基于塊體模型的儲(chǔ)量估算方法

王洪江，楊柳華，吳愛祥，焦華喆，李 紅

（1．北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京100083；2．金屬礦山高效開采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083）

礦山儲(chǔ)量估算是礦山最重要的基礎(chǔ)工作之一，它可以合理地評價(jià)礦床的工業(yè)意義。然而傳統(tǒng)以幾何計(jì)算為基礎(chǔ)的常用方法難以滿足現(xiàn)代礦山信息化發(fā)展的需要。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，產(chǎn)生了基于塊體模型的儲(chǔ)量估算方法。這些方法以通用的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)為理論基礎(chǔ)，具有多種儲(chǔ)量估算方法，如單一賦值法、距離冪次反比法、普通克里格法和指示克里格法等。在估值研究時(shí)，克里格法和距離冪次反比法常被優(yōu)先采用，其中克里格法不依賴空間現(xiàn)象的平穩(wěn)性，也不要求區(qū)域化變量服從某種分布，在理論上優(yōu)于大多數(shù)傳統(tǒng)的估值方法［1］；距離冪次反比法相對其他方法，具有原理簡單、易于編程實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)。針對這兩種方法在礦業(yè)中的應(yīng)用，前人做了大量研究工作，但是對于金等貴金屬礦床，克里格法難以給出準(zhǔn)確變異函數(shù)；距離冪次反比法也忽略了樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的屬性值所包含的信息。目前還難以找到一種準(zhǔn)確給出變異函數(shù)，或者解決本質(zhì)原理問題的方法，所以這兩種方法的實(shí)際應(yīng)用效果有時(shí)很不理想。

為全面地了解這兩種估值方法的適用性，本文借助3DMine礦業(yè)軟件，以某金礦為例，分別采用距離平方反比法和克里格法對儲(chǔ)量進(jìn)行估算。重點(diǎn)分析在對貴金屬礦床估值時(shí)克里格法和距離冪次反比法誤差產(chǎn)生的原因，并驗(yàn)證了一種簡單的改進(jìn)方案。

1 估值原理及方法

相比其他估值方法，克里格法和距離冪次反比法具有獨(dú)特優(yōu)勢。本文對工程實(shí)例分別采用普通克里格法和距離冪次反比法進(jìn)行品位、金屬量估值，并進(jìn)行對比研究。

1．1 克里格法

1）估值原理

與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)相結(jié)合，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對品位分布進(jìn)行估值，是塊體模型的重要特點(diǎn)之一［2］。地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)由法國馬特隆教授于1962年創(chuàng)立，主要是為了解決礦床儲(chǔ)量計(jì)算和誤差估計(jì)等問題［3］。地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心方法是克里格（Kriging）差值法，它是以南非Kriging的名字命名的一項(xiàng)實(shí)用空間估計(jì)技術(shù)?？死锔穹ò训V體劃分成許多小塊體，在充分考慮信息樣品的空間結(jié)構(gòu)及其與待估塊段相互間的空間分布位置等幾何特征后，為了達(dá)到線性、無偏和最小估計(jì)方差的估計(jì)，而對每一信息樣品值分別賦予一定的權(quán)系數(shù)，最后進(jìn)行加權(quán)平均來估計(jì)塊段品位。這些權(quán)系數(shù)則是通過建立、求解克里格方程組計(jì)算而得。變異函數(shù)是用來對全部有效信息的概括，考慮了區(qū)域空間變量的隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)性的一種數(shù)學(xué)地質(zhì)方法［4］：

式中：γ＊（h）為實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)；Z（xi）為xi處的樣品值；Z（xi＋h）為xi＋h處的樣品值；N（h）是距離步距為h的樣品數(shù)據(jù)對的數(shù)目；h為滯后距離。

實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)由一組離散點(diǎn)組成，實(shí)際應(yīng)用很不方便，因此需要將實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)擬合成一個(gè)可以用數(shù)學(xué)解析式表達(dá)的理論模型。常用的理論模型有指數(shù)模型、高斯模型及球狀模型等，一般選取球體模型作為理論變異函數(shù)模型，其公式為：

式中：C0為塊金值；C0＋C為總基臺(tái)值；C為拱高；a為變程；h為滯后距離。

用克里格法來估計(jì)礦床某塊段的礦石品位參數(shù)，充分考慮了礦體的走向和品位的空間變化特征，并且采用了數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的最小二乘法計(jì)算樣品的加權(quán)因子和塊段的品位［5］。基于理論上的認(rèn)識(shí)，普通克里格法是一種使用條件較廣的方法，甚至稱之為“無分布要求”的方法。

