試題中數(shù)學(xué)文化的考查舉例
——以2013年福建省高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢卷為例

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(泉州市第五中學(xué) 福建泉州 362000)

試題中數(shù)學(xué)文化的考查舉例
——以2013年福建省高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢卷為例

●楊蒼洲

(泉州市第五中學(xué) 福建泉州 362000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程基本理念”中指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求.”時(shí)至今日，課程改革正往縱深的方向推進(jìn)，走至深處，“文化”才是課程的核心.因此，如何在試題中對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行考查，以發(fā)揮考試指揮棒的作用是命題工作者應(yīng)該思考的重要問題.

湖北省的高考命題在對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查方面作出了很大的努力,如：2009年湖北省文、理科的第10題均以“古希臘人研究的三角形數(shù)、正方形數(shù)”為背景，理科第15題以“角谷猜想”為背景；2011年湖北省文科第9題、理科第13題以《九章算術(shù)》的“竹九節(jié)問題”為背景，理科第15題以“斐波那契數(shù)列”為背景；2012年湖北省文科第17題以“古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的三角形數(shù)”為背景，理科第10題以《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”為背景，理科第13題以“回文數(shù)”為背景.

上述大部分試題是以數(shù)學(xué)史為背景進(jìn)行命制的.那么，考查數(shù)學(xué)文化的試題是否也只能以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)故事為背景進(jìn)行命制呢？數(shù)學(xué)文化是否等同于數(shù)學(xué)史呢？回答是否定的！數(shù)學(xué)文化并不只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)故事、趣味數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)文化等同于數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)是淺薄的、狹隘的.隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)生、發(fā)展，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、傳播而積蓄下的數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)思想觀念及數(shù)學(xué)精神品格等，這些都屬于數(shù)學(xué)文化.文獻(xiàn)[2]把數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵概括為：(1)數(shù)學(xué)的歷史；(2)數(shù)學(xué)的思想；(3)數(shù)學(xué)的精神；(4)數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián).下面筆者從這4個(gè)角度對(duì)2013年福建省高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢卷的個(gè)別試題進(jìn)行剖析，談?wù)勅绾卧谠囶}命制中滲透數(shù)學(xué)文化的考查.

1 滲透數(shù)學(xué)歷史的考查——在故事中得到啟迪

數(shù)學(xué)的歷史是數(shù)學(xué)文化的一部分，這是無可爭(zhēng)議的.在數(shù)學(xué)史中尋找命題背景也一直被命題者所推崇.如果說近幾年湖北省的試題隱含著對(duì)數(shù)學(xué)歷史的考查，那么下述試題對(duì)數(shù)學(xué)歷史的考查則更是深藏不露.

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A．5nB．10n

C．5(n+1) D．10(n+1)

例1以平面向量的運(yùn)算為載體，考查平面向量的加法運(yùn)算、平面向量的模長(zhǎng)、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.本題貌似與“數(shù)學(xué)歷史”毫無關(guān)聯(lián)，實(shí)則不然，問題速解的思路當(dāng)來源于我們耳熟能詳?shù)摹案咚沟墓适隆?，即高斯利用“倒序求和”的方法?jì)算“1+2+…+100”.考生若能對(duì)“倒序求和”的方法進(jìn)行遷移應(yīng)用就能實(shí)現(xiàn)對(duì)本題的巧解.這種數(shù)學(xué)史的隱性考查，對(duì)考生的應(yīng)用遷移能力提出了較高的要求.

2 滲透數(shù)學(xué)思想的考查——在過程中感受思想

過程比結(jié)果更重要.若干年后，大部分學(xué)生將不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，當(dāng)這部分學(xué)生不再進(jìn)行繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)能為他們留下的只有“思想”了，因此，數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.下述試題將為我們展示如何對(duì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查.

例2如圖1，A1,A2,…,Am-1(m≥2)為區(qū)間[0,1]上的m等分點(diǎn)，直線x=0，x=1，y=0和曲線y=ex所圍成的區(qū)域?yàn)棣?，圖中m個(gè)矩形構(gòu)成的陰影區(qū)域?yàn)棣?，在Ω1中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自Ω2的概率為______．

例2以“定積分概念形成過程所蘊(yùn)含的思想——以直代曲”為載體，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式、定積分的概念、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想.張奠宙教授在文獻(xiàn)[3]中談?wù)摿烁咧形目粕鷮W(xué)習(xí)微積分的意義：“微積分在他們的腦海里，已經(jīng)跨越初等數(shù)學(xué)靜態(tài)的、孤立的思維模式，能用局部與整體的哲學(xué)思維動(dòng)態(tài)地進(jìn)行思考，理解微積分對(duì)人類的偉大貢獻(xiàn).這種思考能力，正是現(xiàn)代公民所需要的一種數(shù)學(xué)文化素質(zhì).”本題努力將高中數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)向于關(guān)注過程、感受思想.

3 滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查——在生活中實(shí)踐應(yīng)用

人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材主編劉紹學(xué)先生在主編寄語(yǔ)中說：“數(shù)學(xué)是有用的、數(shù)學(xué)是自然的.”如何應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義所在.因此，學(xué)以致用是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)文化的又一重要組成部分.

圖2

(1)求此時(shí)該外國(guó)船只與島D的距離.

