一類非線性微分方程的可積性

□劉愛民，馮 瑜*，葉茂斌

（1.玉林師范學(xué)院，教育技術(shù)中心，廣西 玉林 537000；2.玉林師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

一類非線性微分方程的可積性

□劉愛民1，馮 瑜2*，葉茂斌2

（1.玉林師范學(xué)院，教育技術(shù)中心，廣西 玉林 537000；2.玉林師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

基于分析技巧，討論一類低階非線性微分方程的可積性問題. 將獲的新結(jié)果應(yīng)用于第一類Abel方程和Riccati方程，得到系統(tǒng)可積的一系列充分條件，推廣了已有的相關(guān)結(jié)果.

一階非線性微分方程，可積性，Abel方程，Riccati方程

1 引言

微分方程作為數(shù)學(xué)的一個重要分支，在力學(xué)，物理，化學(xué)，自動控制，工程技術(shù)等方面有著非常廣泛的應(yīng)用[1].其可解性問題一直以來是數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域極其關(guān)注的問題.在具體工程問題研究中，可求解析解的微分方程是少之又少.從已有的結(jié)果來看，即使可解，其研究方法和技巧也是非常強(qiáng)，且不具有通用性.在計算機(jī)技術(shù)和數(shù)值計算技術(shù)非常成熟的今天，對于工程問題中的眾多微分方程，我們可以成功的求出其數(shù)值解（或者形式級數(shù)解、逼近解）.但是，數(shù)值解畢竟是其數(shù)值近似，機(jī)器誤差和計算誤差是不可避免.事實(shí)上，這些誤差效果在工程應(yīng)用上也是不可忽視.從數(shù)學(xué)理論角度上來看，數(shù)值解的收斂性本身就是一項(xiàng)極其艱難的工作.當(dāng)然，再回到前面所說的，如果在工程實(shí)際中，能幸運(yùn)的求解出問題的解析解，那上面提及到的顧慮也就隨之煙散了.因而，即使在今天，微分方程的可積性研究依然微分方程理論中的一個非常重要的主題.

一階方程

是工程中經(jīng)常遇到一類微分方程.眾多專家學(xué)者對其各種特殊情況進(jìn)行了深入研究與探索，得到了豐富的研究成果.當(dāng)q=y且fi=0(i=2,3,4,5,…,n)時方程（0）為線性微分方程，文獻(xiàn)[1]中給出了詳盡的求解過程.當(dāng)q=y且fi=0(i=3,4,5,…,n)時，方程（0）就是我們熟知的Riccati方程，文獻(xiàn)[2]在假設(shè)其存在特解的前提下，將其化為Liouville方程從而求出其通解.文獻(xiàn)[3-9]在給出f0、f1、f2之間線性關(guān)系的前提下，利用變量變換和初等積分法求出了方程的通解.文獻(xiàn)[10]基于Riccati方程的雙參數(shù)特解，利用變量交換的思想，把一類與Riccati方程特解有關(guān)的可積性結(jié)果統(tǒng)一起來，并加以推廣，得到了Riccati方程的一個更廣泛的可積條件及其在該條件下的通積分.當(dāng)q=y且fi=0(i=4,5,…,n)時方程（0）即為Abel方程.文獻(xiàn)[11-18]利用變量替換的方法找出了大量的可積條件.文獻(xiàn)[19]利用變換群的理論方法，將復(fù)域上的Abel方程轉(zhuǎn)化為可分離變量方程或Bernouli方程，進(jìn)而得到了一組較為適用的判定條件.文獻(xiàn)[20]通過一類一階非線性微分方程的討論，歸納出了一階微分方程的一些經(jīng)典的可積類型.Riccati方程和Abel方程都包含在其中.

基于上述文獻(xiàn)的影響，本文考慮如下非線性微分方程

2 主要結(jié)果

定理1 若p(x)、Q(x)為x的連續(xù)函數(shù)，q(y)是y的連續(xù)函數(shù)且可導(dǎo)，f(u)≠0，則方程（1）可積.

