組合優(yōu)化在企業(yè)會(huì)議成員分配中的應(yīng)用

丁威+楊雪斌

作者簡(jiǎn)介：丁威（1988-），男，福建龍巖人，福州大學(xué)管理學(xué)院碩士研究生，研究方向：技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析及評(píng)價(jià)；楊雪斌（1988-），女，福建漳州人，福州大學(xué)管理學(xué)院碩士研究生，研究方向：系統(tǒng)分析。

摘 要：隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來越多的企業(yè)面臨諸多的決策問題，召開企業(yè)董事會(huì)是作出企業(yè)決策的有效途徑，針對(duì)現(xiàn)在企業(yè)董事會(huì)等參會(huì)成員分配的需要，提出利用組合優(yōu)化解決會(huì)議成員分配問題。

關(guān)鍵詞：組合優(yōu)化；模擬退火算法；會(huì)議成員分配

中圖分類號(hào)：F2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：16723198（2014）03002603

1 決策理論

現(xiàn)今，管理者面臨的各種關(guān)乎企業(yè)未來發(fā)展的決策越來越多，依靠科學(xué)的方法確定決策的形式及步驟對(duì)于企業(yè)發(fā)展至關(guān)重要。決策理論是在系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，主要代表人物是赫伯特·西蒙（Herbent Simon），其代表作為《管理決策新科學(xué)》。決策理論的觀點(diǎn)主要表現(xiàn)在三方面：突出決策在管理中的地位、系統(tǒng)闡述了決策原理以及強(qiáng)調(diào)了決策者的作用。西蒙認(rèn)為管理決策包括四個(gè)主要階段：找出制定決策的理由、找到可能的行動(dòng)方案、在諸行動(dòng)方案中進(jìn)行抉擇、對(duì)已進(jìn)行的抉擇進(jìn)行評(píng)價(jià)。斯蒂芬·羅賓斯認(rèn)為決策的制定大體分為識(shí)別決策問題、確定決策標(biāo)準(zhǔn)、為決策標(biāo)準(zhǔn)分配權(quán)重、開發(fā)備擇方案、分析備擇方案、選擇備擇方案、實(shí)施備擇方案和評(píng)估決策結(jié)果，科學(xué)決策的作出關(guān)乎每個(gè)企業(yè)的存亡。

2 模型的假設(shè)

2.1 問題陳述

某公司欲制定長(zhǎng)遠(yuǎn)計(jì)劃，茲決定召開一次董事會(huì)議，會(huì)議參加者中有37位董事會(huì)成員（其中9位為雇員董事，其余為外部董事，這里37只是隨機(jī)選取的一個(gè)數(shù)字）。

董事會(huì)議時(shí)間上午從9點(diǎn)開始，下午從2點(diǎn)開始，每段會(huì)議持續(xù)半個(gè)小時(shí)，每段會(huì)議之間休息10分鐘。這次董事會(huì)議將分為7段分組討論會(huì)，每個(gè)小組上午舉行三段討論會(huì)，下午舉行四段討論會(huì)，而上午每段會(huì)議中有6個(gè)小組參加討論會(huì)，下午每段會(huì)議中有4個(gè)小組參加討論會(huì)。為了避免出現(xiàn)董事會(huì)議討論被權(quán)威人士控制的現(xiàn)象，通常安排數(shù)屆會(huì)議分組進(jìn)行討論，各屆會(huì)議中小組成員不同，以使與會(huì)人員盡量交叉混合。

要求為董事長(zhǎng)提供一份與會(huì)成員分配名單，其要滿足如下條件：（1）每個(gè)小組討論會(huì)中董事成員數(shù)量盡可能平均；（2）每個(gè)小組討論會(huì)中雇員董事成員與非雇員董事成員應(yīng)符合一定的比例。

