弱－可補(bǔ)子群對(duì)有限群構(gòu)造的影響

高百俊，繆利云，梁 倞

（1．伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧835000；2．揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

群論研究的主要任務(wù)是探究各種群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，其中準(zhǔn)素子群在分析群結(jié)構(gòu)時(shí)有著重要作用．與此同時(shí)，子群的可補(bǔ)性也對(duì)群的結(jié)構(gòu)有著重要的影響．近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究．例如：何鳴等［1］研究了π－可補(bǔ)子群的一些性質(zhì)，利用群的Sylowp－子群的極大和極小子群的π－可補(bǔ)性給出一個(gè)群是p－冪零群的一些條件．Skiba［2］取定非循環(huán)Sylowp－子群P 的真子群D 使得1＜D＜P，在P 的任意階為｜D｜的子群在G 中弱s－置換的條件下研究了群G 的結(jié)構(gòu)．郭秀云等［3］利用Sylow子群的極大子群半覆蓋遠(yuǎn)離性與半正規(guī)性給出一個(gè)群為超可解群的一些充分條件．繆龍和Lempken［4］取定非循環(huán)Sylowp－子群P 的真子群D 使得1＜D＜P，在P 的任意階為｜D｜的子群在G 中－可補(bǔ)的條件下研究了群G 的結(jié)構(gòu)．Asaad［5］取定非循環(huán)Sylowp－子群P 的真子群D 使得1＜D＜P，在P 的任意階為｜D｜或者2｜D｜的子群在G 中可補(bǔ)的條件下研究了群G 的結(jié)構(gòu)．湯菊萍等［6］將子群的p－冪零補(bǔ)應(yīng)用到群的Sylow 子群的正規(guī)化子中，得到一些關(guān)于群的冪零和超可解的新結(jié)果．在上述工作的基礎(chǔ)上，本文主要探究給定階子群的弱－可補(bǔ)性對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響，以得到群的有關(guān)p－冪零和p－超可解的相關(guān)結(jié)果．本文涉及到的群皆為有限群，所用術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［4］271如果存在群G 的子群B 滿足G＝HB，并且TB＜G，其中T 是H 的任意極大子群，那么子群H 稱(chēng)為在G 中－可補(bǔ)．

定義2［7］681如果存在群G 的子群B 滿足G＝HB，并且TB＜G，其中T 是H 的滿足｜H∶T｜＝pα的任意極大子群，那么子群H 稱(chēng)為在G 中p－可補(bǔ)．

定義3［8］489如果存在群G 的子群B 滿足G＝HB，并且TB＜G，其中T 是H 中包含HG的任意極大子群，HG是H 中G 的最大正規(guī)子群，那么子群H 稱(chēng)為在G 中弱－可補(bǔ)．

引理1［8］490設(shè)H 是群G 的子群．

3）設(shè)π是某些素?cái)?shù)的集合，K 是G 的正規(guī)π′－子群，H 是G 的π－子群，如果H 在G 中弱－可補(bǔ)，那么HK／K 在G／K 中弱－可補(bǔ)；

引理2［7］682設(shè)H 是群G 的子群，p 是｜G｜的素因子，如果H 在G 中p－可補(bǔ)，且

3）K 是G 的正規(guī)p′－子群，那么HK／K 在G／K 中p－可補(bǔ)．

引理3［9］75設(shè)p 是｜G｜的極小素因子，P∈Sylp（G），且P 循環(huán)，則G 有正規(guī)p－補(bǔ)．

引理4［9］67設(shè)G 是有限群，p 是｜G｜的極小素因子，如果H≤G 且｜G∶H｜＝p，那么HG．

引理5［9］173設(shè)N 是群G 的可解正規(guī)子群，如果N∩Φ（G）＝1，則N 的Fitting子群F（N）是G的所有包含在N 中的極小正規(guī)子群的直積．

引理6［10］設(shè)G 是p－可解群，H 是G 的p－冪零子群并且包含G 的一個(gè)Sylowp－子群，H 存在子群D，滿足Dp≠1且｜H∶D｜＝pα，如果H 的每一個(gè)階為｜D｜的子群T 在G 中p－可補(bǔ)，那么G 是p－超可解的．

引理7［7］684設(shè)G 是群，p 是｜G｜的極小素因子，H 是G 的p－冪零子群并且包含G 的一個(gè)Sylow p－子群，如果H 在G 中p－可補(bǔ)，則G 是p－冪零的．

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G 是群，H 是G 的p－冪零子群，并且包含G 的一個(gè)Sylowp－子群，其中p 為｜G｜的極小素因子．G 是p－冪零的當(dāng)且僅當(dāng)H 的任意指數(shù)為p 的極大子群在G 中弱－可補(bǔ)．

