“恒成立”與“能成立”問(wèn)題辨析

苗孟義

提問(wèn)： 有道題是這樣的：“已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.當(dāng)a=，b≥2時(shí)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的值”.

“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”這句話，我不是太理解，究竟意味著什么呢？

回答： 這位同學(xué)的困惑其實(shí)是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問(wèn)題是一類(lèi)非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只有先準(zhǔn)確理解其含義，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

恒成立，要求自變量在給定區(qū)間內(nèi)可取任意值，即給定區(qū)間內(nèi)所有x均能滿足條件.

能成立，要求滿足條件的自變量在給定區(qū)間內(nèi)存在，即給定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)x能滿足條件即可.

我們?cè)賮?lái)看題目，“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求區(qū)間[1，2]上所有的實(shí)數(shù)x1，x2（x1≠x2）都能夠使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是說(shuō)f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

對(duì)于我省高考中常見(jiàn)的恒成立與能成立問(wèn)題，存在以下結(jié)論（結(jié)論均建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下）：

①對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，1].

例2 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在實(shí)數(shù)x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1，+∞）.

有時(shí)題目中會(huì)包含兩個(gè)自變量，要求分析兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系恒成立或能成立的條件.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論（結(jié)論同樣建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下）：

⑤對(duì)任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如圖1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，則給定區(qū)間D2內(nèi)函數(shù)g（X）的圖象要恒在給定區(qū)間D1內(nèi)函數(shù)f（x）的圖象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下結(jié)論同學(xué)們可以參照結(jié)論⑤自行推導(dǎo).

⑥對(duì)任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，對(duì)任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立與能成立問(wèn)題，首先要理解其含義，只有準(zhǔn)確理解了含義，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化.上述結(jié)論是比較常用的，但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化，題目亦?？汲Ｐ拢虼嗽谄匠５挠?xùn)練中需要不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，提高這類(lèi)題的解答能力.

對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

提問(wèn)： 有道題是這樣的：“已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.當(dāng)a=，b≥2時(shí)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的值”.

“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”這句話，我不是太理解，究竟意味著什么呢？

回答： 這位同學(xué)的困惑其實(shí)是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問(wèn)題是一類(lèi)非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只有先準(zhǔn)確理解其含義，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

恒成立，要求自變量在給定區(qū)間內(nèi)可取任意值，即給定區(qū)間內(nèi)所有x均能滿足條件.

能成立，要求滿足條件的自變量在給定區(qū)間內(nèi)存在，即給定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)x能滿足條件即可.

我們?cè)賮?lái)看題目，“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求區(qū)間[1，2]上所有的實(shí)數(shù)x1，x2（x1≠x2）都能夠使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是說(shuō)f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

對(duì)于我省高考中常見(jiàn)的恒成立與能成立問(wèn)題，存在以下結(jié)論（結(jié)論均建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下）：

①對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，1].

例2 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在實(shí)數(shù)x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1，+∞）.

有時(shí)題目中會(huì)包含兩個(gè)自變量，要求分析兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系恒成立或能成立的條件.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論（結(jié)論同樣建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下）：

⑤對(duì)任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如圖1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，則給定區(qū)間D2內(nèi)函數(shù)g（X）的圖象要恒在給定區(qū)間D1內(nèi)函數(shù)f（x）的圖象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下結(jié)論同學(xué)們可以參照結(jié)論⑤自行推導(dǎo).

⑥對(duì)任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，對(duì)任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立與能成立問(wèn)題，首先要理解其含義，只有準(zhǔn)確理解了含義，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化.上述結(jié)論是比較常用的，但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化，題目亦?？汲Ｐ拢虼嗽谄匠５挠?xùn)練中需要不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，提高這類(lèi)題的解答能力.

對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

提問(wèn)： 有道題是這樣的：“已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.當(dāng)a=，b≥2時(shí)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的值”.

“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”這句話，我不是太理解，究竟意味著什么呢？

回答： 這位同學(xué)的困惑其實(shí)是由于不理解恒成立的含義造成的. “恒成立”和“能成立”問(wèn)題是一類(lèi)非常典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 只有先準(zhǔn)確理解其含義，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

恒成立，要求自變量在給定區(qū)間內(nèi)可取任意值，即給定區(qū)間內(nèi)所有x均能滿足條件.

能成立，要求滿足條件的自變量在給定區(qū)間內(nèi)存在，即給定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)x能滿足條件即可.

我們?cè)賮?lái)看題目，“對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求區(qū)間[1，2]上所有的實(shí)數(shù)x1，x2（x1≠x2）都能夠使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是說(shuō)f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

對(duì)于我省高考中常見(jiàn)的恒成立與能成立問(wèn)題，存在以下結(jié)論（結(jié)論均建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下）：

①對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，1].

例2 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在實(shí)數(shù)x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1，+∞）.

有時(shí)題目中會(huì)包含兩個(gè)自變量，要求分析兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系恒成立或能成立的條件.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，我們可以得到以下幾個(gè)結(jié)論（結(jié)論同樣建立在函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)存在最值的前提下）：

⑤對(duì)任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如圖1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，則給定區(qū)間D2內(nèi)函數(shù)g（X）的圖象要恒在給定區(qū)間D1內(nèi)函數(shù)f（x）的圖象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下結(jié)論同學(xué)們可以參照結(jié)論⑤自行推導(dǎo).

⑥對(duì)任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，對(duì)任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立與能成立問(wèn)題，首先要理解其含義，只有準(zhǔn)確理解了含義，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化.上述結(jié)論是比較常用的，但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化，題目亦?？汲Ｐ?，因此在平常的訓(xùn)練中需要不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，提高這類(lèi)題的解答能力.

對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

對(duì)任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.