2.2 假設(shè)條件

（1）每種類型的與會(huì)董事地位相同；

（2）與會(huì)董事堅(jiān)決服從會(huì)議組織者的安排；

（3）會(huì)議一旦開始，在結(jié)束之前與會(huì)董事不允許發(fā)生變動(dòng)；

（4）各小組與會(huì)董事成員人數(shù)應(yīng)盡可能平均。

該假設(shè)依據(jù)說明如下：會(huì)議成員分配模型應(yīng)使與會(huì)董事混合得最好，并且在每個(gè)場(chǎng)次中保證董事們應(yīng)在盡可能相互認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上重復(fù)見面的次數(shù)盡可能平均且盡量小。假設(shè)每個(gè)董事與其他董事在開會(huì)小組中都有相同的見面次數(shù)m0，同時(shí)第j場(chǎng)會(huì)議中第i小組的人數(shù)為yij，在本組會(huì)議中任意一個(gè)人在該小組所見的人數(shù)就是（yij-1），因而該小組yij個(gè)人所見的人數(shù)之和為yij（yij-1），則對(duì)全天所有的場(chǎng)次所有的小組會(huì)議來說，所有成員所見人數(shù)總和為：

∑3j=1∑6i=1yij（yij-1）+∑7j=4∑4i=1yij（yij-1）=∑3j=1∑6i=1y2ij+∑7j=4∑4i=1y2ij-37×7

∵假設(shè)全天會(huì)議結(jié)束后每一個(gè)董事和其他任何一個(gè)董事見面的次數(shù)均為m0，

∴全天所有成員所見人數(shù)之和也可以寫成37×36m0。

∴等式∑3j=1∑6i=1y2ij+∑7j=4∑6i=1y2ij-37×7=37×36m0成立。

在本式中，∑3j=1∑6i=1yij+∑7j=4∑4i=1yij=37×7，其中n=3×6+4×4=34。

所以根據(jù)Cauchy不等式有：∑3j=1∑6i=1y2ij+∑7j=4∑4i=1y2ij≥34×（37×734）2，解得m0≥1.29。

在實(shí)際運(yùn)用中，m0的取值越小越好，取m0=1.29。所以他們?nèi)我鈨蓚€(gè)人見面的次數(shù)m0介于1和2之間，即上午：6，6，6，6，6，7；下午：9，9，9，10。

2.3 變量及符號(hào)說明

X：決策變量，其中元素xijk表示在第j場(chǎng)會(huì)議中，董事i在第k組；

m0：每個(gè)董事與其他董事的相同的見面次數(shù)；

P：分組矩陣，Pj表示第j場(chǎng)會(huì)議的分組矩陣；

Q：相遇矩陣，表示第j場(chǎng)會(huì)議的相遇矩陣；

Qsum：總相遇矩陣，即Qsum=∑7j=1Qj；

Q（1）sum：總相遇矩陣Qsum的轉(zhuǎn)換形式；

m（x）：目標(biāo)函數(shù)Ⅰ，定義為Qsum中除了主對(duì)角線上的元素外，零元素的個(gè)數(shù)，即表示任意兩個(gè)與會(huì)董事沒有見面的次數(shù)；目標(biāo)函數(shù)Ⅱ，定義為Qsum的范數(shù)的平方；

f（x）：總目標(biāo)函數(shù)，定義為f（x）=λ1m（x）+λ2g（x），其中λ1+λ2=1。

3 模型的分析

3.1 分組矩陣和相遇矩陣的關(guān)系定理

這里本文引入分組矩陣和相遇矩陣。

定理：若P為分組矩陣，則其對(duì)應(yīng)的相遇矩陣Q=PPT-E（E為單位矩陣）。

證明：對(duì)xi∈X，每次只能分在一個(gè)組中，即P的每一行中只有一個(gè)元素為1，其余的元素全部為0。

由矩陣M=PPT-E可得mij=∑mk=1（pik）2-1=0i=j

∑mk=1pik×pjki≠j

（1）若pik與pik（k∈{1，…，m}）不同時(shí)為1，即xi與xj不同在k組，即mij=0；

（2）若pik與pik同時(shí)為1，即xi與xj同在k組，即mij=1，滿足相遇矩陣的定義。

所以Q=M=PPT-E。

即定理得證。

3.2 約束條件

結(jié)合問題中的條件，我們定義變量xijk表示第i個(gè)人在第j場(chǎng)次的會(huì)議中分在第k組，

則xijk=1在第j場(chǎng)會(huì)議中，xi∈Gk

0在第j場(chǎng)會(huì)議中，xiGk，

其中

i=1…37，表示37個(gè)公司董事；

i=1…9，表示9個(gè)公司的雇員董事；

i=10…37表示28個(gè)公司的外部董事；

j=1…7表示全天開了7場(chǎng)次的會(huì)議；

k=1…6表示上午的三個(gè)場(chǎng)次的會(huì)議中，每個(gè)場(chǎng)次的會(huì)議分為6個(gè)小組，k=1…4表示下午的四個(gè)場(chǎng)次的會(huì)議中，每個(gè)場(chǎng)次的會(huì)議分為4個(gè)小組。

