航行器水中運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型及數(shù)值仿真

齊 強(qiáng)，陳志剛，周 源

(1.海軍航空工程學(xué)院飛行器工程系，山東煙臺(tái) 264001;2.海軍航空工程學(xué)院戰(zhàn)略工程導(dǎo)彈系，山東煙臺(tái) 264001）

航行器水中運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型及數(shù)值仿真

齊 強(qiáng)1，陳志剛1，周 源2

(1.海軍航空工程學(xué)院飛行器工程系，山東煙臺(tái) 264001;2.海軍航空工程學(xué)院戰(zhàn)略工程導(dǎo)彈系，山東煙臺(tái) 264001）

根據(jù)水下垂直發(fā)射航行器水中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和繞質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，推導(dǎo)建立航行器水中運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型。采用Matlab軟件中的ODE解算器，對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值仿真，得到航行器水中運(yùn)動(dòng)的速度和姿態(tài)角。

水下垂直發(fā)射;數(shù)學(xué)模型;ODE解算器;數(shù)值仿真

0 引言

水下垂直發(fā)射的航行器，從發(fā)射筒中被彈射出去之后，要經(jīng)過水下航行器所特有的水中彈道。雖然航行器在水中的行程很短，只占全彈道很小的一部分，但由于水中力學(xué)環(huán)境復(fù)雜，它的設(shè)計(jì)和研究在水中航行器研制過程中占有很重要的地位。水中彈道設(shè)計(jì)計(jì)算的準(zhǔn)確性直接影響到整個(gè)航行器系統(tǒng)的性能［1－2］。

無控航行器可以近似地看作自由剛體，在水中做六自由度運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)［3］。在不考慮發(fā)射海情的條件下，對(duì)水中運(yùn)動(dòng)的航行器進(jìn)行受力分析，并通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，建立航行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，確定航行器的6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，從而確定航行器在空間的任一瞬時(shí)的位置和姿態(tài)。

1 坐標(biāo)系的建立

根據(jù)航行器水中運(yùn)動(dòng)模型的需要，文中建立發(fā)射坐標(biāo)系、彈體坐標(biāo)系和速度坐標(biāo)系3個(gè)右手坐標(biāo)系 (見圖1）。

發(fā)射坐標(biāo)系原點(diǎn)o位于脫離發(fā)射筒時(shí)航行器浮心對(duì)應(yīng)的位置，ox軸指向發(fā)射方向，oy軸鉛垂向上。

彈體坐標(biāo)系原點(diǎn)o1位于航行器浮心，o1x1軸與航行器縱軸重合指向航行器頭部，o1y1軸居于縱對(duì)稱面，指向上方。

速度坐標(biāo)系原點(diǎn)o1位于航行器浮心，o1xv軸始終與航行器的速度矢量方向重合，o1yv軸在航行器的縱對(duì)稱面，指向上方。

設(shè)發(fā)射坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為Az-z1，且

圖1 坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Diagram of coordinate system

2 航行器水中運(yùn)動(dòng)的受力分析

2.1 作用在航行器上的力和力矩

1）流體動(dòng)力和流體動(dòng)力矩

航行器在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到流體動(dòng)力和流體動(dòng)力矩的作用，流體動(dòng)力和流體動(dòng)力矩的大小取決于流體介質(zhì)的性質(zhì)、航行器外形以及航行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)［4－5］。將流體動(dòng)力和流體動(dòng)力矩分解到彈體坐標(biāo)系，有:

式中:Cx1，Cy1和Cz1為流體動(dòng)力因數(shù);mx1，my1和mz1為流體動(dòng)力矩因數(shù);q為流體動(dòng)壓力;S為航行器的最大橫截面積;L為航行器的長(zhǎng)度。

2）重力

航行器所受到的重力為

其中m為航行器的質(zhì)量。

重力鉛垂向下，沿著發(fā)射坐標(biāo)系oy軸負(fù)向，其在彈體坐標(biāo)系中的3個(gè)分量為

航行器的浮心和重心不重合。設(shè)航行器重心在航行器的縱對(duì)稱軸上，且與航行器浮心之間的距離為lB，則航行器的重力矩MG在彈體坐標(biāo)系中的分量為

3）浮力

航行器在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的浮力大小為

式中:ρ為海水密度;V為航行器體積。

浮力是鉛垂向上的力，方向沿發(fā)射坐標(biāo)系oy軸，在彈體坐標(biāo)系中的分量為

2.2 航行器的附加慣性質(zhì)量

航行器所受的流體慣性力和慣性力矩根據(jù)理想流體慣性力計(jì)算，表現(xiàn)為航行器運(yùn)動(dòng)的附加質(zhì)量和附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［4，6］。在選定坐標(biāo)系后，航行器的附加質(zhì)量?jī)H與導(dǎo)彈的外形有關(guān)。在彈體坐標(biāo)系中，航行器的附加質(zhì)量矩陣為

