數(shù)列在日常理財(cái)生活中的應(yīng)用

趙曼淇

（北京海淀區(qū)中央民族大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100081）

一、在銀行理財(cái)品種中，數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的建立

1.等差數(shù)列在零存整取（整存零?。┲械膽?yīng)用

什么是零存整??？在銀行存款理財(cái)中，有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目，它是每月某日間隔一定時(shí)間存入一筆相同的金額，這是零存；到一定時(shí)間段后，可以取出全部本金及利息，這是整取。

舉例：我們?nèi)魪哪瓿蹰_始，每3個(gè)月初存入1 000元，3個(gè)月零存整取利率為a‰，到第12月底的本息和是多少？

分析：若每3個(gè)月初存入1 000元，12個(gè)月一共存入4期，合計(jì)本金4 000元。我們分別計(jì)算每期到12月底的本息和：

第一次存1 000元，到12月底的本息和：A1=本金+利息=1 000+1 000×4×a‰；第二次存1 000元，到12月底的本息和：A2=本金+利息=1 000 +1 000×3×a‰；第三次存1 000元，到12月底的本息和：A3=本金+利息=1 000+1 000×2×a‰；第四次存1 000元，到12月底的本息和：A4=本金+利息=1 000+1 000×1×a‰。

通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)A1、A2、A3、A4構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，公差是1 000a‰，計(jì)算到12月份本息和，就是數(shù)列A1、A2、A3、A4的四項(xiàng)和，其本息和是：A=1 000×4+1 000×（4+3+2+1）×a‰=4 000+1 000× 10×a‰；我們按照等差數(shù)列求和公式，求得本息和A=1 000×4+1 000×［4×（4+1）×（1/2）］×a‰=4 000+1 000×10×a‰。我們可以比較一下，發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算結(jié)果完全相同。

依據(jù)以上分析計(jì)算，我們得出零存整取或整存零?。▎卫?jì)息）的存款儲(chǔ)蓄品種，它的本息計(jì)算可以按照等差數(shù)列求和公式，構(gòu)建起零存整?。ㄕ媪闳。┑谋鞠⒑偷臄?shù)學(xué)計(jì)算模型是：本息和=每期存入金額×［存期數(shù)+存期數(shù)×（存期數(shù)+1）×（1/2）×利率］。（以下記做公式1。）

2.等比數(shù)列，在銀行存款中定期轉(zhuǎn)存的應(yīng)用

什么是定期轉(zhuǎn)存？在銀行存款理財(cái)中，有一種儲(chǔ)蓄項(xiàng)目，它是從某日存入一定金額的固定存期儲(chǔ)蓄，并約定每次到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為下一個(gè)存期的定期存款，這就是定期轉(zhuǎn)存。

舉例：我們?nèi)魪哪瓿蹰_始存入1 000元的3個(gè)月定期轉(zhuǎn)存儲(chǔ)蓄，3個(gè)月利率為a‰，到第12月底的本息和是多少？

分析：年初存入的1 000元，3個(gè)月到期后，自動(dòng)轉(zhuǎn)存時(shí)，第一個(gè)存期的利息，加入的1 000元本金里，作為新的“本金”開始記取利息（這叫“復(fù)利”），到12月底時(shí)，一共轉(zhuǎn)存了3次，記取了3次復(fù)利，正好取出本息。

現(xiàn)在我們分別計(jì)算每期結(jié)束的本息和：

第一次存期到期的本息和：A1=本金+利息=1 000+1 000×a‰=1 000（1+a‰）；

第二次存期到期的本息和：A2=本金+利息=1 000×（1+a‰）+1 000×a‰×（1+a‰）=1 000×（1+a‰）2；

以此類推，第三次存期到期的本息和：A3=本金+利息=1 000×（1+a‰）3；

第四次存期到期的本息和：A4=本金+利息=1 000×（1+a‰）4；

通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)A1、A2、A3、A4，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，它的公比是（1+a‰）。我們可以按照等比數(shù)列，已知A1，和公比（1+a‰），運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)求數(shù)列的第4項(xiàng)的值，到期的本息和A=A1×（1+a‰）［4-1］= 1 000×（1+a‰）4，A和上述分析得出的A4相等，也就是兩次計(jì)算結(jié)果完全相同。

依據(jù)以上分析計(jì)算，我們得出定期轉(zhuǎn)存（復(fù)利計(jì)息）儲(chǔ)蓄，它的本息計(jì)算可以按照等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，構(gòu)建起這種銀行存款品種的本息和的數(shù)學(xué)計(jì)算模型是：本息和=每期存入金額×（1+利率）存期。（以下記做公式2。）

通過(guò)對(duì)以上兩個(gè)代表性的銀行存款儲(chǔ)蓄品種的分析，可以類推出這樣的結(jié)論，如果是單利計(jì)算的儲(chǔ)蓄品種，一般都可以應(yīng)用等差數(shù)列建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算利息；如果按照復(fù)利支付利息的儲(chǔ)蓄品種，一般都可以通過(guò)等比數(shù)列建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算本息和，算出利息。

二、運(yùn)用數(shù)列知識(shí)，分析日常理財(cái)收益，規(guī)劃科學(xué)的理財(cái)方案

以一個(gè)雙工薪（一個(gè)企業(yè)，一個(gè)老師）的家庭的薪金收入為例，做好理財(cái)方案的分析和規(guī)劃。收入來(lái)源一是工資收入，一人3 000元，一人4 000元；二是前三個(gè)季度績(jī)效考核工資3 000元；三是年末的績(jī)效收入10 000元。我們假設(shè)以每月4 000元為生活費(fèi)，年末的10 000元作為全年花銷的備用金，其余家庭收入?yún)⑴c理財(cái)規(guī)劃，做一年的理財(cái)方案如下：