對(duì)于每個(gè)場(chǎng)次的分組來說，都一定存在有分組矩陣Pj，即：Pj=x1j1…x1jk

x2j1…x2jk

………

x37j1…x37jk，其中k=6（上午）或者4（下午）。

再根據(jù)題目給定的要求，可以得到如下的約束條件：

（1）每一次分組中，每個(gè)與會(huì)董事唯一的分在一組，

即∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37

∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37

（2）每次分組時(shí)，每組中的公司雇員董事應(yīng)當(dāng)合比例，

有1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…，6j=1，2，3

2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…，4j=4，5，6，7

（3）每次分組時(shí)，各小組的人數(shù)盡量平均分配，

有6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…，6j=1，2，3

9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…，4j=4，5，6，7

（4）xijk=1在第j場(chǎng)會(huì)議中，xi∈Gk

0在第j場(chǎng)會(huì)議中，xiGk

3.3 目標(biāo)函數(shù)

7次分組會(huì)議完成以后，董事成員1-37之間相互見面的次數(shù)可由如下的公式表示：Qsum=∑7j=1Qj=（qsumij）37×37，Qsum為總的相遇矩陣。

其中

qsumij=∑3l=1∑6k=1xilk·xjlk+∑7l=4∑4k=1xilk·xjlki，j=1，…，37 i≠j

0i=j

3.3.1 目標(biāo)函數(shù)Ⅰ的給出

考慮到與會(huì)董事之間的充分交流，要盡量保證每個(gè)與會(huì)董事之間都有見面的機(jī)會(huì)，即在Qsum中除了主對(duì)角線上元素外，0元素個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能少，首先對(duì)Qsum進(jìn)行處理，得到Q（1）sum=Qsum+E37×37=（qsum（1）ij）37×37。

令mij=1qsum（1）ij=0

0否則，得到M=（mij）37×37，則目標(biāo)函數(shù)I為m（x）=∑37i=1∑37j=1mij最小。

3.3.2 目標(biāo)函數(shù)Ⅱ的給出

考慮到任意兩個(gè)董事重復(fù)見面的次數(shù)應(yīng)盡可能相同，通過（qsumij）k可以放大不同董事與其他的董事見面次數(shù)上的單個(gè)差異，k的取值越大，放大的程度就越大。在本模型中，我們?nèi)《╧=2，即‖Qsum‖2F，因此得到目標(biāo)函數(shù)Ⅱ?yàn)間（x）=‖Qsum‖2F=∑37i=1∑37j=1（qsumij）2。

在這里，我們認(rèn)為g（x）達(dá)到最小時(shí)，任意兩個(gè)成員重復(fù)見面次數(shù)達(dá)到盡量平均這個(gè)目標(biāo)就得以實(shí)現(xiàn)，而當(dāng)m（x）達(dá)到最小時(shí)，充分見面這個(gè)目標(biāo)也得以最好地滿足。

3.3.3 總目標(biāo)函數(shù)的得到

考慮到兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)m（x）和g（x）存在著著不同的優(yōu)先級(jí)和數(shù)量級(jí)，于是對(duì)兩目標(biāo)函數(shù)采用加以不同權(quán)系數(shù)衡量，得到總目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，為f（x）=λ1m（x）+λ2g（x），其中λ1+λ2=1，λ1，λ2為權(quán)系數(shù)，這里取λ1=0.6，λ2=0.4。