2）軟件估值方法

①樣品組合文件

將不同長度的樣品組合成相同長度的組合樣品，使沿鉆孔方向產(chǎn)生均一性的離散點(diǎn)，這些點(diǎn)用來存放該點(diǎn)最可能的品位值，在塊體模型中用來進(jìn)行估計(jì)插值。組合方法主要有按圈礦指標(biāo)組合和根據(jù)地質(zhì)帶組合。

②塊體模型的創(chuàng)建和屬性定義

塊體核心思想是將礦體內(nèi)部填充成許多六面體——即塊體，然后每個(gè)塊體賦予屬性，通過統(tǒng)計(jì)若干個(gè)塊來統(tǒng)計(jì)礦床的儲(chǔ)量及品位分布。每個(gè)塊體有唯一的四個(gè)默認(rèn)屬性，同時(shí)可以有多個(gè)擴(kuò)展屬性。

③擬合變異函數(shù)及估值計(jì)算

克里格法估值需要得到變異函數(shù)中的各參數(shù)值，利用3DMine平臺(tái)給出的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)模塊對組合樣數(shù)據(jù)擬合，得到最佳變異函數(shù)，結(jié)合塊體模型進(jìn)行估值計(jì)算。每個(gè)工作者擬合的結(jié)果不一定相同，估值的結(jié)果也不相同。

1．2 距離冪次反比法

1）估值原理

除了克里格法外，距離冪次反比法是另外一種國際常用的空間內(nèi)插值估算方法，利用待估塊與其相鄰的已知樣品點(diǎn)距離的冪次成反比關(guān)系來估值，其各樣點(diǎn)的權(quán)重之和為1，所以對于未采樣點(diǎn)的估計(jì)值是未采樣點(diǎn)屬性真值的無偏估計(jì)，在樣品數(shù)據(jù)較少的條件下距離冪次反比法估值應(yīng)用得較多［6］。估值原理分以下幾步：

①以被估單元塊中心為圓心、以影響半徑R作圓，確定待估塊受影響范圍（三維狀態(tài)下，圓變?yōu)榍颍?，同時(shí)可以設(shè)定最少和最多捕捉樣品點(diǎn)；

②計(jì)算落入影響范圍內(nèi)每一樣品點(diǎn)與被估單元塊中心的距離；

③計(jì)算單元塊的品位如圖1所示。

2）軟件估值方法

該方法相對簡單，也是先進(jìn)行樣品組合和塊的創(chuàng)建。不同的是不需要進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，而是采用搜索橢球體來定義影響范圍的樣品搜索參數(shù)，再根據(jù)塊體模型分別進(jìn)行品位、金屬量計(jì)算。

圖1 單元塊的品位計(jì)算Fig．1 Calculating the grade of each block unit

2 估值計(jì)算結(jié)果

2．1 礦床概況

某金礦床東西長12km，南北寬5km，礦區(qū)面積68km2。目前礦山保有儲(chǔ)量115t，累計(jì)已探明儲(chǔ)量達(dá)170余t，總資源量預(yù)測可達(dá)220t。經(jīng)前期勘探工作，礦床范圍內(nèi)共圈出礦體10個(gè)。V1規(guī)模最大，其它尚有一些少數(shù)工程或單項(xiàng)工程控制的小礦體。礦巖平均密度2．71t／m3，松散系數(shù)1．68，自然安息角40°。礦床中礦體數(shù)較多、空間形態(tài)復(fù)雜，且?guī)讞l大的斷層造成礦體較大的錯(cuò)動(dòng)，這些都給建模和儲(chǔ)量估算帶來很大的困難。

2．2 建模過程

1）數(shù)據(jù)整理

在該礦山三維模型的建立過程中，收集了礦山原始的鉆孔數(shù)據(jù)，包括定位表、化驗(yàn)表、測斜表、巖性表。

2）建立鉆孔數(shù)據(jù)庫

在3DMine中建立鉆孔數(shù)據(jù)庫文件，將鉆孔數(shù)據(jù)以數(shù)據(jù)庫的形式進(jìn)行存儲(chǔ)。將先前準(zhǔn)備好的數(shù)據(jù)分別導(dǎo)入到數(shù)據(jù)庫中，鉆孔數(shù)據(jù)庫將是進(jìn)行估值的主要依據(jù)。