1.方案一：粗放的活期理財(cái)模式

現(xiàn)在的薪金發(fā)放，都是打在折（卡）上，粗心的家庭會(huì)積攢一年，到年底盤點(diǎn)后，再考慮提取資金，轉(zhuǎn)成高息理財(cái)產(chǎn)品。按照這個(gè)活期方案，我假定工資都是月初發(fā)放，工資收入每月存入3 000元，到12月末收益記作A1，季度績(jī)效月初發(fā)放，一共發(fā)放3次，每次3 000元，到12月末收益記作A2，年末獎(jiǎng)金10 000元次年1月初發(fā)放，留做全年備用，收益記作A3。

按照中國(guó)銀行2014年公布的年利率值：活期0.35%，3個(gè)月定期2.6%，零存整?。ㄕ媪闳。?.71%，半年定期2.8%，一年的定期3.25%。

計(jì)算家庭一年薪金理財(cái)收益：按照活期月利率=0.35%/12=0.029167%，計(jì)算的利息和是：A=A1+A2+A3，其中工資收入的活期利息按照公式（1）進(jìn)行計(jì)算，A1=3 000×12×（12+1）×（1/2）× 0.029167%=60.25元；季度績(jī)效獎(jiǎng)金的活期利息按照公式（1）進(jìn)行計(jì)算，A2=3 000×3×（3+1）×（1/2）×（3×0.029167）%=15.75元；10 000元備用金的收益，相當(dāng)于5 000元存6個(gè)月的活期利息，其計(jì)算模型：利息=存入金額×存期×月利率（推導(dǎo)過(guò)程略去），A3=5 000×6×0.029167%=8.75元。

通過(guò)以上計(jì)算出理財(cái)方案一，每年薪金收入產(chǎn)生的利息之和是：A=60.25+15.75+8.75=84.75元。

2.方案二：“工資零存整取+績(jī)效定期轉(zhuǎn)存+備用金整存零取”的理財(cái)模式

我們假定月初發(fā)放的工資，每月零存整取的方式存入3 000元，到12月末的收益記作A1，每季度初的3 000元績(jī)效獎(jiǎng)，按照3個(gè)月的定期轉(zhuǎn)存，到12月末的收益記作A2，上年度的年末獎(jiǎng)金10 000元，按照一年4次的整存零取，有計(jì)劃的季度資金備用方式，到12月末的收益記作A3。

計(jì)算家庭一年薪金理財(cái)收益的利息和是：A=A1+A2+A3，其中A1，工資的零存整取存款方式，利用（公式1）利息=每期存入金額×存期數(shù)×（存期數(shù)+1）×（1/2）×月利率］。月利率=1.71%/12=0. 1425%%。計(jì)算出A1=3000×12×（12+1）×（1/2）× 0.1425%=333.45元；

A2，績(jī)效獎(jiǎng)金按照三個(gè)月的定期轉(zhuǎn)存的存款方式，到12月末，一季度的3 000元獎(jiǎng)金經(jīng)歷了3個(gè)存期，二季度的獎(jiǎng)金經(jīng)歷2個(gè)存期，三季度的獎(jiǎng)金經(jīng)歷1個(gè)存期，是復(fù)利計(jì)息，符合等比數(shù)列，按照通項(xiàng)公式建模。直接利用公式（2），本息和=每期存入金額*（1+利率）存期，三個(gè)月定期利率=2.6%/4=0.65%。計(jì)算的利息A2=3000×（1+0.65%）1+3000×（1+0.65%）2 +3 000×（1+0.65%）-9 000=117.5元。

A3，1 000元備用金年初整存，按照每季度末存款支取2 500元，支取4次，是單利計(jì)息。其符合等差數(shù)列關(guān)系，直接利用數(shù)學(xué)模型公式（1），計(jì)算其本息和=每期消費(fèi)金額×消費(fèi)期×（消費(fèi)期+1）×（1/2）×利率，利率1.71%/4=0.4275%。計(jì)算出到期的利息A3=2 500×4×（4+1）×（1/2）×0.4275%=106.87元

通過(guò)以上計(jì)算出的理財(cái)方案二，一年薪金產(chǎn)生的利息是A=A1+A2+A3=333.45+117.5+106.87= 557.82元。

3.理財(cái)方案收益效果比較

一個(gè)家庭的一年薪金，如果按照方案一粗放的在銀行的工資卡上，算作存活期，方便取用，但只能達(dá)到錢在銀行的“保值”目的，利息收益太低了。方案二采取分類選擇相應(yīng)的理財(cái)品種，通過(guò)運(yùn)用數(shù)列方法分析計(jì)算的資金收益結(jié)果看，在既達(dá)到資金保值目的同時(shí)，又平均提高了家庭理財(cái)收益558%，經(jīng)濟(jì)效益可觀?，F(xiàn)做兩種理財(cái)方案的收益比較表如下：

兩種理財(cái)方案的收益比較表（一）

通過(guò)這次對(duì)數(shù)列在家庭日常理財(cái)中應(yīng)用的探究，既了解不同儲(chǔ)蓄品種的分類及利息計(jì)算方式的原理，更主要的是運(yùn)用數(shù)列的公式，建立了利息計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用這些方法分析論證了薪金的不同，理財(cái)方案的效益，這是數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題的一個(gè)很好應(yīng)用。