4 模型的建立

綜合所述，得到如下模型：

目標(biāo)函數(shù)Minf（x）=0.6m（x）+0.4g（x）

約束條件∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37

∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37

1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…6j=1，2，3

2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…4j=4，5，6，7

6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…6j=1，2，3

9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…4j=4，5，6，7

xijk只能是0或者1，i=1，…，37，j=1，……，7，k=1，…，6。

5 模型的求解

5.1 尋找問題的可行解空間

對(duì)于模型中的每個(gè)決策變量只能0或者1，因此可以看作是多目標(biāo)0-1整數(shù)規(guī)劃問題，其變量的個(gè)數(shù)多達(dá)37×6×3+37×4×4=1258個(gè)，使用窮舉法搜索顯然是不可行的?？紤]到模型中決策變量特點(diǎn)，采用每一場(chǎng)次會(huì)議的分組矩陣作為變量，決策變量的個(gè)數(shù)將會(huì)降低到7個(gè)，該模型可看作是參會(huì)成員集合的組合優(yōu)化問題。考慮到分組矩陣的每一行中只能有一個(gè)元素為1，其余的元素全部為0，對(duì)于第一場(chǎng)和第四場(chǎng)的分組矩陣來說有：

X1=1

1

1

1

1

1

………

1

1

1

1

1037×6，X4=1

1

1

1

……

1

1

1

1

100037×4，

顯然這是滿足約束條件的，9個(gè)公司的雇員董事成比例分配，37個(gè)董事在開會(huì)小組中人數(shù)均分。對(duì)于X1和X4的前9行重新排列，10-37行重新排列，就可以得到滿足條件的不同場(chǎng)次分組矩陣X2，X3和X5，X6，X7。

對(duì)于初解X0={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7}來說，任意同時(shí)變換X1～X7的前9行，10-37行中任意行的位置，就可得到一個(gè)滿足約束條件的鄰近解X′={X′1，X′2，X′3，X′4，X′5，X′6，X′7}和該初始解的鄰域。

5.2 利用模擬退火算法求得全局最優(yōu)解

模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Kirkpatrick等應(yīng)用于組合優(yōu)化領(lǐng)域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性。陳華根等（2004）也對(duì)模擬退火算法的機(jī)理進(jìn)行了研究，模擬退火算法基本原理如下：（1）給定初始狀態(tài)X，選擇合適的退火策略，給定初始溫度T0以足夠高的值；（2）在X的鄰域內(nèi)選擇X′，并計(jì)算Δf=f（X′）-f（X）（其中f（X）為目標(biāo)函數(shù)）；（3）若Δf<0（或Δf>0）則接受X′為下一次模擬的初始狀態(tài)，否則算接受新點(diǎn)的概率p（Δf）=exp（-Δftk），產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)c，即c=rand（1）。若p（ΔF）≥r，則接受新點(diǎn)做下一次模擬的初始狀態(tài)，否則仍取原點(diǎn)作為下一次模擬的初始狀態(tài)；（4）重復(fù)（2）-（3）步，直至系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)；（5）按第一步給定的退火策略下降t，重復(fù)（2）-（4）步，直至t=0或某一預(yù)定的低溫。衰減函數(shù)的選?。核p函數(shù)用于控制溫度的退火速度，一個(gè)常用的衰減函數(shù)為 Tk+1 = K*Tk，其中K是一個(gè)非常接近于1的常數(shù)，這里我們?nèi)=0.9。

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)運(yùn)行程序得到其中一種會(huì)議成員的分配方案如下：

表1 上午會(huì)議安排方案

第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 第六組

第一場(chǎng)

9：00～9：30 2，12，14，

24，29，34 4，9，13

20，26，35 5，10，17

19，30，32 1，8，15

23，27，36，37 3，7，18

22，28，31 6，11，16

21，25，33

第二場(chǎng)

9：40～10：10 1，11，14

22，30，35 3，9，13

21，27，31，37 4，7，16

20，29，34 6，10，18

24，25，36 2，12，15

19，26，33 5，8，17

23，28，32

第三場(chǎng)

10：20～10：50 5，11，16

22，28，31 2，12，15

21，26，34 6，10，13

20，29，35，37 3，8，18

23，27，36 4，7，14

19，30，33 1，9，17

24，25，32

表2 下午會(huì)議安排方案

第一組 第二組 第三組 第四組

第四場(chǎng)

2：00～2：30 4，7，12，13，17

21，28，32，35，37 1，6，9，16，20

24，26，31，34 2，8，11，14，19

23，25，29，36 3，5，10，15，18

22，27，30，33

第五場(chǎng)