3）建立實(shí)體模型

導(dǎo)入礦體剖面圖，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換功能將剖面線轉(zhuǎn)換至真實(shí)坐標(biāo)系下。連接礦體之前充分考慮斷層的影響，通過添加控制線，采用人機(jī)交換方式對礦體空間位置加以控制。再通過“閉合線之間連接三角網(wǎng)”，并進(jìn)行實(shí)體驗(yàn)證，形成實(shí)體模型圖2所示。

2．3 估值研究

結(jié)合地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)，3DMine軟件引入塊體的概念。根據(jù)塊體的品位屬性，采用單一變量原則，分別用距離冪次反比法和克里格法對指定范圍內(nèi)的礦體進(jìn)行儲(chǔ)量計(jì)算，對兩種估值方法進(jìn)行對比研究。

圖2 三維礦體模型Fig．2 3Dore body model

1）普通克里格法估值

首先根據(jù)建立的鉆孔數(shù)據(jù)庫，采用圈礦指標(biāo)組合（Au≥2．5g／t，最小可采厚度2m，夾石剔除厚度1m，組合長度1m）。并結(jié)合勘探密度、礦體及樣品點(diǎn)空間形態(tài)等因素，建立塊體模型填充礦體。

其次使用3DMine軟件給出的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)模塊對組合樣數(shù)據(jù)擬合，根據(jù)礦體成礦的趨勢（如傾向、走向等）等因素［7］，創(chuàng)建搜索橢球體見圖3，得到最佳變異函數(shù)，塊金值15．01，步距50．0，基臺(tái)值10．05，變程101．03。

圖3 搜索橢球體Fig．3 The search ellipsoid

最后依據(jù)系統(tǒng)提供的估值模塊，選擇先前建立的礦體實(shí)體模型作為約束條件，基于塊體模型獲得儲(chǔ)量報(bào)告，求得Au的平均品位為5．31g／t，Au金屬量為181．49t。

2）距離冪次反比法估值

為保證研究變量的單一性，同樣定義塊體、進(jìn)行組合樣和創(chuàng)建搜索橢球體。并經(jīng)過多次計(jì)算校驗(yàn)，當(dāng)冪次為2時(shí)，比較適合本礦區(qū)礦體特點(diǎn)。完成后計(jì)算機(jī)將自動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，求得Au的平均品位為5．36g／t，Au金屬量為183．2t。軟件還可以對不同的品位進(jìn)行分顏色顯示，得到品位分布如圖4所示，揭示出礦體內(nèi)部品位空間分布情況。

圖4 礦體品位分布及統(tǒng)計(jì)Fig．4 Grade distribution and statistics

3 誤差分析及改進(jìn)

3．1 誤差分析

通過軟件分別采用距離反比法和普通克里格法對塊體模型進(jìn)行估值計(jì)算，得到礦體金屬量和品位。將結(jié)果分別與礦山塊段法的結(jié)果進(jìn)行對比，估值對比結(jié)果及相對誤差等見圖5～6和表1所示。

圖5 Au金屬量不同估值方法對比Fig．5 A comparison of the estimated Au quantity using different estimation methods

表1 不同方法估值結(jié)果及相對誤差表Table 1 Estimated results and relative errors of different calculation methods

圖6 Au品位不同估值方法對比Fig．6 A comparison of the Au grade using different estimation methods

在以往經(jīng)驗(yàn)中，總是把克里格法當(dāng)作最佳品位估計(jì)方法，因?yàn)榫嚯x冪次反比法是通過距離將估值均值化，而克里格法充分考慮了待估塊與樣品之間的空間距離、以及品位區(qū)域化變量的空間結(jié)構(gòu)分布特征等因素。然而，表1表明，克里格法估值并不比距離冪次反比法更優(yōu)。

