一元非線性回歸方程系數(shù)的通解

□ 別必鑫魏世麗

（1.武漢市洪山區(qū)房管局測(cè)繪隊(duì)，湖北武漢430070；

2.太原理工大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)系，山西太原030024）

一元非線性回歸方程系數(shù)的通解

□ 別必鑫1魏世麗2

（1.武漢市洪山區(qū)房管局測(cè)繪隊(duì)，湖北武漢430070；

2.太原理工大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)系，山西太原030024）

一元非線性回歸是一種應(yīng)用很廣泛的統(tǒng)計(jì)分析方法，其基本處理方法是通過數(shù)學(xué)變換，以直接觀測(cè)值的函數(shù)作為因變量，將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型，然后用最小二乘法（LS法）計(jì)算回歸系數(shù)。本文討論了一元非線性回歸模型的通解，并以九種相對(duì)常見的一元非線性模型為例，給出了它們回歸系數(shù)解的具體表達(dá)式。

一元非線性回歸；回歸系數(shù)；通解

0.引言

回歸分析作為一種最基礎(chǔ)、最重要的統(tǒng)計(jì)分析方法,在眾多學(xué)科領(lǐng)域包括測(cè)繪[1]領(lǐng)域得到了重要而廣泛的應(yīng)用。在建立實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃屠碚撃Ｐ偷臋z驗(yàn)系統(tǒng)中，回歸分析起著不可或缺的作用。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析包括進(jìn)行建模和分析幾個(gè)變量的任何技術(shù)，其焦點(diǎn)在于一個(gè)因變量和一個(gè)或多個(gè)自變量之間的關(guān)系。根據(jù)自變量和因變量之間的關(guān)系類型，回歸分析可以分為線性回歸模型和非線性回歸模型[2]。在實(shí)踐中，一些簡(jiǎn)單實(shí)用的非線性模型應(yīng)用很廣泛[3-4]。相對(duì)常見的非線性模型包括指數(shù)模型、冪指數(shù)模型、正態(tài)分布模型、增長(zhǎng)模型和雙曲線模型等。一元非線性回歸的常用處理方法是通過數(shù)學(xué)變換，以直接觀測(cè)值的函數(shù)作為因變量，將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型，然后用最小二乘法（LS法）計(jì)算回歸系數(shù)[5-6]。本文探討了一元非線性回歸方程系數(shù)的通解，并以指數(shù)函數(shù)等九種相對(duì)常見的一元非線性回歸方程為例，給出了它們回歸系數(shù)解的具體表達(dá)式。

1.一元線性回歸方程的通解

設(shè)線性回歸方程的一般形式

數(shù)學(xué)模型是

由最小二乘法得線性回歸的法方程

式（4）和式（5）是線性回歸方程式（1）的回歸系數(shù)解的一般形式。根據(jù)線性回歸方程的一般形式，可直接寫出不同回歸模型的一元線性回歸和可轉(zhuǎn)換成一元線性回歸的非線性回歸的解。

2．常用一元非線性回歸方程的解

一元非線性回歸模型線性化處理的基本方法是通過數(shù)學(xué)變換，以直接觀測(cè)值的函數(shù)作為因變量，所得到的改正數(shù)是觀測(cè)值函數(shù)的改正數(shù)。這也是將一元非線性回歸轉(zhuǎn)換成一元線性回歸的一種常用方法。幾個(gè)相對(duì)常見的非線性回歸模型如下：

2.1 指數(shù)函數(shù)

數(shù)學(xué)模型為

2.2 冪函數(shù)

數(shù)學(xué)模型為

2.3 正態(tài)分布函數(shù)

數(shù)學(xué)模型為

2.4 生長(zhǎng)函數(shù)（邏輯函數(shù)）

數(shù)學(xué)模型為

數(shù)學(xué)模型為

2.6 生長(zhǎng)曲線函數(shù)

回歸方程為

數(shù)學(xué)模型為

2.7 復(fù)合曲線函數(shù)

數(shù)學(xué)模型為

2.8 S形曲線函數(shù)

數(shù)學(xué)模型為

比較式（20）和式（2），用1

2.9 Logistic曲線函數(shù)

數(shù)學(xué)模型為

3.結(jié)論

回歸分析分為線性回歸和非線性回歸兩種不同的模型。在實(shí)踐中，一些簡(jiǎn)單實(shí)用的非線性回歸模型應(yīng)用很廣泛。一元非線性回歸的基本處理方法是通過數(shù)學(xué)變換，以直接觀測(cè)值的函數(shù)作為因變量，將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型，然后用最小二乘法（LS法）計(jì)算回歸系數(shù)。本文探討了一元非線性回歸方程系數(shù)的通解，并以指數(shù)函數(shù)等九種相對(duì)常見的一元非線性回歸方程為例，給出了它們回歸系數(shù)解的具體表達(dá)式，為非線性回歸分析在測(cè)繪等領(lǐng)域方面的應(yīng)用提供了參考依據(jù)。需注意的是，并非所有的非線性模型都可轉(zhuǎn)化為線性模型，對(duì)于無法直接線性化的非線性回歸模型的處 理，今后仍需進(jìn)一步探討。

【1】郝剛,于啟升.穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法在老采空區(qū)沉降數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代礦業(yè),2010,2（2）:76-78.

【2】謝宇,回歸分析[M].北京:社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社,2010.

【3】Lemonte,A.Local power of some tests in exponential family nonlinear models[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2011,141:1981-1989.

【4】Primeau,F.On the variability of the exponent in the power law depth dependence of POC flux estimated from sediment traps[J].Deep Sea Research Part I,2006,53:1335-1343.

【5】韓兆洲,汪建華.線性化最小二乘法的理論分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2009,（10）:29-30.

【6】Cizek,P.Least trimmed squares in nonlinear regression under dependence[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2006,136:3967-3988.

O241.7

A

2095-7319（2014）06-0055-05

別必鑫（1963—），男，高級(jí)工程師，武漢市洪山區(qū)房管局測(cè)繪隊(duì)，畢業(yè)于武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，主要從事工程測(cè)量工作和房產(chǎn)測(cè)繪工作。