2：40～3：10 3，5，9，15，18

23，25，29，35 1，8，12，13，17

24，27，31，36 2，6，10，16，19

22，28，30，34，37 4，7，11，14，20

21，26，32，33

第六場(chǎng)

3：20～3：50 1，7，9，16，18

23，26，29，35 2，8，12，13，19

21，27，31，36，37 4，6，10，14，20

22，25，30，33 3，5，11，15，17

24，28，32，34

第七場(chǎng)

4：00～4：30 1，8，11，16，19

22，25，29，36 2，5，9，15，18

21，26，30，33 4，6，10，13，17

23，27，32，35 3，7，12，14，20

24，28，31，34，37

其中f（x）=215.0779，m（x）=326，g（x）=48.6948。

表3 參會(huì)成員互相見面次數(shù)統(tǒng)計(jì)

相互見面次數(shù) 0 1 2 3 4 5

模擬退火算法 103 234 166 83 17 1

根據(jù)上表知，見面次數(shù)大部分集中在1次和2次之間，基本實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)。模型的優(yōu)點(diǎn)包括兩個(gè)方面：一方面，本模型具有相當(dāng)好的適用性。對(duì)于會(huì)議成員類型不同，數(shù)目任意，以及衡量交叉混合程度的標(biāo)準(zhǔn)有所增減的情況，均可應(yīng)用本算法；另一方面，本模型具有很強(qiáng)的可推廣性。由于對(duì)會(huì)議成員總數(shù)，會(huì)議場(chǎng)次，會(huì)員類型，參與層次等參數(shù)沒有特殊要求，所以此模型有很大的可推廣性。模型的缺點(diǎn)主要表現(xiàn)為：（1）權(quán)系數(shù)的取值帶有一定的主觀性。如果能通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法得出權(quán)系數(shù)的值將使模型更具科學(xué)性。（2）結(jié)果不具唯一性。隨著循環(huán)次數(shù)的不同以及隨機(jī)初解取值的差異，得到的minf（x）會(huì)有所不同，同時(shí)產(chǎn)生的分配方案也有所差異。7 結(jié)論

本文研究利用組合優(yōu)化方法解決會(huì)議成員的分配問題。

首先，引入分組矩陣與相遇矩陣的概念以及他們之間存在的數(shù)學(xué)關(guān)系，以便于后面對(duì)會(huì)議成員組成的集合進(jìn)行討論，接著根據(jù)所需研究問題的限制條件確定相應(yīng)的約束條件。然后，采用加權(quán)系數(shù)的方法將多目標(biāo)函數(shù)歸結(jié)轉(zhuǎn)化為單一的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)把分組矩陣作為決策變量，大量減少了模型中決策變量的個(gè)數(shù)，便于建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。最后，通過置換初始解，得到該初始可行解的一個(gè)鄰近解，進(jìn)而得到該初始可行解的一個(gè)鄰域，繼而采用模擬退火算法在全局范圍內(nèi)進(jìn)行迭代，最終可以得到該模型的一個(gè)較為滿意的解，從而解決會(huì)議成員的分配問題。

參考文獻(xiàn)

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1

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100037×4，

顯然這是滿足約束條件的，9個(gè)公司的雇員董事成比例分配，37個(gè)董事在開會(huì)小組中人數(shù)均分。對(duì)于X1和X4的前9行重新排列，10-37行重新排列，就可以得到滿足條件的不同場(chǎng)次分組矩陣X2，X3和X5，X6，X7。

對(duì)于初解X0={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7}來說，任意同時(shí)變換X1～X7的前9行，10-37行中任意行的位置，就可得到一個(gè)滿足約束條件的鄰近解X′={X′1，X′2，X′3，X′4，X′5，X′6，X′7}和該初始解的鄰域。

