有效控制器［3，13，17］。但模糊邏輯控制器也存在如下缺點(diǎn)：①系統(tǒng)的階次越高則規(guī)則總數(shù)越多；②隸屬函數(shù)的參數(shù)設(shè)計(jì)直接影響模糊系統(tǒng)的控制指標(biāo)，而隸屬函數(shù)的選取需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間；③不能利用一般的穩(wěn)定性分析工具分析模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最近十五年以來(lái)，人們提出了模糊滑?？刂破鳎‵SMC）的 概 念［18－20］。 結(jié) 合 FLC 和 SMC 的FSMC提供簡(jiǎn)單的FLC設(shè)計(jì)方法，其方法保持著良好的SMC特性，同時(shí)減少了抖振，并能夠使控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。文獻(xiàn)［16，19］提出了較好的非線性解耦特性的模糊滑模解耦控制器的設(shè)計(jì)方法，采用中間變量結(jié)合兩個(gè)狀態(tài)表面，并利用一個(gè)控制器實(shí)現(xiàn)其對(duì)象的穩(wěn)定控制。但是，其中間變量數(shù)需經(jīng)過(guò)試錯(cuò)過(guò)程才能得到。而不合適的耦合參數(shù)會(huì)降低系統(tǒng)的控制性能，甚至引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

本文針對(duì)上述存在的問(wèn)題，提出了利用多層自適應(yīng)模糊滑?？刂撇呗缘慕怦羁刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法，分別進(jìn)行小球的鎮(zhèn)定控制和軌跡跟蹤控制仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該方法將非線性耦合系統(tǒng)分解成幾個(gè)子系統(tǒng)，定義每個(gè)子系統(tǒng)的滑模表面，設(shè)計(jì)解耦多層滑?？刂破鳎捎米赃m應(yīng)模糊推理算法來(lái)選擇和調(diào)節(jié)滑模表面的耦合系數(shù)，并利用Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)控制規(guī)則，從而保證控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

1 滑模控制（SMC）的一般概念

二階非線性系統(tǒng)的規(guī)范狀態(tài)空間模型：

式中：x＝ （x1，x2）T為狀態(tài)變量；f（x）和g（x）為非線性函數(shù)；u為控制輸入；d（t）為多種干擾和攝動(dòng)的綜合量，并假定綜合干擾是有界的。

線性函數(shù)（滑模表面）定義如下：

式（2）表示滑模表面當(dāng)前狀態(tài)的代數(shù)距離，式中λ為正實(shí)數(shù)。當(dāng)綜合干擾不存在時(shí)，系統(tǒng)（1）的動(dòng)態(tài)特性可表示為：

選擇λ，使式（3）的根的實(shí)數(shù)部分小于零，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)d（t）＝0時(shí)，通過(guò)滑模穩(wěn)定條件s·＝0［17］等效控制規(guī)則可表示為：

2 板球?qū)嶒?yàn)裝置的動(dòng)態(tài)模型

圖1 板球?qū)嶒?yàn)裝置BPVS-II的原理圖Fig.1 Structure of Ball and Plate System BPVS-II

圖2 板球系統(tǒng)的坐標(biāo)系Fig.2 Coordinates of Ball and Plate System

圖1 和圖2所示為吉林大學(xué)控制理論與智能系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室自主開發(fā)的板球?qū)嶒?yàn)裝置BPVS-II的原理圖和小球的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。板球系統(tǒng)利用步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)平板的兩個(gè)自由度產(chǎn)生可控姿態(tài)，使小球在平板上穩(wěn)定跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡。同時(shí)CCD攝像頭和圖像視覺(jué)系統(tǒng)用于測(cè)量小球的位置信息［1，4，16］。

假設(shè)小球和平板一直接觸，始終保持滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)而無(wú)滑動(dòng)，板球系統(tǒng)的狀態(tài)方程為［4］：

