級數(shù)在求極限中的應(yīng)用

□楊京開，陳秀紅

（1.玉林師范學院 數(shù)學與信息科學學院，廣西 玉林 537000；2. 廣西玉林高中 數(shù)學科，廣西 玉林 537000）

級數(shù)在求極限中的應(yīng)用

□楊京開1，陳秀紅2

（1.玉林師范學院 數(shù)學與信息科學學院，廣西 玉林 537000；2. 廣西玉林高中 數(shù)學科，廣西 玉林 537000）

級數(shù)是數(shù)學分析的一個重要工具，也是高等數(shù)學的重要組成部分.級數(shù)在理論和實際上都有很多應(yīng)用. 本文討論了級數(shù)在極限計算中的作用，并通過具體例子說明了其在求極限中的應(yīng)用.

冪級數(shù)；傅里葉級數(shù)；極限

極限是數(shù)學分析與高等數(shù)學的主要內(nèi)容，是這兩門課程其他理論的基礎(chǔ).因此，深刻理解極限的定義，并且掌握求極限的一些方法，對于這兩門課程的學習具有重要的意義.一般來說，求極限常用的方法有：定義法、極限存在準則、利用重要極限求極限、壓縮映射原理、Stolz定理等等.但對于某些形式的極限問題，利用這些方法來求解仍然還很困難.因此，我們有必要尋求其他求極限的簡便方法.本文主要利用無窮級數(shù)的有關(guān)理論，比如，利用無窮級數(shù)收斂的必要條件、利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式、利用級數(shù)的和式等，求一些特定形式的數(shù)列和函數(shù)的極限.

1 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

對于通項含有n!、n的方冪、n次冪，或關(guān)于n的連乘積的數(shù)列極限，若我們把數(shù)列的通項看作某個級數(shù)的通項，并且用級數(shù)斂散性的一些判別方法知道這個級數(shù)收斂，那么由級數(shù)收斂的必要條件，原數(shù)列的極限為零.當然，這種方法只適用于以數(shù)列的通項作為級數(shù)的通項，且級數(shù)收斂的情況下，這時原數(shù)列的極限為零；而對于對應(yīng)的級數(shù)發(fā)散或者無法判斷出斂散性時，該方法行不通.

分析 該數(shù)列極限用一般求極限的方法求解是非常困難的，若考慮到把該數(shù)列的通項看作正項級數(shù)的通項，然后利用正項級數(shù)收斂性的一些判別法，如果這個正項級數(shù)收斂，則由級數(shù)收斂的必要條件，該級數(shù)的通項必定趨向于零.

因為

2 利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求函數(shù)的極限

對于某些函數(shù)的極限，當我們把極限式中的某一項或幾項展開成冪級數(shù)后，往往能消掉一些式子，把原來比較復雜的函數(shù)變成簡單且容易求極限的函數(shù).

分析 利用求函數(shù)極限的一般方法來求解本題幾乎是無從下手，若想到利用函數(shù)ln(1+x)的冪級數(shù)展開式，則本題會化繁為簡，從而輕易求出極限的值.

解 由函數(shù)f(x)=ln(1+x)的冪級數(shù)展開式，有

3 利用級數(shù)和的定義求極限

一些數(shù)列的極限在數(shù)值上等于某個數(shù)項級數(shù)的和，有時我們可以根據(jù)數(shù)項級數(shù)和的定義，通過求數(shù)項級數(shù)對應(yīng)的部分和數(shù)列的極限得到原來數(shù)列的極限.

4 利用冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)列的極限

有些數(shù)列的極限，通項是含有自然數(shù)n的式子之和，對于這種類型的極限問題，可以把數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為級數(shù)和，然后通過求級數(shù)和的一些方法，間接求出原來的極限；或者可以根據(jù)級數(shù)的特點，構(gòu)造出一個對應(yīng)的冪級數(shù)，求出冪級數(shù)的和函數(shù)，再通過和函數(shù)在收斂點的函數(shù)值得到數(shù)列極限的值.

5 利用函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式求極限

一些比較復雜的，通項與自然數(shù)n有關(guān)的式子的和的數(shù)列極限，還可以通過給出一個函數(shù)，將這個函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，然后在傅里葉級數(shù)的收斂域內(nèi)代入某個數(shù)值，從而把數(shù)列極限求出來.這時，函數(shù)的選擇是關(guān)鍵.雖然有可能利用不同函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式都可以求解，但難易程度是不一樣的.

解 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π,π)上的表達式為

因為函數(shù)f(x)滿足狄利克雷定理的條件，且f(x)在整個數(shù)軸上連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)在整個數(shù)軸上都收斂于f(x).

將f(x)展開成傅里葉級數(shù)，得

由f(x)在[-π,π)上的表達式和f(x)的傅里葉級數(shù)展開式得

同理，利用上面的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)展開式，我們還可以求出以下幾個數(shù)列的極限.

6 結(jié)語

級數(shù)在求極限中有著非常廣泛的作用，但要具體情況具體分析，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行求解.本文歸納了利用級數(shù)收斂的必要條件、利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式等方法來求極限，并通過具體例子表明，利用級數(shù)計算極限簡潔、準確.若利用常規(guī)方法，則無法或很難求解本文中列舉的一些極限類型.掌握這些方法，對培養(yǎng)學生的思維能力，提高運算能力有極大的幫助. ■

[1]黃立宏. 高等數(shù)學(上冊)[M].上海：復旦大學出版社, 2011.

[2]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(下冊)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]毛綱源. 高等數(shù)學解題方法技巧歸納(下冊)[M].武漢：華中科技大學出版社，2010.

[4]錢吉林. 數(shù)學分析題解精粹[M]. 武漢：崇文書局出版社，2003.

[5]裴禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]謝惠民. 數(shù)學分析習題課講義(下冊)[M].北京：高等教育出版社，2006.

【責任編輯 謝文?！?/p>

Application of Series in the Calculation of Limits

YANG Jing-kai ，CHEN Xiu-hong
(1． College of Mathematics & Information Science, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000; 2． Mathematics Group, Guangxi Yulin High School, Yulin, Guangxi 537000)

Series is not only an important tool of mathematical analysis, but also an important part of higher mathematics． There are many applications in theory and practice for series． This paper discusses the role of series in limit calculation, and illustrates its application in limit operation through specific examples．

Power Series; Fourier Series; limit

G642.0

A

1004-4671（2014）02-0031-04

2014-02-26

廣西高校教學名師教學改革項目(2013GXMS113)；玉林師范學院高等教育教學改革工程項目(14YJJG17)。

楊京開（1982～），男，廣西貴港人，玉林師范學院數(shù)學與信息科學學院講師，研究方向：代數(shù)及其應(yīng)用、自動機理論。