復雜高層結構隨機地震反應中阻尼模型的影響分析＊

楊永勝，陳清軍?

（1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092；2.同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092）

復雜高層結構隨機地震反應中阻尼模型的影響分析＊

楊永勝1，2，陳清軍1，2?

（1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092；2.同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092）

扼要比較了Rayleigh阻尼和Caughey阻尼兩種阻尼模型，利用ANSYS軟件中的APDL編程語言進行二次開發(fā)，將Caughey阻尼模型應用到復雜高層建筑結構的隨機地震反應分析中；以某實際復雜高層建筑為例，采用現(xiàn)場測試和數(shù)值模擬相結合的方法，分析了不同阻尼模型對復雜高層結構隨機地震反應計算結果的影響，討論了Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型的適用范圍.結果表明，Rayleigh阻尼模型的曲線形狀與所選取的控制頻率相關，兩控制頻率間的計算阻尼比小于實測結果，兩控制頻率以外部分的計算阻尼比則大于實測阻尼比；Caughey阻尼模型能在較大頻率范圍內較準確地反映結構的阻尼特性.

阻尼；抗震設計；隨機地震反應；ANSYS二次開發(fā)；振動測試

近年來，國內外相繼興建了許多復雜高層及超高層建筑，這些特殊的高層及超高層建筑結構的組成成分、耗能機理和振動特性都比較復雜，其阻尼矩陣的形成也有其特殊性［1］.目前，在高層建筑地震反應分析中往往采用Rayleigh阻尼模型來構建阻尼矩陣，對于一般結構，往往選取結構的第1和第2階振型參數(shù)來形成Rayleigh阻尼矩陣.但對于復雜高層及超高層結構而言，高階振型對結構地震反應的影響將不容忽視，而且對于復雜高層結構的某些構件，在地震反應分析中起控制作用的可能不再是低階振型，因此如果采用只考慮2個低階振型的Rayleigh阻尼模型，將會導致結構的地震反應分析結果產生較大的偏差［2］.

本文將首先扼要比較Rayleigh阻尼和Caughey阻尼2種阻尼模型，利用ANSYS軟件中的APDL編程語言進行二次開發(fā)，以將Caughey阻尼模型應用到復雜高層建筑結構的隨機地震反應分析中，并以某實際復雜高層建筑為例，采用現(xiàn)場測試和數(shù)值模擬相結合的方法，分析不同阻尼模型對復雜高層結構隨機地震反應計算結果的影響.

1 兩種阻尼模型比較

在結構動力分析中，一般假定阻尼力的大小與質點振動的速度成正比，即采用黏滯阻尼模型［3－4］.為了應用振型疊加法，一般假定振型關于阻尼矩陣C正交.目前，多自由度體系的阻尼矩陣主要有Rayleigh阻尼和Caughey阻尼2種模型.

Rayleigh阻尼模型作為目前應用最為廣泛的阻尼模型，該模型假定結構的阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合，通常稱為比例阻尼：

式中：ωm，ωn，ξm，ξn分別為體系第m和n階振型的自振頻率及對應的振型阻尼比.振型阻尼比是結構體系耗能特性的宏觀描述，易于從實驗和實測試驗中獲取.當各階阻尼比相同時，即ξm＝ξn＝ξ，式（2）可簡化為：

對于一般工程結構而言，因為低階振型在結構的動力反應中起主導作用，通常取低階振型來確定比例系數(shù)a0和a1，其他各階振型的阻尼比可通過式（4）求解：

式中：ωj為第j階的自振頻率；ξj為相應于第j階的阻尼比.

Caughey阻尼又稱擴展的Rayleigh阻尼.若要求更多階振型的阻尼比滿足實測阻尼比，則必須構造更多項的線性組合，Caughey阻尼能較好地滿足這個要求.Caughey阻尼可寫成如下形式［3］：

式中：ab是Caughey阻尼模型中的比例系數(shù)，集合S包含n個任意整數(shù)值，n的大小和S的具體元素取決于阻尼比曲線擬合結果.根據(jù)黏滯阻尼假定，推導得出項b對于廣義阻尼值的貢獻為：

上式提供了根據(jù)指定振型數(shù)目、自振頻率和阻尼比計算系數(shù)ab的途徑：將已知的n個自振頻率以及實測的n階阻尼比代入該式，得到n階線性代數(shù)方程組，從中可以解得n個待定常數(shù)ab值；然后按式（5）形成阻尼矩陣，這樣使得參與計算的n階振型的阻尼比與實際量測結果吻合.理論上S可包含－∞到＋∞之間的任意整數(shù)值，但實踐上，S中元素值選擇越接近于零越好，這樣有助于保證數(shù)值計算的穩(wěn)定，當S＝｛0，l｝時，即為式（1）所示的 Rayleigh阻尼模型.本文利用ANSYS軟件中的APDL編程語言進行二次開發(fā)，從而借助ANSYS軟件將Caughey阻尼模型應用到復雜高層建筑結構的隨機地震反應分析中.