證明 令q(y)=z代入（1）得

下面應(yīng)用定理1的結(jié)論，給出第一類Abel方程可解的一組充分條件.

定理2 對第一類Abel方程

若fn，fn+1，… ，f3，f2，f1，f0滿足

其中p、Q是x的函數(shù)，q(y)是y的連續(xù)函數(shù)且可導(dǎo)，αi，β，γ，η是常數(shù)，則方程（3）可積.

證明 將

代入（3）得

至此，由定理1知（4）可積，即方程（3）可積.證畢.

在定理2中當(dāng)q(y)=y時，可給出如下推論.

推論3 若fn，fn+1，… ，f3，f2，f1，f0≠0，p、Q是x的函數(shù)且不為0，αi，β，γ，η是常數(shù)，方程

滿足以下條件

則該方程（5）可積.

當(dāng)i=3時，推論2即是文獻(xiàn)[11]中定理1的推論1.

定理4 對第一類Abel方程（3），若

其中p是x的函數(shù)，f2≠0，αi，β，γ，η為常數(shù)，則方程（3）可積.

證明 將

代入（3）得

推論5 若fn，fn+1，… ，f3，f2，f1，f0≠0，p、Q是x的函數(shù)且不為0，αi(i=4,…,n)，β，γ，η是常數(shù)，方程（5）滿足以下條件

則方程（5）可積.

在推論3中令p=f1，γ=0或p=f2可得如下結(jié)論.

推論6 若Abel方程（5）滿足以下條件

則方程（5）可積.

推論7 若Abel方程（3）滿足以下條件

則該方程可積.

當(dāng)q(y)=y，i=3時，推論5,6,7分別是文獻(xiàn)[11]定理2，定理2的推論1，定理2的推論2.

在方程（3）中，若fi=0(i=3,4,5,…,n)時，則方程為Riccati方程.下面我們來考慮其可積性問題.

定理8 若Riccati微分方程

（7）可積.

滿足定理1的條件，故該式子可證.證畢.

證明 在定理4中令fi=0(i=3,4,5,…,n)即可.證明略.

在推論6中，分別取αi=0，β=0，γ=0，p=f1， 和令αi=0，β=0，p=f2可得如下兩個推論.

推論10 若Riccati方程(7)滿足條件f0=ηf2e2pdx∫(f2≠0，η為常數(shù))，則方程（7）可積.

推論11 若Riccati方程（7）滿足如下條件：

其中f2≠0，γ，η為常數(shù)，則方程(7)可積.

當(dāng)q(y)=y時，定理9，推論10和推論11分別是文獻(xiàn)[11]定理2的推論1、推論2和推論3. ■

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【責(zé)任編輯 謝文?！?/p>

Integrability for a kind of Nonlinear Differential Equations

LIU Ai-min1, FENG Yu2, YE Mao-bin2
(1． Education Technology Center, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000; 2． College of Mathematics & Information Science, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000)

Based on the variation of constants, integrability for a kind of nonlinear differential equations is discussed．Moreover, the obtained results are applied to Abel equation and Riccati equation． A series of sufficient condition of integrability for Abel equation and Riccati equation are obtained． Therefore, the limits of integrability on two kinds of nonlinear differential equation are extended． Some known results are generalized．

first nonlinear differential equation; integrability; Abel equation; Riccati equation

O175.14

A

1004-4671（2014）02-0023-05

2014-02-28

本工作受國家自然科學(xué)基金資助（11161051）。

劉愛民（1973～），女，漢族，湖南新邵人，玉林師范學(xué)院教育技術(shù)中心實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向：微分方程及其應(yīng)用。*

馮瑜（1978～），男，壯族，廣西賓陽人，玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，講師，主要研究方向：常微分方程穩(wěn)定性。