子群的幾乎M－可補性與p－冪零性

王克科，湯菊萍

（揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇 揚州225002）

本文涉及的群皆為有限群，所用術語和符號都是標準的［1－2］．

子群的局部化性質對有限群構造有重要影響，國內(nèi)外許多學者對此進行了深入探究．例如，1980年，Srinivasan［3］證明了有限群G 的Sylow 子群的極大子群在G 中正規(guī)，G 為超可解群；2005年，何鳴等［4］利用群G 的Sylowp－子群的極大和極小子群的π－可補性，給出了群G 為p－冪零群的一些條件；2008年，郭文彬［5］提出了F－可補子群的概念，得到有限群結構的新刻畫；2011年，湯菊萍等［6］分析了Sylow 子群P 的極大子群在NG（P）中的p－冪零補性對有限群構造的影響；最近，繆龍等提出了幾乎－可補子群的概念，對有限群特別是包含超可解群的飽和群系的結構進行了研究（Guo Jidong，Zhang Jia，Miao Long．On nearly－supplemented subgroups of finite groups．Ukrainian Mathematical Journal待發(fā)表）．在本文中，筆者將繼續(xù)以上工作，利用某些準素子群在其Sylow 正規(guī)化子中的幾乎－可補性對有限群的p－冪零性和超可解性作進一步考察．

1 預備知識

引理1設G 是有限群，P 是G 的Sylow p－子群，（｜G｜，p－1）＝1．G 是p－冪零的當且僅當P的任意極大子群在G 中或者有p－冪零補或者有幾乎－補．

引理2設F是包含所有超可解群的飽和群系，E 是G 的可解正規(guī)子群且使得G／E∈F．如果對于E 的每一個非循環(huán)Sylow 子群的任一極大子群在G 中或者有超可解補或者有幾乎－補，那么G∈F．

引理3［7］設G 是有限群．

3）設π是一個素數(shù)集，K 是G 的正規(guī)π′－子群，且H 是G 的π－子群，若H 在G 中幾乎－可補，則HK／K 在G／K 中幾乎－可補；

4）設R 是G 的可解極小正規(guī)子群，若存在R 的一個極大子群R1，使得R1在G 中幾乎－可補，則R 是素數(shù)階的．

引理4設G 是有限群且NG，P 是G 的一個Sylowp－子群，若P 的任意極大子群在NG（P）中幾乎－可補，且（p，｜N｜）＝1，則PN／N 的每一個極大子群在NG／N（PN／N）中幾乎－可補；進一步地，若N≤P，則P／N 的每一個極大子群在NG／N（P／N）中幾乎－可補．

證明 易證PN／N 為G／N 的Sylow p－子群．對于PN／N 的任一極大子群T／N，有｜（PN／N）∶（T／N）｜＝p；由于T＝T∩PN＝N（T∩P）＝NP1，故P1為P 的極大子群；由引理4假設P1在NG（P）中幾乎－可補，則存在KNG（P）使得P1KNG（P）且SK＜P1K，其中S 為P1的任意極大子群；易 知 存 在 正 規(guī) 子 群KN／NNG（P）N／N ＝NG／N（PN／N），使 得（P1N／N）（KN／N）NG（P）N／N ＝NG／N（PN／N）；又｜（P1KN／N）∶（SKN／N）｜＝｜（P1KN）∶（SKN）｜＝所以SKN／N＜P1KN／N，從而P1N／N 在NG（P）N／N 中幾乎－補．

引理5［8］設子群H 在G 中s－擬正規(guī)．

1）若K 是G 的一個子群，且H≤K，則H 在K 中s－擬正規(guī)；

2）若N 是G 的一個正規(guī)子群，則HN／N 在G／N 中s－擬正規(guī)．

引理6［9］設P 是群G 的s－擬正規(guī)p－子群，其中p∈π（G），則Op（G）≤NG（P）．

引理7［10］設G 是可解群且Φ（G）＝1，則F（G）是G 中極小正規(guī)子群的直積．

2 主要結果

定理1設G 是有限群，p 是｜G｜的素因子且（｜G｜，p－1）＝1．如果存在G 的一個Sylowp－子群P，使得P 的任意極大子群在NG（P）中幾乎－可補，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G 是p－冪零的．

證明 現(xiàn)對｜G｜作歸納假設．

首先，如果Op′（G）≠1，考慮商群G／Op′（G）．顯然POp′（G）／Op′（G）是G／Op′（G）的Sylow p－子群，由引理4可知G／Op′（G）的極大子群P1Op′（G）／Op′（G）在NG／Op′（G）（POp′（G）／Op′（G））中幾乎－可補；又由（POp′（G）／Op′（G））′＝P′Op′（G）／Op′（G）及引理5之2）可知（POp′（G）／Op′（G））′在G／Op′（G）中s－擬正規(guī)；由歸納假設得G／Op′（G）是p－冪零的，進而得到G 是p－冪零的．