5.2 利用模擬退火算法求得全局最優(yōu)解

模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Kirkpatrick等應(yīng)用于組合優(yōu)化領(lǐng)域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性。陳華根等（2004）也對(duì)模擬退火算法的機(jī)理進(jìn)行了研究，模擬退火算法基本原理如下：（1）給定初始狀態(tài)X，選擇合適的退火策略，給定初始溫度T0以足夠高的值；（2）在X的鄰域內(nèi)選擇X′，并計(jì)算Δf=f（X′）-f（X）（其中f（X）為目標(biāo)函數(shù)）；（3）若Δf<0（或Δf>0）則接受X′為下一次模擬的初始狀態(tài)，否則算接受新點(diǎn)的概率p（Δf）=exp（-Δftk），產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)c，即c=rand（1）。若p（ΔF）≥r，則接受新點(diǎn)做下一次模擬的初始狀態(tài)，否則仍取原點(diǎn)作為下一次模擬的初始狀態(tài)；（4）重復(fù)（2）-（3）步，直至系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)；（5）按第一步給定的退火策略下降t，重復(fù)（2）-（4）步，直至t=0或某一預(yù)定的低溫。衰減函數(shù)的選?。核p函數(shù)用于控制溫度的退火速度，一個(gè)常用的衰減函數(shù)為 Tk+1 = K*Tk，其中K是一個(gè)非常接近于1的常數(shù)，這里我們?nèi)=0.9。

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)運(yùn)行程序得到其中一種會(huì)議成員的分配方案如下：

表1 上午會(huì)議安排方案

第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 第六組

第一場(chǎng)

9：00～9：30 2，12，14，

24，29，34 4，9，13

20，26，35 5，10，17

19，30，32 1，8，15

23，27，36，37 3，7，18

22，28，31 6，11，16

21，25，33

第二場(chǎng)

9：40～10：10 1，11，14

22，30，35 3，9，13

21，27，31，37 4，7，16

20，29，34 6，10，18

24，25，36 2，12，15

19，26，33 5，8，17

23，28，32

第三場(chǎng)

10：20～10：50 5，11，16

22，28，31 2，12，15

21，26，34 6，10，13

20，29，35，37 3，8，18

23，27，36 4，7，14

19，30，33 1，9，17

24，25，32

表2 下午會(huì)議安排方案

第一組 第二組 第三組 第四組

第四場(chǎng)

2：00～2：30 4，7，12，13，17

21，28，32，35，37 1，6，9，16，20

24，26，31，34 2，8，11，14，19

23，25，29，36 3，5，10，15，18

22，27，30，33

第五場(chǎng)

2：40～3：10 3，5，9，15，18

23，25，29，35 1，8，12，13，17

24，27，31，36 2，6，10，16，19

22，28，30，34，37 4，7，11，14，20

21，26，32，33

第六場(chǎng)

3：20～3：50 1，7，9，16，18

23，26，29，35 2，8，12，13，19

21，27，31，36，37 4，6，10，14，20

22，25，30，33 3，5，11，15，17

24，28，32，34

第七場(chǎng)

4：00～4：30 1，8，11，16，19

22，25，29，36 2，5，9，15，18

21，26，30，33 4，6，10，13，17

23，27，32，35 3，7，12，14，20

24，28，31，34，37

其中f（x）=215.0779，m（x）=326，g（x）=48.6948。

表3 參會(huì)成員互相見面次數(shù)統(tǒng)計(jì)

相互見面次數(shù) 0 1 2 3 4 5

模擬退火算法 103 234 166 83 17 1

根據(jù)上表知，見面次數(shù)大部分集中在1次和2次之間，基本實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)。模型的優(yōu)點(diǎn)包括兩個(gè)方面：一方面，本模型具有相當(dāng)好的適用性。對(duì)于會(huì)議成員類型不同，數(shù)目任意，以及衡量交叉混合程度的標(biāo)準(zhǔn)有所增減的情況，均可應(yīng)用本算法；另一方面，本模型具有很強(qiáng)的可推廣性。由于對(duì)會(huì)議成員總數(shù)，會(huì)議場(chǎng)次，會(huì)員類型，參與層次等參數(shù)沒有特殊要求，所以此模型有很大的可推廣性。模型的缺點(diǎn)主要表現(xiàn)為：（1）權(quán)系數(shù)的取值帶有一定的主觀性。如果能通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法得出權(quán)系數(shù)的值將使模型更具科學(xué)性。（2）結(jié)果不具唯一性。隨著循環(huán)次數(shù)的不同以及隨機(jī)初解取值的差異，得到的minf（x）會(huì)有所不同，同時(shí)產(chǎn)生的分配方案也有所差異。7 結(jié)論