同時，利用振型關于阻尼矩陣正交的假定，亦可推導得出第n階振型的廣義阻尼為：

2 某高層建筑結構動力特性測試

本文采用同濟大學某復雜高層建筑為例，進行阻尼模型對復雜高層結構隨機地震反應結果的影響分析.該建筑上部結構為21層巨型鋼框架結構體系.框架的層高為4m，每邊9跨，跨度為5.4m，結構平面尺寸為48.6m×48.6m，主體結構采用鋼框架加外圍支撐的形式.主樓樓層中部樓板缺失，形成L型3平面，往上順時針旋轉，每3層旋轉90°，到頂層共旋轉6次.該建筑較多樓層的樓板開洞面積大于樓板面積的35%，有效樓板寬小于典型樓板寬度的40%；結構沿高度每隔3層設2m高設備層，豎向剛度突變，該建筑屬于典型的平面不規(guī)則和豎向剛度不規(guī)則的復雜高層結構.柱子采用鋼管混凝土柱，截面尺寸900mm×900mm，梁采用 H型鋼（700mm×300mm×24mm×13mm）（高度×寬度×腹板厚度×翼緣厚度），弦桿采用H型鋼（500 mm×200mm×16mm×10mm）（高度×寬度×腹板厚度×翼緣厚度），腹桿采用H型鋼（200mm×200mm×12mm×8mm）（高度×寬度×腹板厚度×翼緣厚度），支撐圓管（φ300mm×16mm），表1為結構主要構件的材料參數(shù).

表1 結構部件材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of structural parts

目前結構自振特性主要測試方法有穩(wěn)態(tài)正弦激振法、傳遞函數(shù)法、自由振動法和脈動測試法.其中脈動測試法是利用環(huán)境隨機振動作為結構物激振的振源來測定并分析結構物固有特性，是近年來隨著計算機技術及FFT理論的普及而發(fā)展起來的，現(xiàn)已被廣泛應用于建筑物的動力分析研究中.本文采用脈動測試法對該復雜高層結構進行了動力特性測試，所用儀器為美國凱尼公司生產的Basalt型數(shù)字振動測試儀.為了排除高頻背景噪聲的干擾，使得測試結果的低頻成分更真實，本次測試將儀器采樣頻率調整到50Hz.地脈動激勵可以看作為各態(tài)歷經的平穩(wěn)隨機過程，只要測試時間足夠長，可以用單個樣本函數(shù)上的時間平均來描述這個過程的所有樣本的平均特性.本次測試記錄時間設定為20min以上，本次測試的測點選擇在該高層結構21層樓梯間拐角處，其中某測試樣本的時程如圖1所示.

圖1 測試得到的某樣本時程Fig.1 A time history sample of the field test results

脈動激勵的頻譜通常情況下是比較平坦的，可以看成是有限帶寬的白噪聲，建筑結構振動信號的功率譜在自振頻率處會出現(xiàn)較大的峰值.將測試所得的信號求其自功率譜，通過峰值所在頻率點來識別結構的自振頻率.對各階自振頻率對應的阻尼比，可采用半功率法求取，由半功率點幅值H（ω）／確定半功率帶寬Δω，然后根據(jù)式（10）計算：

式中：ωk為第k階自振頻率；H（ωk）為k階自振頻率處的峰值.圖1所示測試樣本的功率譜曲線見圖2，表2給出了本次測試的結構自振頻率和阻尼比.

圖2 自功率譜曲線Fig.2 Auto-power spectrum curves

表2 結構自振頻率和阻尼比的測試結果Tab.2 Natural frequency and damping ratio of the field test

3 某復雜高層結構有限元模型及隨機地震動輸入

3.1 結構有限元模型的建立

為進行復雜高層結構的隨機地震反應分析，采用ANSYS軟件建立三維有限元模型［5］，其中梁、柱、斜撐和腹桿采用Beam188單元來模擬，樓板用Shell63單元來模擬，建立的某復雜高層建筑結構三維有限元模型如圖3所示.