(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，此外國(guó)船只正以每小時(shí)4海里的速度沿正南方向航行.為了將該船攔截在離島D的12海里處，不讓其進(jìn)入島D的12海里內(nèi)海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值(參考數(shù)據(jù)：sin36°52′≈0.6,sin53°08′≈0.8).

例3以“海監(jiān)船維權(quán)巡航”為背景，考查余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”是課標(biāo)課程的理念之一，同時(shí)，課標(biāo)提出應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.因此，應(yīng)用題是考查數(shù)學(xué)文化的一傳統(tǒng)陣地.

4 滲透數(shù)學(xué)精神的考查——在理性中得以確認(rèn)

克萊因把數(shù)學(xué)看成是“一種精神，一種理性精神”，齊民友先生則進(jìn)一步認(rèn)為數(shù)學(xué)精神集中地體現(xiàn)為“徹底的理性探索精神”.當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)往往只是關(guān)注數(shù)學(xué)在知識(shí)層面上的應(yīng)用，而忽視數(shù)學(xué)精神的教育功能.對(duì)數(shù)學(xué)文化中的理性精神，齊民友先生作出了精辟的論述：“每個(gè)論點(diǎn)都必須有根據(jù)，都必須持之以理，除了邏輯要求和實(shí)踐檢驗(yàn)外，無論是幾千年的習(xí)俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令，還是流行的風(fēng)尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的.”

(1)求橢圓E的方程.

(2)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點(diǎn)，直線A1P,A2P分別交直線l：x=t(t為常數(shù))于2個(gè)不同的點(diǎn)M,N，點(diǎn)Q在直線l上.若直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出命題的真假，并加以證明.

(3)試研究第(2)小題的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖4中作出與該雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)S的直線m，并寫出作圖步驟(注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行).

圖3 圖4

例4主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．“直觀感知、演繹證明、操作確認(rèn)”是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的不同階段，在第(3)小題中，學(xué)生首先要能夠從橢圓到雙曲線進(jìn)行正確的類比遷移，從而得到“直觀感知”.理性精神是堅(jiān)持以理性或以理性為基礎(chǔ)的思維方法作為判斷真假、是非的標(biāo)準(zhǔn).因此，考生必須研究第(2)小題的結(jié)論及其證明過程，同時(shí)進(jìn)行類比推理，雖然這里不需表達(dá)出證明的過程，但是考生需要“演繹證明”該心理過程，最后通過動(dòng)手作圖實(shí)現(xiàn)“操作確認(rèn)”，這是一個(gè)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程.因此，通過本題將引導(dǎo)我們重新審視數(shù)學(xué)精神的教育價(jià)值.

5 與其他關(guān)聯(lián)知識(shí)的考查——在交匯中拓寬視野

《考試大綱》明確提出“從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度”的考查要求.知識(shí)的交匯大致可以分為學(xué)科內(nèi)的知識(shí)交匯和跨學(xué)科的知識(shí)交匯，學(xué)科內(nèi)的知識(shí)交匯能高效地檢測(cè)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，跨學(xué)科的知識(shí)交匯能有效而全面地檢測(cè)考生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，在交匯點(diǎn)處設(shè)置試題，特別地，在“數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)”處進(jìn)行交匯，是考查數(shù)學(xué)文化的一種有效手段.

圖5

例5如圖5，某學(xué)生用“幾何畫板”研究拋物線的性質(zhì)：打開幾何畫板軟件，繪制拋物線E:y2=2px，在拋物線上任意畫一個(gè)點(diǎn)S，度量點(diǎn)S的坐標(biāo)為(xs,ys)．

(1)拖動(dòng)點(diǎn)S，發(fā)現(xiàn)當(dāng)xS=4時(shí)，yS=4，試求拋物線E的方程.

(2)設(shè)拋物線E的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，構(gòu)造直線SF交拋物線E于2個(gè)不同的點(diǎn)S,T，構(gòu)造直線AS,AT分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,N，構(gòu)造直線MT,NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)S，恒有MT∥NS.請(qǐng)你證明這一結(jié)論．

(3)為進(jìn)一步研究該拋物線E的性質(zhì)，某學(xué)生進(jìn)行了下面的嘗試：在第(2)小題中，把“焦點(diǎn)F”改變?yōu)槠渌岸c(diǎn)G(g,0)(g≠0)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“MT與NS不再平行”．是否可以適當(dāng)更改第(2)小題中的其他條件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

例5以“運(yùn)用幾何畫板探究拋物線性質(zhì)”為載體，主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等．體現(xiàn)了在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題的指導(dǎo)思想，同時(shí)也倡導(dǎo)“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合”的課程理念.

6 結(jié)束語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于課程目標(biāo)的具體目標(biāo)之一：“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀.”

誠(chéng)然，數(shù)學(xué)的推理方法、研究方法、思維方式、理性精神等這些都將使一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者終身受益.數(shù)學(xué)文化滲透于教學(xué)過程已成為數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，因此，如何將數(shù)學(xué)文化自然地滲透于數(shù)學(xué)試題，將是一個(gè)重要的課題.

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社,2003:2-3.

[2] 趙東霞，汪曉勤.關(guān)于數(shù)學(xué)文化教育價(jià)值與運(yùn)用現(xiàn)狀的網(wǎng)上調(diào)查[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013(3)：41-44.

[3] 張奠宙.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的回顧與展望[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013(3)：1-3.