式中：輸入、輸出變量分別為：

式中：B＝m／（m＋Jb／R2）；M ＝ ［x1x24＋x4x5x8－g（sin x3－μcos x3）］；N ＝ ［x5x28＋x1x4x8－g（sin x7－μcos x7）］；g為重力加速度；m為小球的質(zhì)量；R為小球的半徑；μ為滾動(dòng)摩擦因數(shù)；Jb為小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；x和y分別為小球在X軸和Y軸方向上的位移；x·和y·分別為對(duì)應(yīng)的速度；θx和θy為平板在X軸和Y軸方向上的角位移；θ·x和θ·y為相應(yīng)的角加速度。

板球系統(tǒng)的狀態(tài)方程（4）可表示為：

式中：di（t，x－）（i＝1，2，3，4）是系統(tǒng)的不確定性和外部干擾項(xiàng)，主要包括變量的耦合、小球與平板之間的滾動(dòng)摩擦和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的變化等。

定義滑模表面為：

式中：λ1，λ2，λ3，λ4是大于0的常數(shù)，定義fi（x－）和gi（x－）為：

假定X軸和Y軸之間的耦合項(xiàng)和不確定性項(xiàng)小于正常數(shù)di。式（7）系統(tǒng)模型可按X軸和Y軸分成為兩個(gè)系統(tǒng)，即：

因此，板球系統(tǒng)的X軸和Y軸可以分別進(jìn)行獨(dú)立控制，結(jié)合小球在兩個(gè)軸上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，小球在平板上的運(yùn)動(dòng)控制狀態(tài)也可以檢測(cè)。

3 自適應(yīng)解耦滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

依據(jù)式（10），X軸的狀態(tài)方程可表示為：

式中：x－＝ ［x1，x2，x3，x4］T是狀態(tài)變量；f1、f2、g1和g2是有界定常的非線性函數(shù)，u（t）為控制輸入，對(duì)于d1和d2，假定：

式中：dimax和εi均為大于零的常數(shù)。

X軸的狀態(tài)方程式（12）可分解為狀態(tài)（x1，x2）和（x3，x4）兩個(gè)二階子系統(tǒng)。在一個(gè)控制輸入ux（t）的作用下，同時(shí)調(diào)節(jié)狀態(tài) （x1，x2）和（x3，x4），最終X軸可獲得穩(wěn)定控制。針對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)，分別定義滑模表面為：

式（13）的動(dòng)態(tài)方程如下：

如果式（14）中沒(méi)有綜合干擾，即d2＝0，按照滑模條件s·2＝0［16］，可得到等效控制規(guī)則為：

該控制規(guī)則僅考慮子系統(tǒng) （x3，x4），而沒(méi)有考慮子系統(tǒng)（x1，x2）。為了能夠同時(shí)考慮兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)，定義結(jié)合兩個(gè)滑模表面的滑模面為

式中：nx＊是大于零的最優(yōu)結(jié)合系數(shù)，該結(jié)合系數(shù)是s1和s2之間切換控制中最關(guān)鍵的參數(shù)。

滑模表面（16）的微分式如下：

由式（16）可知，選擇多種條件下相對(duì)應(yīng)的結(jié)合系數(shù)n＊x，才能滿足控制系統(tǒng)的性能。而該系數(shù)需要經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的試錯(cuò)過(guò)程才能得到。因此，為了改善耦合系統(tǒng)的解耦特性，提出結(jié)合系數(shù)的自適應(yīng)模糊調(diào)整方法。模糊推理過(guò)程中，參數(shù)n＊x的估計(jì)值用n＾fzx表示，模糊推理規(guī)則如下：

式中：Ri是第i個(gè)模糊規(guī)則（i＝1，2，…，r）；Ci是利用θ＾來(lái)決定的模糊集。Aij是第i個(gè)模糊規(guī)則與第j個(gè)輸入變量相關(guān)的模糊集，用隸屬函數(shù)μAij（·）表示，μAij（·）可定義為［21］：

式中：wc為中心參數(shù)值；wd為中心點(diǎn)wc到模糊隸屬函數(shù)值為0.5的點(diǎn)坐標(biāo)值間的距離，ws為xj的系數(shù)。