本文研究利用組合優(yōu)化方法解決會(huì)議成員的分配問題。

首先，引入分組矩陣與相遇矩陣的概念以及他們之間存在的數(shù)學(xué)關(guān)系，以便于后面對(duì)會(huì)議成員組成的集合進(jìn)行討論，接著根據(jù)所需研究問題的限制條件確定相應(yīng)的約束條件。然后，采用加權(quán)系數(shù)的方法將多目標(biāo)函數(shù)歸結(jié)轉(zhuǎn)化為單一的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)把分組矩陣作為決策變量，大量減少了模型中決策變量的個(gè)數(shù)，便于建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。最后，通過置換初始解，得到該初始可行解的一個(gè)鄰近解，進(jìn)而得到該初始可行解的一個(gè)鄰域，繼而采用模擬退火算法在全局范圍內(nèi)進(jìn)行迭代，最終可以得到該模型的一個(gè)較為滿意的解，從而解決會(huì)議成員的分配問題。

參考文獻(xiàn)

[1]西蒙.管理決策新科學(xué)[M].北京：中國(guó)科學(xué)社會(huì)出版社，1982.

[2]斯蒂芬·P·羅賓斯.管理學(xué)（第九版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.

[3]劉興堂，梁炳成.復(fù)雜系統(tǒng)建模理論、方法與技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2008，（1）.

[4]模擬退火算法[EB/OL].http：//baike.baidu.com/view/18185.htm.

[5]陳華根，吳健生.模擬退火算法機(jī)理研究[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，32（6）：802805.

1

1

100037×4，

顯然這是滿足約束條件的，9個(gè)公司的雇員董事成比例分配，37個(gè)董事在開會(huì)小組中人數(shù)均分。對(duì)于X1和X4的前9行重新排列，10-37行重新排列，就可以得到滿足條件的不同場(chǎng)次分組矩陣X2，X3和X5，X6，X7。

對(duì)于初解X0={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7}來說，任意同時(shí)變換X1～X7的前9行，10-37行中任意行的位置，就可得到一個(gè)滿足約束條件的鄰近解X′={X′1，X′2，X′3，X′4，X′5，X′6，X′7}和該初始解的鄰域。

5.2 利用模擬退火算法求得全局最優(yōu)解

模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Kirkpatrick等應(yīng)用于組合優(yōu)化領(lǐng)域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性。陳華根等（2004）也對(duì)模擬退火算法的機(jī)理進(jìn)行了研究，模擬退火算法基本原理如下：（1）給定初始狀態(tài)X，選擇合適的退火策略，給定初始溫度T0以足夠高的值；（2）在X的鄰域內(nèi)選擇X′，并計(jì)算Δf=f（X′）-f（X）（其中f（X）為目標(biāo)函數(shù)）；（3）若Δf<0（或Δf>0）則接受X′為下一次模擬的初始狀態(tài)，否則算接受新點(diǎn)的概率p（Δf）=exp（-Δftk），產(chǎn)生[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)c，即c=rand（1）。若p（ΔF）≥r，則接受新點(diǎn)做下一次模擬的初始狀態(tài)，否則仍取原點(diǎn)作為下一次模擬的初始狀態(tài)；（4）重復(fù)（2）-（3）步，直至系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)；（5）按第一步給定的退火策略下降t，重復(fù)（2）-（4）步，直至t=0或某一預(yù)定的低溫。衰減函數(shù)的選?。核p函數(shù)用于控制溫度的退火速度，一個(gè)常用的衰減函數(shù)為 Tk+1 = K*Tk，其中K是一個(gè)非常接近于1的常數(shù)，這里我們?nèi)=0.9。

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)運(yùn)行程序得到其中一種會(huì)議成員的分配方案如下：

表1 上午會(huì)議安排方案

第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 第六組

第一場(chǎng)

9：00～9：30 2，12，14，

24，29，34 4，9，13

20，26，35 5，10，17

19，30，32 1，8，15

23，27，36，37 3，7，18

22，28，31 6，11，16

21，25，33

第二場(chǎng)

9：40～10：10 1，11，14

22，30，35 3，9，13

21，27，31，37 4，7，16

20，29，34 6，10，18

24，25，36 2，12，15

19，26，33 5，8，17

23，28，32

第三場(chǎng)