由于金礦床具有其自身的特殊性，導(dǎo)致兩種方法無法適應(yīng)。Au礦床常呈枝條狀或透鏡狀產(chǎn)出，這意味著高品位樣本所占空間范圍較小，采用克里格法估值時(shí)易出現(xiàn)變異函數(shù)不合理?？臻g點(diǎn)的品位值之間關(guān)系減弱，使得距離冪次反比法中賦予的權(quán)重不準(zhǔn)確。同時(shí)，Au元素的地殼豐度值極低造成分布的高度歪曲，在估值過程中權(quán)重的賦予是否考慮品位因素？然而無論是距離冪次反比法，還是克里格法其賦值的權(quán)重都與品位無關(guān)，這被稱為“數(shù)值的權(quán)重獨(dú)立性”，一般認(rèn)為這也是估值產(chǎn)生誤差的原因之一［8］。另外，無論是哪種估值方法，都存在特高值處理問題。當(dāng)某些樣品與其所屬總體的一般統(tǒng)計(jì)特征偏離甚大時(shí)，需要當(dāng)作特殊樣品處理，但是在某些貴金屬礦床中，如卡林式金礦床，特高品位樣品比例雖然小，卻占可采金屬儲(chǔ)量的很大一部分，這時(shí)對特高品位樣品作特殊樣品處理顯然不合理。

這兩種估值方法本身也存在理論缺陷。在礦床地質(zhì)條件和礦石分布都很復(fù)雜、品位可能極為分散的情況下，應(yīng)用普通克里格法估值來建立一個(gè)變異函數(shù)模型是不現(xiàn)實(shí)的。而且應(yīng)用軟件建立變異函數(shù)時(shí)，沒有一個(gè)定量指標(biāo)，不同的建模人員建立各自的變異函數(shù)模型，這樣一來，最終結(jié)果可能完全不同。在距離冪次反比法中，如果兩樣點(diǎn)與待估點(diǎn)之間的距離相等，那么這兩個(gè)樣點(diǎn)對待估值點(diǎn)的影響權(quán)重是相等的［9］。而實(shí)際上，只有在成礦作用強(qiáng)的方向樣品點(diǎn)所占的權(quán)重大時(shí)，才可能有比較合理的插值結(jié)果，而目前距離冪次反比法還不能做到。

3．2 改進(jìn)方案

眾所周知，金屬儲(chǔ)量誤差是由品位和礦石質(zhì)量兩個(gè)誤差共同決定的。通過對誤差進(jìn)行分析，克里格法和距離冪次反比法計(jì)算得出的礦石質(zhì)量誤差分別為4．54%、4．52%。這說明該塊體模型在結(jié)合具體的估值方法上存在一定的缺陷，致使礦石量計(jì)算誤差偏大。

結(jié)合礦山的實(shí)際情況，礦床開采是分階段進(jìn)行的，所以組合樣品是否也應(yīng)該分階段？同時(shí)兩種估值方法各有特點(diǎn)，為了彌補(bǔ)單一方法的不足，采用兩種方法求平均值。具體的操作是對礦體劃分不同階段，分別采用兩種方法估值，得到的結(jié)果求平均。這樣使得到的結(jié)果能代表階段，同時(shí)又可以吸取兩種估值法的優(yōu)點(diǎn)。

采用改進(jìn)方案進(jìn)行估值，得到結(jié)果見表2。對比表1數(shù)據(jù)可以看出，改進(jìn)后誤差明顯降低，總體上較單一估值法更優(yōu)，改進(jìn)方案具有一定的實(shí)用意義。通過應(yīng)用各種交互判斷，包括變異函數(shù)、研究方法、樣品數(shù)量等，對參數(shù)加以控制和減小模糊效應(yīng)，可以使估值結(jié)果接近真實(shí)值。

表2 改進(jìn)后估值結(jié)果Table 2 The estimated results after improvements

4 結(jié)論

本文基于塊體模型進(jìn)行儲(chǔ)量估算，研究對比了兩種算法下儲(chǔ)量估算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)金礦床自身的特殊性和估值方法的理論缺陷是造成誤差的主要因素。兩種估值方法雖有誤差，但通過同時(shí)采用兩種估值方法，分階段估值求平均的改進(jìn)方案，得到了一個(gè)更加合理的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果不但能代表階段，而且可以吸取兩種估值法的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際情況表明，估值誤差顯著減小，這說明改進(jìn)方案有效。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，克里格法和距離冪次反比法已成為儲(chǔ)量估算和礦山設(shè)計(jì)的常用手段。估值過程經(jīng)常被看成是一個(gè)黑箱問題，但是通過文中具體案例說明，隨著礦床勘探的深入，對估值參數(shù)加以控制，減小模糊效應(yīng)，估值研究不應(yīng)再看成是一個(gè)黑箱問題。

［1］ 孫玉建 ．以地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)的礦業(yè)軟件在中國的歷史和現(xiàn)狀［J］．中國礦業(yè)，2007，16（11）：79－82．

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