最優(yōu)結(jié)合系數(shù)的估計(jì)值的模糊輸出為：

根據(jù)通用近似定理［14］，存在最優(yōu)模糊邏輯系統(tǒng)，表示為：

式中：非時(shí)變參數(shù)矢量θ＊定義為：

由式（14）可知，當(dāng)d≠0時(shí)，系統(tǒng)存在耦合和干擾。此時(shí)X軸的控制律為：

式中：ueqx與式（15）相同；uvsx為綜合攝動(dòng)和耦合項(xiàng)的控制律。

由式（16）和（23），定義Lyapunov函數(shù)為：

式中：α為正數(shù)。由式（14）（16）（23）和（24），能夠得出Lyapunov穩(wěn)定條件：

式中：sgn（）為符號(hào)函數(shù)，則式（26）可表示為：

結(jié)合式（15）（27），可得X軸控制律如下：

同理，針對(duì)Y軸，可得相應(yīng)的控制律如下：

一般來(lái)說(shuō)，為了抑制控制信號(hào)的抖振，可將符號(hào)切換函數(shù)換成飽和函數(shù)。同時(shí)可以將此方法推廣到高階系統(tǒng)。綜上可得，板球系統(tǒng)的解耦自適應(yīng)模糊滑?？刂葡到y(tǒng)框圖見(jiàn)圖3。

圖3 板球系統(tǒng)的解耦自適應(yīng)模糊滑?？刂圃韴DFig.3 Block of the decoupled AFSM to BPVS II

4 仿真實(shí)驗(yàn)

由式（9）～（11），通過(guò)對(duì)X軸和Y軸的控制能夠?qū)崿F(xiàn)小球在平板上的鎮(zhèn)定控制和軌跡跟蹤控制。板球系統(tǒng)BPVS II的參數(shù)如下：小球的質(zhì)量m 為0.263 kg；小球的半徑rb為0.02 m；小球的重力加速度g為9.8 m·s－2；小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jb為4.2×10－5kg·m－2。

圖4 模糊隸屬函數(shù)Fig.4 Fuzzy membership f unction

由式（18）調(diào)整結(jié)合系數(shù)，定義隸屬函數(shù)（見(jiàn)圖4）的中心點(diǎn)為－1.5、－0.5、0、0.5和1.5，每個(gè)隸屬函數(shù)的ws和wd分別定為1和1／0.15。利用表1中構(gòu)造的模糊推理系統(tǒng)調(diào)整參數(shù)，i＝1，2，…，25；的初始值為0.4。由式（16）決定多層滑模表面，參數(shù)的選取為λ1＝λ3＝0.4；λ2＝λ4＝4；αx＝αy＝0.5；δx＝δy＝0.5；ε2＝0.1，ε4＝0.1。

表1 模糊推理規(guī)則Table 1 Fuzzy inference rules

參 數(shù) Mθ，Ms，Ms·，λ1，λ2，λ3，λ4，αx，αy，δx，δy，ε2和ε4均基于系統(tǒng)控制原理并經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)才能決定。

4.1 鎮(zhèn)定控制

在鎮(zhèn)定控制的仿真試驗(yàn)中，小球從初始位置（x0，y0）＝（150 mm，150 mm）到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)的鎮(zhèn)定控制仿真結(jié)果如圖5所示，這里最優(yōu)結(jié)合系數(shù)為n＊fzx＝0.595、n＊fzy＝0.59。系統(tǒng)的不確定項(xiàng)和狀態(tài)變量之間耦合項(xiàng)的和（d1，d2）的限界是d＝0.01。系統(tǒng)采用的最佳結(jié)合系數(shù)為0.6，則在分別作用于X軸和Y軸的位置輸出信號(hào)及幅值為15 mm的隨機(jī)測(cè)量噪聲的干擾下，小球從初始位置到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)的鎮(zhèn)定控制的仿真結(jié)果如圖5所示。圖5（a）（c）分別為小球在X軸和Y軸上的測(cè)量位置；圖5（b）（d）分別為平板在X軸和Y軸的傾斜角（θx，θy）變化；圖5（e），（f）分別為結(jié)合系數(shù)的自適應(yīng)曲線，（g）為小球在平板上的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖5 板球系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制Fig.5 Stabilization control to Ball and Plate System.

