空間變系數(shù)模型的局部非線性估計(jì)

程鵬鵬

(東北林業(yè)大學(xué))

0 引言

變系數(shù)模型是經(jīng)典線性模型的一個(gè)有用推廣，它在諸如地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境學(xué)、生態(tài)學(xué)、氣流學(xué)及流行病學(xué)等眾多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，由于其靈活性以及易于解釋性，過去幾十年來(lái)，變系數(shù)模型無(wú)論在理論體系還是在應(yīng)用方面都得到長(zhǎng)足發(fā)展［1］.1996年Brunsdon等首次通過假定線性回歸模型中的回歸系數(shù)是觀測(cè)點(diǎn)空間位置的函數(shù)，將數(shù)據(jù)的空間位置信息納入到模型之中，給出了空間變系數(shù)模型的概念.并提出以觀測(cè)點(diǎn)之間的距離的函數(shù)為權(quán)值的非參數(shù)光滑估計(jì)方法，稱之為地理加權(quán)回歸方法，簡(jiǎn)稱GWR. Wang等(2008)將變系數(shù)模型的局部線性擬合方法推廣到空間變系數(shù)模型，給出局部線性GWR擬合方法，并通過數(shù)值模擬說明改進(jìn)的擬合方法可以顯著的降低系數(shù)估計(jì)的偏和邊界效應(yīng)［7］.

空間變系數(shù)模型在短短的十多年中很快得到研究工作者，尤其是實(shí)際領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析工作者的重視.魏傳華和梅長(zhǎng)林［2］以及魏傳華和吳喜之［3］都對(duì)這一模型理論部分有進(jìn)一步的研究.王晨亮和岳天祥等［4］在中國(guó)氣候的模擬研究中利用了空間變系數(shù)模型.LüShiqin and Lu Zhunwei［5］給出了半變系數(shù)模型在線性約束條件下的估計(jì)以及Zhang Yu［6］在變系數(shù)模型的相關(guān)理論基礎(chǔ)上提出了兩種估計(jì)方法.

基于空間變系數(shù)模型的局部線性GWR擬合方法的基礎(chǔ)上，給出了空間變系數(shù)模型的局部非線性GWR擬合方法，并進(jìn)一步得到了模型參數(shù)的估計(jì)值和偏導(dǎo)數(shù)，明確了曲面參數(shù)的意義.

1 預(yù)備知識(shí)

空間變系數(shù)回歸模型為:

其中βi(u，v)(j=0，1，2，…，p)為空間地理位置(u，v)的未知函數(shù);εi(i=1，2，…，n)為獨(dú)立同分布的誤差項(xiàng)，且E(εi)=0，Var(εi)=σ2［7］.

2 空間變系數(shù)模型的局部非線性擬合及GWR估計(jì)

為簡(jiǎn)化表示，將空間變系數(shù)模型(1)改寫為如下形式:

設(shè)其中的每個(gè)系數(shù)函數(shù)βj(u，v)(j=1，2，…，p)關(guān)于空間位置坐標(biāo)u和v均有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，這里(u，v)為在某直角坐標(biāo)系下的空間位置坐標(biāo).給定所研究區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)(u0，v0)，對(duì)于每個(gè)j=1，2，…，p應(yīng)用Taylor公式對(duì)βj(u，v)在(u0，v0)的鄰域內(nèi)進(jìn)行二階泰勒展開，并用二次函數(shù)逼近，有

達(dá)到最小，便得到各空間變系數(shù)模型系數(shù)函數(shù)βj(u，v)(j=1，2，…，p)在(u0，v0)點(diǎn)的局部估計(jì)值.其中(Yi;Xi1，Xi2，…，Xip)為因變量Y和自變量X1，X2，…，Xp在地理位置(ui，vi)處的觀測(cè)值，d0i為(u0，v0)到(ui，vi)的距離，這里

其中K(·)為核函數(shù)，核函數(shù)選取方法通常為Gauss核或Epanechnikov核，h是光滑參數(shù).

若令

則上述最小二乘問題的解可用矩陣表示為

其中(u0，v0)點(diǎn)的權(quán)矩陣和因變量Y在n個(gè)觀測(cè)位置處的觀測(cè)值所成的列向量.記

分別為各回歸系數(shù)函數(shù)在(u0，v0)處的估計(jì)值所構(gòu)成的列向量以及關(guān)于u和v的偏導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值所成的列向量，則由(3)式可得

其中Ip和0p分別表示p階單位陣和p階零矩陣，令(u0，v0)=(ui，vi)，i=1，2，…，n)，則由(4)得到模型參數(shù)在各觀測(cè)位置處的估計(jì)值為

為表示簡(jiǎn)潔，將五個(gè)p階零矩陣合并為一個(gè)p× 5p階的零矩陣，并用0p×5p表示.由此可得因變量Y在各觀測(cè)位置(ui，vi)處的擬合值為

其中 Xi=(Xi1，Xi2，…，Xip)T為自變量 X1，X2，…，Xp的第i組觀測(cè)值所成的列向量.從而因變量Y在n個(gè)觀測(cè)位置處的擬合向量為

其中

進(jìn)一步可得局部非線性GWR估計(jì)的殘差向量為

殘差平方和為

由此可得模型(2)的誤差方差Var(εi)=σ2的估計(jì)為

這里光滑參數(shù)h的確定方法，可使用CV，GCV或AICc準(zhǔn)則確定.

稱上述方法為空間變系數(shù)模型的局部非線性GWR估計(jì)方法，此方法不僅可以得到各空間變系數(shù)模型系數(shù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)(u0，v0)處的估計(jì)值，同時(shí)也能得到系數(shù)函數(shù)曲面關(guān)于空間坐標(biāo)u和v的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)在該處的估計(jì)值.一階偏導(dǎo)數(shù)在(u0，v0)點(diǎn)的估計(jì)值分別反映了系數(shù)曲面在該點(diǎn)處沿地理空間坐標(biāo)u和v方向的瞬間變化率，二階偏導(dǎo)數(shù)能反映變化率的增減性以及曲面的凹凸程度.

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)空間變系數(shù)模型進(jìn)行探討，是經(jīng)典線性模型的一種擴(kuò)展.為了使空間地理位置更明確，更形象，將從非線性二次函數(shù)擬合以及GWR方法入手，在局部線性擬合基礎(chǔ)上推廣到局部非線性二次函數(shù)擬和，更加深入闡述地理空間位置對(duì)變系數(shù)的影響.

［1］ 許健，劉萬(wàn)榮.廣義空間變系數(shù)模型［D］.湖南師范大學(xué)，2009.

［2］ 魏傳華，梅長(zhǎng)林.半?yún)?shù)空間變系數(shù)回歸模型的Back－Fitting估計(jì)［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006(3):177－184.

［3］ 魏傳華，吳喜之.空間變系數(shù)模型的統(tǒng)計(jì)診斷［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2007(11):1027－1033.

［4］ 王晨亮，岳天祥，范澤孟，等.高精度曲面建模的中國(guó)氣候降尺度模型［J］.地球信息科學(xué)學(xué)報(bào)，2012，10:599－610.

［5］ LüShiqin，Lu Zhunwei.The Asymptotic Normality Of Constrained Profile Least－Squares Estimation On Semivarying Coefficient Models［J］.Mathematica Applicata，2008，21 (1):149－155.

［6］ Zhang Yu.B－spline Estimation For Varying－Coefficient Single－Index Model［J］.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2013(8):433－442.

［7］ 梅長(zhǎng)林，王寧.近代回歸分析方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2012.