其次，如果Op′（G）＝1．

情形1：Op（G）＝1．對任意的Q∈Sylq（NG（P）），其中q≠p，有PQ≤NG（P）．如果PQ＝G，那么NG（P）＝G．由引理1得知G 是p－冪零的；如果PQ≠G，那么NG（P）＜G；又因P≤NG（P）＜G 且NNG（P）（P）＝NG（P）∩NG（P）≤NG（P），故由引理3之1）及引理5之1）可知P 的任意極大子群在NNG（P）（P）中幾乎－可補，并且P′在NG（P）中s－擬正規(guī)，從而由歸納假設知NG（P）是p－冪零的，進而PQ 也是p－冪零的；又由于PNG（P），故PQ＝P×Q，即Q≤CG（P）．此時，若P′＝1，則可由Burnside定理知G 是p－冪零的；若P′≠1，則由P′在G 中s－擬正規(guī)及引理6知Op（G）≤NG（P′），再由P≤NG（P′）可知G＝POp（G）≤NG（P′），進而得到P′G 且P′≤Op（G），即Op（G）≠1，矛盾．

情形2：Op（G）≠1．設N 是G 的任一極小正規(guī)子群，由上述可知N≤Op（G），根據(jù)引理4，P／N的極大子群P1／N 在NG／N（P／N）中幾乎－可補，又由引理5之2）知（P／N）′＝P′N／N 在G／N 中s－擬正規(guī)，從而G／N 滿足定理假設，進而由歸納假設可知G／N 是p－冪零的．此時，若N 不唯一，則由p－冪零群類的飽和性得G 是p－冪零的；若N 唯一，即N 是G 的唯一極小正規(guī)子群，且Φ（G）≠1，那么G 是p－冪零的；如果Φ（G）＝1，則由上述及引理7知Op（G）＝F（G）＝N；因為1≠P′≤Op（G），故由Op（G）的極小正規(guī)性可得P′＝Op（G），進而由上述及Op（G）G 知Op（G）＝P′≤Φ（P），最后根據(jù)引理2可知Op（G）≤Φ（G）＝1，矛盾．

定理2設G 是有限群，p 是｜G｜的素因子且（｜G｜，p－1）＝1，HG 且G／H 是p－冪零的．如果存在H 的一個Sylowp－子群P，使得P 的每個極大子群在NG（P）中幾乎－可補，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G 是p－冪零的．

證明 現(xiàn)對｜G｜作歸納假設．根據(jù)引理3之1）以及假設可知P 的每一個極大子群在NH（P）中幾乎－可補，并且由引理5知P′在H 中s－擬正規(guī)，進而由定理1知H 是p－冪零的．設T 為H 的正規(guī)p－補，即H＝Hp［T］，由Tchar HG 知TG．

如果T≠1，考慮商群H／T．易證G／T 的正規(guī)子群H／T 滿足定理假設，又因為（G／T）／（H／T）?G／H，所以由歸納假設得知G／T 是p－冪零的，從而G 是p－冪零的．

如果T＝1，那么H＝Hp＝P 是G 的p－子群．若（G／P）p＝1，則PG，從而NG（P）＝G．由引理1可知G 是p－冪零的．若（G／P）p≠1，因為G／P 是p－冪零的，所以G／P 有正規(guī)p－補，不妨設為R／P，即G／P＝（G／P）p［R／P］．由NR（P）＝NG（P）∩R≤NG（P）及引理3之1）知，P 的每一個極大子群在NR（P）中幾乎－可補，又由引理5之1）知P′在R 中s－擬正規(guī)，因此由定理1知R 是p－冪零的．設S 為R 的一個正規(guī)p－補，顯然S 也為G 的正規(guī)p－補，從而G 是p－冪零的．

定理3設G 是有限群，對于｜G｜的任意素因子p，如果存在G 的一個Sylow p－子群P，使得P的每個極大子群在NG（P）中幾乎－可補，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G是超可解的．

證明 假設G 是極小階反例．由定理1可知G 具有超可解型的Sylow 塔，從而G 是可解的．假設N 是G 的極小正規(guī)子群，則由引理3之2）和引理5之2）知G／N 滿足定理假設．又因（PN／N）′＝P′N／N 在G／N 中s－擬正規(guī)，故由G 的極小性知G／N 是超可解的．由于超可解群類是飽和群系，故N 是G 的唯一極小正規(guī)子群且Φ（G）＝1．設q 為｜G｜的最大素因子且Q 為G 的Sylowq－子群，即QG，易知N≤Q．因為Φ（G）＝1，所以Q 是G 的包含于Q 的極小正規(guī)子群的直積，即N＝Q．由引理3之4）知｜N｜＝q，從而G 是超可解的，矛盾．綜上可得G 是超可解的．

定理4設G 是有限群，F(xiàn)是包含所有超可解群的飽和群系，EG 且G／E∈F．如果對｜G｜的任意素因子p 都有E 的每一個Sylowp－子群P，使得P 的每一個極大子群在NG（P）中幾乎－可補，并且P′在G 中s－擬正規(guī)，其中P′是P 的換位子群，那么G∈F．

證明 現(xiàn)對｜G｜作歸納假設．顯然E 滿足定理3的假設，所以E 是超可解的．設p 是｜E｜的最大素因子，P 是E 的Sylow p－子群，那么PE，從而PG．此時考慮商群G／P，因為（G／P）／（E／P）?G／E，所以（G／P）／（E／P）∈F，從而G／P 滿足定理的假設，故由歸納假設知G／P∈F．由于P 的每個極大子群在NG（P）＝G 中幾乎－可補，因此由引理2可知G∈F．

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