證明 先證充分性．假設(shè)定理不真，選取G 為極小階反例．

設(shè)P 是G 的一個(gè)Sylowp－子群，H 是G 中包含P 的p－冪零子群，又令P1，P2，…，Pn是P 的所有極大子群，那么Hi＝PiHp′（i＝1，2，…，n）是H 的所有滿足｜H∶Hi｜＝p 的極大子群，其中Hp′是H 的正規(guī)Hall p′－子群．

如果｜P｜＝p，那么由引理3可知G 是p－冪零的，矛盾，所以有｜P｜＞p．

如果對(duì)任意i（i＝1，2，…，n），（Hi）G＝1，那么由Hi在G 中弱－可補(bǔ)得Hi在G 中－可補(bǔ)，于是Hi也在G 中p－可補(bǔ)，即存在G 的子群K≤G，使得G＝HiK，且TK＜G，其中T 是Hi的任一指數(shù)為p 的極大子群．由引理4可知TKG．設(shè)L＝P∩TK，易知L 為T(mén)K 的Sylowp－子群且為P 的極大子群，從而LHp′是H ＝PHp′的極大子群，因此LHp′在G 中p－可補(bǔ)．由引理2之1）可知LHp′在TK 中p－可補(bǔ)，又由引理7可知TK 是p－冪零的，從而G 是p－冪零的，矛盾；因此，存在某一個(gè)（Hi）G≠1，不妨設(shè)i＝1．

假設(shè)S＝（（H1）G）p′≠1，由于Schar（H1）GG，所以SG 并且G／S 滿足定理?xiàng)l件，則G／S 是p－冪零的，于是G 也是p－冪零的，矛盾，因此（H1）G是p－群，顯然Op（G）≠1．若Op（G）∩Φ（G）≠1，則存在G 的極小正規(guī)子群L，滿足L≤Op（G）∩Φ（G）．若｜L｜＝｜P｜，則G／L 為p′－群，于是G／L 是p－冪零的，從而G 是p－冪零的，矛盾．若｜L｜＝｜（H1）p｜，則G／L 的Sylow p－子群是素?cái)?shù)階循環(huán)群，由引理3可知G／L 是p－冪零的．若｜L｜＜｜（H1）p｜，則G／L 滿足定理?xiàng)l件，由G 的極小性可知G／L 是p－冪零的．由于p－冪零群系是飽和群系，且L≤Φ（G），所以G 是p－冪零的，矛盾．

若Op（G）∩Φ（G）＝1，則由引理5可知Op（G）＝F（Op（G））＝L1×L2×…×Lt，其中Li（i＝1，2，…，t）是G 包含在Op（G）中的極小正規(guī)子群．事實(shí)上，G 包含在Op（G）中的極小正規(guī)子群是唯一的．否則，設(shè)L2是G 的另一個(gè)異于L1的包含在Op（G）中的極小正規(guī)子群，則G／（L1∩L2）同構(gòu)于（G／L1）×（G／L2）的一個(gè)子群，由于G／Li滿足定理?xiàng)l件，故G／Li是p－冪零的，從而G／（L1∩L2）是p－冪零的；又L1∩L2＝1，故得G 是p－冪零的，矛盾．令L＝Op（G），則LΦ（G），于是存在G 的極大子群M，使得G＝LM，并且L∩M＝1．令P∩M＝Pi′≤Pi＜·P，其中Pi′是M 的Sylow p－子群，則LPi′為G 的Sylowp－子群，顯然LPiHp′，因此（PiHp′）G＝1．令H2＝PiHp′，可知H2在G 中－可補(bǔ)，從而在G 中p－可補(bǔ)，即存在G 的子群B，使得G＝H2B，且T2B＜G，其中T2滿足｜H2∶T2｜＝p．不妨假設(shè)Pi′≤T2，否則Pi′＝Pi，于是｜L｜＝p，因此由G／L 是p－冪零的可知G 是p－冪零的，矛盾．由引理1之4）可得｜G∶T2B｜＝p，所以G＝LT2B 且L∩T2BG，于是L∩T2B＝1或L≤T2B．若L∩T2B＝1，則｜L｜＝｜G∶T2B｜＝p，于是G 是p－冪零的，矛盾．若L≤T2B，而Pi′≤T2，則LPi′≤T2B，與｜G∶T2B｜＝p 矛盾．

取G＝H，則必要性顯然成立．

定理2設(shè)G 是一個(gè)p－可解群，H 為G 的p－冪零子群，并且包含G 的Sylowp－子群．如果H 的任意指數(shù)為p 的極大子群在G 中弱－可補(bǔ)，那么G 是p－超可解的．