由于地脈動激勵強度較弱，一般低階自振頻率和對應的阻尼比精度較高，與實際比較相符.本文采用東西方向和南北方向第一階自振頻率對應阻尼比的平均值作為該復雜高層結構的參考阻尼比，具體取值為3.3%.

數(shù)值模型的自振特性見表3，將前三階自振頻率與實測結果比較，第一階的相對誤差為2%，第二階的相對誤差為5.2%，第三階的相對誤差為7.4%，表明本次有限元模型具有較高精度.表中同時也給出了振型對應的振型參與系數(shù)和累積有效質量參與系數(shù).復雜高層結構進行抗震設計時，要求各振型累積參與質量之和不低于90%［6－7］，為了更精確地比較2種阻尼模型下復雜高層結構地震反應的不同以及考慮到高階振型對復雜高層結構地震反應的影響，本文取前150階振型參與計算，輸入激勵的頻率取0～20Hz.

圖3 結構三維有限元模型Fig.3 The three dimension finite element model

表3 結構自振特性表Tab.3 Natural vibration characteristics of the finite element model

3.2 隨機地震動輸入模型

本文采用杜修力于1998年提出的修正地表隨機地震動模型作為輸入激勵，其功率譜密度表達式為：［8］

式中：ωg和ξg分別為場地土的卓越頻率和阻尼比；ω0≈1.83為低頻拐角頻率；D＝1／28π為與震源有關的參數(shù).杜修力修正模型假定基巖地震動為有色譜，在大量實際地震記錄的統(tǒng)計基礎上，加入高通濾波器ω4／ （ω2＋）2和低通濾波器1／［1＋（Dω）2］，合理修正了高頻能量和低頻能量，與實際地震動特征比較相符.

4 兩種不同阻尼模型下的計算結果分析

4.1 Raleigh阻尼模型下的計算結果分析

首先，取結構實測的參考阻尼比3.3%作為各階振型阻尼比，根據(jù)振型疊加原理，利用隨機振動CQC（complete quadratic combination）法進行計算，其計算結果作為參考真實解.選取5組Rayleigh阻尼模型進行計算，第一組取結構1階、4階自振頻率作為控制頻率，記作R1；第二組取結構1階、10階自振頻率作為控制頻率，記作R2；第三組取結構1階、25階自振頻率作為控制頻率，記作R3；第四組取結構1階、40階自振頻率作為控制頻率，記作R4；最后一組取結構的1階、150階自振頻率作為控制頻率，記作R5.各組阻尼模型的擬合曲線見圖4，從圖中可看出，阻尼曲線的形狀主要與控制頻率點及兩控制頻率之間的間距有關：兩控制頻率之間的部分計算阻尼小于實際的結構阻尼，兩控制頻率以外的部分計算阻尼則大于實際的結構阻尼.所以，控制頻率的合理選取是計算結果準確與否的關鍵.

圖5 頂層位移功率譜密度Fig.5 Displacement power spectral density of roof response

分別計算各Raleigh阻尼模型工況下結構的隨機振動響應，選取結構頂層節(jié)點作為參考點，圖5為結構頂層的位移功率譜計算結果；分別在每層樓板處選取一個參考點，計算其隨機振動響應，然后根據(jù)隨機振動理論，通過計算各響應量的各階譜矩，來估算響應最大值的均值，圖6為樓層的位移極值包絡圖.

圖4 不同控制頻率下的Rayleigh阻尼模型Fig.4 Rayleigh damping model under different control frequencies

圖6 樓層位移極值包絡圖Fig.6 Maximum relative displacement response along structural height

從圖5和圖6可看出由結構1階、5階自振頻率為阻尼控制頻率（R2）的計算結果與真實解最為接近，由結構前兩階自振頻率為阻尼控制頻率（R1）的計算結果明顯偏小，說明其計算阻尼偏大，低估了結構的響應.其余3種情況（R3，R4，R5）的計算結果比真實值偏大，說明其計算阻尼比實際阻尼要小.