由圖5可知，狀態(tài)變量都具有較好的性能，小球收斂到坐標(biāo)原點(diǎn)并在原點(diǎn)穩(wěn)定。從初始點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)的時(shí)間是6 s，同時(shí)小球可以獲得35.4 mm／s的較高速度。由｜x（4）｜＜0.005，｜x（5）｜＜0.2，｜x（8）｜＜0.005，｜x（1）｜＜0.2，可以得到：｜x（1）x（4）x（8）｜?5×10－6，｜x（4）x（5）x（8）｜＜5×10－6，比參數(shù)d（d＝0.01）小很多，因此，該方法有效地補(bǔ)償了系統(tǒng)的不確定性、攝動(dòng)和外部干擾等。

4.2 軌跡跟蹤控制

在軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)中，系統(tǒng)采用與上述鎮(zhèn)定控制相同的系統(tǒng)不確定性和干擾條件。

圓形軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。圖6（a）為小球運(yùn)動(dòng)速度為9.42 mm／s的仿真結(jié)果；圖6（b）（c）為小球運(yùn)動(dòng)速度為31.4 mm／s的仿真結(jié)果；圖6（d）為小球運(yùn)動(dòng)速度為62.8 mm／s的仿真結(jié)果。給定信號(hào)為：在仿真時(shí)，仍加入幅值為15 mm的隨機(jī)測(cè)量干擾，作用于X軸和Y軸位置輸出信號(hào)上。由圖6（a）的仿真結(jié)果可知，X軸位置偏差為0.00194 mm，Y軸位置偏差為0.023 mm，圓形軌跡跟蹤平均誤差為0.023 mm；由圖6（b）（e）的仿真結(jié)果可知，X軸位置偏差為0.202 mm，Y軸位置偏差為0.0507 mm，圓形軌跡跟蹤平均誤差為0.201 9 mm；由圖6（d）可知，當(dāng)小球的速度為62.8 mm／s時(shí)，平均誤差為2.54 mm。從仿真結(jié)果看，小球的速度越大，系統(tǒng)誤差越大。

圖6 圓形軌跡跟蹤控制。Fig.6 Circular trajectory tracking control.

文獻(xiàn)［16］采用符號(hào)距離模糊滑?？刂品椒ǎ―FSMC［16］）跟蹤圓形軌道，半徑與本文的方正實(shí)驗(yàn)一樣，小球的速度是15 mm／s時(shí)，位置偏差大約是3～10 mm，小球的速度是55 mm／s時(shí)，位置偏差大約是8～20 mm。

從仿真結(jié)果可知，本文提出的解耦自適應(yīng)模糊滑模控制方法，能夠使板球系統(tǒng)狀態(tài)變量始終保持在合適范圍內(nèi)，即獲得較小的位置偏差，相比符號(hào)距離模糊滑模控制方法效果更好。

圖7為小球速度在40 mm／s以上的方形軌跡跟蹤和8字形軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的控制器可使小球在板球系統(tǒng)中跟蹤多種圖形。

圖7 其他軌跡跟蹤曲線Fig.7 Various tr ajectory tracking curves

5 結(jié)束語(yǔ)

研究了一類非線性、不確定、欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制問(wèn)題。針對(duì)板球系統(tǒng)，提出了解耦自適應(yīng)模糊多層滑模控制方法，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。當(dāng)小球的速度為31.4 mm／s時(shí)，系統(tǒng)的平均位置偏差僅為0.2 mm。從實(shí)驗(yàn)可以看出，解耦自適應(yīng)模糊多層滑?？刂品椒軌蛴行Ы鉀Q非線性系統(tǒng)的不確定性、強(qiáng)耦合和外部干擾等問(wèn)題。如何能更合理地決定滑模表面的系數(shù)是以后需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

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