淺談如何利用線段的垂直平分線解題

張俊芝

【摘 要】線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個特征在處理有關(guān)線段或角的問題運用十分廣泛，本文特舉例說明。

【關(guān)鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離

例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點D，求△BCD的周長。

分析：要求△BCD的周長，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。

解：因為MN是垂直平分線，點D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=13。

說明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學(xué)們不妨從中體會求解的技巧。

例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，試說明線段BD=CD=AC理由。

分析：要說明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計算出∠DCB=∠B= 36°，進(jìn)而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識即可說明。

解：因為AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。

又因為BC的垂直平分線DE交AB于點D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。

說明：本題的說明過程，實際上就是運用等腰三角形的知識和三角形內(nèi)角和的知識求出有關(guān)角的大小。

例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F。求∠FAC的大小。

分析：避開∠B= 45°，我們可以設(shè)法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識來說明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。

解：EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。

又因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，

因為∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。

說明：綜合運用所學(xué)的知識是處理本題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們在求解時一定要靈活運用條件，認(rèn)真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點。

例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，試說明線段BE與DE相等的理由。

分析：要說明線段BE與DE相等，只要能說明點E在以點B、D為端點的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。

解：連接BD，因為AB=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因為點E在AC上，所以BE=DE。

說明：線段垂直平分線的這兩個特征被廣泛運用于說明線段的相等關(guān)系上，學(xué)習(xí)時一定要注意深刻領(lǐng)會，并要靈活運用。

例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。

分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應(yīng)分兩種情況討論。

解：分兩種情況：（1）如圖5，當(dāng)交點在腰AC上時，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。

此時可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當(dāng)交點在腰CA的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個等腰三角形的底角為70°或20°。

說明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時一定要認(rèn)真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint

【摘 要】線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個特征在處理有關(guān)線段或角的問題運用十分廣泛，本文特舉例說明。

【關(guān)鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離

例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點D，求△BCD的周長。

分析：要求△BCD的周長，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。

解：因為MN是垂直平分線，點D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=13。

說明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學(xué)們不妨從中體會求解的技巧。

例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，試說明線段BD=CD=AC理由。

分析：要說明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計算出∠DCB=∠B= 36°，進(jìn)而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識即可說明。

解：因為AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。

又因為BC的垂直平分線DE交AB于點D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。

說明：本題的說明過程，實際上就是運用等腰三角形的知識和三角形內(nèi)角和的知識求出有關(guān)角的大小。

例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F。求∠FAC的大小。

分析：避開∠B= 45°，我們可以設(shè)法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識來說明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。

解：EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。

又因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，

因為∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。

說明：綜合運用所學(xué)的知識是處理本題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們在求解時一定要靈活運用條件，認(rèn)真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點。

例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，試說明線段BE與DE相等的理由。

分析：要說明線段BE與DE相等，只要能說明點E在以點B、D為端點的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。

解：連接BD，因為AB=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因為點E在AC上，所以BE=DE。

說明：線段垂直平分線的這兩個特征被廣泛運用于說明線段的相等關(guān)系上，學(xué)習(xí)時一定要注意深刻領(lǐng)會，并要靈活運用。

例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。

分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應(yīng)分兩種情況討論。

解：分兩種情況：（1）如圖5，當(dāng)交點在腰AC上時，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。

此時可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當(dāng)交點在腰CA的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個等腰三角形的底角為70°或20°。

說明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時一定要認(rèn)真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint

【摘 要】線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反之，到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的這兩個特征在處理有關(guān)線段或角的問題運用十分廣泛，本文特舉例說明。

【關(guān)鍵詞】線段垂直 等腰三角形 距離

例1：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB邊的垂直平分線MN交AC于點D，求△BCD的周長。

分析：要求△BCD的周長，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分線，可知DA=DB，于是問題獲解。

解：因為MN是垂直平分線，點D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=13。

說明：這里通過線段的垂直平分線使問題整體求解，同學(xué)們不妨從中體會求解的技巧。

例2：如圖 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，試說明線段BD=CD=AC理由。

分析：要說明線段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由條件可計算出∠DCB=∠B= 36°，進(jìn)而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知識即可說明。

解：因為AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。

又因為BC的垂直平分線DE交AB于點D，所以BD=CD，從而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。

說明：本題的說明過程，實際上就是運用等腰三角形的知識和三角形內(nèi)角和的知識求出有關(guān)角的大小。

例 3：如圖 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F。求∠FAC的大小。

分析：避開∠B= 45°，我們可以設(shè)法利用線段的垂直平分線和角平分線、三角形的外角知識來說明∠FAC=∠B，這樣即可求出∠FAC的大小。

解：EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。

又因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，

因為∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。

說明：綜合運用所學(xué)的知識是處理本題的關(guān)鍵，所以同學(xué)們在求解時一定要靈活運用條件，認(rèn)真觀察分析圖形的特征，尋找求解的最佳切入點。

例4：如圖 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，試說明線段BE與DE相等的理由。

分析：要說明線段BE與DE相等，只要能說明點E在以點B、D為端點的線段的垂直平分線上，于是，連接BD，有條件可得AC是線段BD的垂直平分線。

解：連接BD，因為AB=AD，BC=DC，所以AC是線段BD的垂直平分線。因為點E在AC上，所以BE=DE。

說明：線段垂直平分線的這兩個特征被廣泛運用于說明線段的相等關(guān)系上，學(xué)習(xí)時一定要注意深刻領(lǐng)會，并要靈活運用。

例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求∠B的大小。

分析：本題沒有供圖，所以按照題意我們可畫出如圖5和如圖6所示的兩種情況，所以本題應(yīng)分兩種情況討論。

解：分兩種情況：（1）如圖5，當(dāng)交點在腰AC上時，△ABC是銳角三角形，則∠ADE=50°。

此時可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如圖6，當(dāng)交點在腰CA的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，∠ADE=50°，此時，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故這個等腰三角形的底角為70°或20°。

說明：圖6所示的情況最容易漏掉，求解時一定要認(rèn)真分析題意，畫出可能所畫的圖形，才能正確解題。endprint