10：20～10：50 5，11，16

22，28，31 2，12，15

21，26，34 6，10，13

20，29，35，37 3，8，18

23，27，36 4，7，14

19，30，33 1，9，17

24，25，32

表2 下午會(huì)議安排方案

第一組 第二組 第三組 第四組

第四場(chǎng)

2：00～2：30 4，7，12，13，17

21，28，32，35，37 1，6，9，16，20

24，26，31，34 2，8，11，14，19

23，25，29，36 3，5，10，15，18

22，27，30，33

第五場(chǎng)

2：40～3：10 3，5，9，15，18

23，25，29，35 1，8，12，13，17

24，27，31，36 2，6，10，16，19

22，28，30，34，37 4，7，11，14，20

21，26，32，33

第六場(chǎng)

3：20～3：50 1，7，9，16，18

23，26，29，35 2，8，12，13，19

21，27，31，36，37 4，6，10，14，20

22，25，30，33 3，5，11，15，17

24，28，32，34

第七場(chǎng)

4：00～4：30 1，8，11，16，19

22，25，29，36 2，5，9，15，18

21，26，30，33 4，6，10，13，17

23，27，32，35 3，7，12，14，20

24，28，31，34，37

其中f（x）=215.0779，m（x）=326，g（x）=48.6948。

表3 參會(huì)成員互相見面次數(shù)統(tǒng)計(jì)

相互見面次數(shù) 0 1 2 3 4 5

模擬退火算法 103 234 166 83 17 1

根據(jù)上表知，見面次數(shù)大部分集中在1次和2次之間，基本實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)。模型的優(yōu)點(diǎn)包括兩個(gè)方面：一方面，本模型具有相當(dāng)好的適用性。對(duì)于會(huì)議成員類型不同，數(shù)目任意，以及衡量交叉混合程度的標(biāo)準(zhǔn)有所增減的情況，均可應(yīng)用本算法；另一方面，本模型具有很強(qiáng)的可推廣性。由于對(duì)會(huì)議成員總數(shù)，會(huì)議場(chǎng)次，會(huì)員類型，參與層次等參數(shù)沒有特殊要求，所以此模型有很大的可推廣性。模型的缺點(diǎn)主要表現(xiàn)為：（1）權(quán)系數(shù)的取值帶有一定的主觀性。如果能通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法得出權(quán)系數(shù)的值將使模型更具科學(xué)性。（2）結(jié)果不具唯一性。隨著循環(huán)次數(shù)的不同以及隨機(jī)初解取值的差異，得到的minf（x）會(huì)有所不同，同時(shí)產(chǎn)生的分配方案也有所差異。7 結(jié)論

本文研究利用組合優(yōu)化方法解決會(huì)議成員的分配問題。

首先，引入分組矩陣與相遇矩陣的概念以及他們之間存在的數(shù)學(xué)關(guān)系，以便于后面對(duì)會(huì)議成員組成的集合進(jìn)行討論，接著根據(jù)所需研究問題的限制條件確定相應(yīng)的約束條件。然后，采用加權(quán)系數(shù)的方法將多目標(biāo)函數(shù)歸結(jié)轉(zhuǎn)化為單一的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)把分組矩陣作為決策變量，大量減少了模型中決策變量的個(gè)數(shù)，便于建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。最后，通過置換初始解，得到該初始可行解的一個(gè)鄰近解，進(jìn)而得到該初始可行解的一個(gè)鄰域，繼而采用模擬退火算法在全局范圍內(nèi)進(jìn)行迭代，最終可以得到該模型的一個(gè)較為滿意的解，從而解決會(huì)議成員的分配問題。

參考文獻(xiàn)

[1]西蒙.管理決策新科學(xué)[M].北京：中國(guó)科學(xué)社會(huì)出版社，1982.

[2]斯蒂芬·P·羅賓斯.管理學(xué)（第九版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.

[3]劉興堂，梁炳成.復(fù)雜系統(tǒng)建模理論、方法與技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2008，（1）.

[4]模擬退火算法[EB/OL].http：//baike.baidu.com/view/18185.htm.

[5]陳華根，吳健生.模擬退火算法機(jī)理研究[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，32（6）：802805.