4.2 Caughey阻尼模型下的計算結果分析

由式（9）可知，當i＝2時，Caughey阻尼模型將與Raleigh阻尼模型相同，本文分別選取i＝5，7，9三種情況確定的Caughey阻尼模型進行計算.i＝5時，分別選取結構的第1，5，10，15，25階自振頻率作為控制頻率；i＝7時，分別選取結構的第1，5，10，15，25，40，60階自振頻率作為控制頻率；i＝9時，分別選取結構的第1，5，10，15，25，40，60，100，150階自振頻率作為控制頻率；各組阻尼模型的擬合曲線見圖7.

圖7 不同控制頻率下的Caughey阻尼模型Fig.7 Caughey damping model under different control frequencies

圖8為各組Caughey阻尼模型下結構頂層的位移功率譜計算結果，圖9為樓層位移極值包絡圖.從圖中可以看出9個基本頻率點控制的Caughey阻尼模型計算結果與參考真實值最為接近，隨著控制頻率點數(shù)的增加，計算結果越來越靠近真實值.由此可見，控制頻率點的數(shù)目及控制頻率選取的合理性是決定Caughey阻尼模型精確與否的關鍵.

圖8 頂層位移功率譜密度Fig.8 Displacement power spectral density of roof response

圖9 樓層位移極值包絡圖Fig.9 Maximum relative displacement response along structural height

對比圖5，圖6與圖8，圖9可知，采用Caughey阻尼模型的計算結果比采用Reyleigh阻尼模型的計算結果更接近真實解，Caughey阻尼在廣義上可以看作是對已知的阻尼比－頻率數(shù)據(jù)以冪函數(shù)為底的非線性擬合，能在較大頻域范圍內更準確地反映結構的阻尼特性.在進行隨機地震反應分析時，采用Caughey阻尼的計算結果更能反映實際情況.

5 結 語

本文以某實際復雜高層建筑為例，采用現(xiàn)場測試和數(shù)值模擬相結合的方法，分析了不同阻尼模型對復雜高層結構隨機地震反應計算結果的影響，討論了Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型的適用范圍.本文的分析表明：

1）Rayleigh阻尼模型的曲線形狀與所選取的控制頻率相關，兩控制頻率間的計算阻尼比小于實測結果，兩控制頻率以外部分的計算阻尼比則大于實測阻尼比；對于高階振型對地震反應貢獻較大的復雜高層建筑而言，選取前兩階振型作為Rayleigh阻尼的控制頻率會產生較大誤差.

2）Caughey阻尼模型在廣義上可以看作是對已知的阻尼比－頻率數(shù)據(jù)以冪函數(shù)為底的非線性擬合，能在較大頻域范圍內更準確地反映結構的阻尼特性.對于高階振型對地震反應貢獻較大的復雜高層建筑而言，在結構隨機地震反應分析中，采用Caughey阻尼模型可獲得更高精度的計算結果.

3）本文分析的2種阻尼模型（Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型）屬于比例阻尼范疇.對于多于1種材料組成的結構，由于不同材料在結構的不同部分提供的能量損失機制差別較大，將導致阻尼不是成比例的；對此，可將每一個明顯的結構組成部分都建立一個比例阻尼矩陣，然后將其直接集裝形成組合的體系矩陣加以處理.對于更一般的廣義比例阻尼及非比例阻尼問題則需要進一步研究.

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Influence of the Damping Model of Complex High-rise Building Structure on Its Random Seismic Response

YANG Yong-sheng1，2，CHEN Qing－jun1，2?
（1.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji Univ，Shanghai 200092，China；2.Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction，Tongji Univ，Shanghai 200092，China）

A comparative analysis between Rayleigh damping model and Caughey damping model was first conducted，and then，by ANSYS secondary developing based on APDL programming language，the Caughey damping model was successfully applied to the random seismic response analysis of complex highrise building structure.An actual complex high-rise building structure was selected as the research object.By using the combination method of field vibration test and numerical simulation，the influence of different damping models on the random seismic response of complex high-rise building was analyzed，and the applicability and effectiveness of the two damping models were also discussed.The results have indicated that the curve shape of Rayleigh damping model is closely related to the control frequencies，the calculated damping ratio is lower than the actual test damping ratio between two control frequencies，and it is contrary among other frequency ranges.The Caughey damping model can more accurately meet the actual damping in a wider frequency range.

damping；seismic design；random seismic response；ANSYS secondary development；vi-bration test

TU311.3

A

1674-2974（2014）06-0028-07

2013-08-22

國家自然科學基金資助項目（50978198）

楊永勝（1984－），男，山西忻州人，同濟大學博士研究生

?通訊聯(lián)系人，E-mail：chengj＠#edu.cn