3 航行器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

1）航行器的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

以發(fā)射坐標(biāo)系作為慣性參考系，在慣性參考系內(nèi)，假設(shè)航行器質(zhì)心的坐標(biāo)為(x，y，z），那么航行器在發(fā)射坐標(biāo)系中的速度為(˙x，˙y，˙z）。

設(shè)航行器的速度在彈體坐標(biāo)系中的投影為(vx1，vy1，vz1），根據(jù)彈體坐標(biāo)系到發(fā)射坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到

2）航行器繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)

設(shè)航行器的姿態(tài)角 (歐拉角）在發(fā)射坐標(biāo)系中的分量分別為俯仰角θ、偏航角φ和滾轉(zhuǎn)角γ，那么航行器的歐拉角角速度為(˙θ，˙φ，˙γ）。

設(shè)航行器的角速度ω在彈體坐標(biāo)系中的投影為(ωx1，ωy1，ωz1），根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，有

3.2 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理，航行器的動(dòng)力學(xué)方程［3，5，7 －8］為

式中:I和I'分別為航行體和航行體周圍流體的動(dòng)量矢量;L和L'分別為航行體和航行體周圍流體的動(dòng)量矩矢量;ω為航行體的角速度矢量;v為航行體的速度矢量;F為航行體所受到的外力矢量之和;M為航行體所受到的外力矩矢量之和。

將式(3）～式(8）代入式(12）可以得到航行器水中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組(13）和(14）。

4 算例

對(duì)于航行器水中運(yùn)動(dòng)模型，采用4階5級(jí)Runge-Kutta法［9］進(jìn)行數(shù)值求解，可以保證數(shù)值解的高精度和穩(wěn)定性。由于Matlab軟件中的ODE解算器可以快速精確地計(jì)算常微分方程組，所以本文在Matlab環(huán)境中對(duì)航行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行求解。

計(jì)算中取航行器的質(zhì)量m=40 t，直徑D=2 m，長(zhǎng)度L=12 m，發(fā)射深度H=28 m。

航行器水中運(yùn)動(dòng)的速度和姿態(tài)角的仿真曲線如圖2～圖5所示。

圖2 速度－時(shí)間曲線Fig.2 Velocity-time curve

圖3 姿態(tài)角－時(shí)間曲線Fig.3 Angle of attitude-time curve

圖4 角速度－時(shí)間曲線Fig.4 Angular velocity-time curve

圖5 航行器質(zhì)心空間位置曲線Fig.5 Diagram of centroid

航行器從離開發(fā)射筒到頭部出水之間的時(shí)間為0.64 s。航行器在頭部出水之前的速度為18.792m/s，俯仰角為85.425 7°。

航行器從發(fā)射筒中垂直發(fā)射出去之后，受到水動(dòng)力的作用，航行器的速度、角速度和姿態(tài)角發(fā)生，特別是航行器的軸向速度和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)急劇的變化。航行器的水中運(yùn)動(dòng)是加速度逐漸減小的減速過程。航行器運(yùn)動(dòng)速度大時(shí)加速度大，速度減小時(shí)加速度減小。

5 結(jié)語

本文建立的動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以很好地體現(xiàn)航行器的水中運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所采用的數(shù)值計(jì)算方法快速準(zhǔn)確地計(jì)算出了航行器的水中彈道，為航行器發(fā)射內(nèi)彈道和出水彈道計(jì)算提供理論參考。

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Mathematicalmodel and simulation for underwater motion of vehicle

QIQiang1，CHEN Zhi-gang1，ZHOU Yuan2
(1.Naval Aeronautical Engineering Institute，Department of Airborne Vehicle Engineering，Yantai264001，China;2.Naval Aeronautical Engineering Institute，Department of Strategic Missile Engineering，Yantai264001，China）

Based on features of vertical launching underwater，the kinematics model and dynamics model for underwater motion of vehicle were established by the theorem of centroid movement and the moment theorem.Themathematicalmodelwas simulated numericallywith the ODE solver ofMatlab.And the resultwas the velocity and attitude angle of vehicle in the underwatermotion.

vertical launching underwater;mathematicalmodel;ODE solver;numerical simulation

TJ02

A

1672－7649(2014）05－0080－04

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.016

2013－04－09;

2013－05－06

齊強(qiáng)(1965－），男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榘l(fā)射工程。