證明 假設(shè)定理不真，選取G 為極小階反例．

設(shè)P 是G 的一個(gè)Sylowp－子群，H 是G 中包含P 的p－冪零子群，又令P1，P2，…，Pn是P 的所有極大子群，那么Di＝PiHp′（i＝1，2，…，n）是所有滿足｜H∶Di｜＝p 的極大子群，且滿足｜H∶Di｜＝p，其中Hp′是H 的正規(guī)Hall p′－子群．

如果｜P｜＝p，那么G 是p－超可解的，矛盾，所以有｜P｜＞p．

如果對(duì)任意i（i＝1，2，…，n），（Di）G＝1，則由Di在G 中弱－可 補(bǔ) 得Di在G 中－可補(bǔ)，從而Di也 在G 中p－可補(bǔ)．由引理6 可知G 是p－超可解的，矛盾，所以存在某一個(gè)（Di）G≠1，不妨設(shè)i＝1．

若S＝（（D1）G）p′≠1，因?yàn)镾char（D1）GG，所以SG 并且G／S 滿足定理?xiàng)l件，則G／S 是p－超可解的，于是G 也是p－超可解的，矛盾，因此可知（D1）G是p－群．令N1是G 的包含在（D1）G中的極小正規(guī)子群，那么G／N1滿足定理?xiàng)l件，于是G／N1是p－超可解的．事實(shí)上，G 的包含在（D1）G中的極小正規(guī)子群是唯一的．否則，設(shè)N2是G 的另一個(gè)包含在（D1）G中的極小正規(guī)子群，則G／（N1∩N2）同構(gòu)于（G／N1）×（G／N2）的一個(gè)子群，從而G／（N1∩N2）是p－超可解的；又N1∩N2＝1，故得G是p－超可解的，矛盾．因?yàn)閜－超可解群系是飽和群系，所以N1Φ（G），于是存在G 的極大子群L，使得G＝N1L，并且N1∩L＝1．令P∩L＝Pi′≤Pi＜·P，其中Pi′是L 的Sylowp－子群，那么N1Pi′為G 的Sylowp－子群．顯然N1PiHp′，因此（PiHp′）G＝1．令D2＝PiHp′，可知D2在G 中－可補(bǔ)，于是D2在G 中p－可補(bǔ)，即存在G 的子群C，使得G＝D2C，且K2C＜G，其中K2滿足｜D2∶K2｜＝p．不妨假設(shè)Pi′≤K2，否則Pi′＝Pi，于是｜N1｜＝p，因此由G／N1是p－超可解的可知G 是p－超可解的，矛盾．由引理1之4）可得｜G∶K2C｜＝p，所以G＝N1K2C 且N1∩K2CG，于是N1∩K2C＝1或N1≤K2C．若N1∩K2C＝1，則｜N1｜＝｜G∶K2C｜＝p，于是G 是p－超可解的，矛盾．若N1≤K2C，而Pi≤K2，則N1Pi′≤K2C，與｜G∶K2C｜＝p 矛盾．

［1］ 何鳴，張雪梅，繆龍．子群的π－可補(bǔ)性對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響［J］．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，8（1）：1－3．

［2］ SKIBA A N．On weakly s－permutable subgroups of finite groups［J］．J Algebra，2007，315（1）：192－209．

［3］ 郭秀云，崔雅瓊．半覆蓋遠(yuǎn)離性與有限群的結(jié)構(gòu)［J］．上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，14（3）：244－247．

［4］ MIAO Long，LEMPKEN W．On－supplemented subgroups of finite groups［J］．J Group Theory，2009，12（2）：271－287．

［5］ ASAAD M．Finite groups with certain subgroups of Sylow subgroups complemented［J］．J Algebra，2010，323（7）：1958－1965．

［6］ 湯菊萍，鮑宏偉．局部化的子群性質(zhì)對(duì)群構(gòu)造的影響［J］．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，14（2）：1－3，18．

［7］ MONAKHOV V S，SHNYPARKOV A V．On the p－supersolubility of a finite group with aπ－supplemented Sylowp－subgroup［J］．Siberian Math J，2009，50（4）：681－686．

［8］ MIAO Long，LEMPKEN W．On weakly－supplemented primary subgroups of finite groups［J］．Turk J Math，2010，34（4）：489－500．

［9］ 徐明曜．有限群導(dǎo)引：上冊(cè)［M］．北京：科學(xué)出版社，2007：67－173．

［10］ TANG Juping，MIAO Long．Onp－supplemented subgroups of finite groups［J］．Commun Algebra，2013，41（5）：1913－1922．