改進(jìn)收獲項(xiàng)的具有食餌避難的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)

□曾夏萍

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

改進(jìn)收獲項(xiàng)的具有食餌避難的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)

□曾夏萍

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

改進(jìn)了一般的收獲項(xiàng)函數(shù)為更合理的形式,建立具有食餌避難的Leslie-Gower捕食與被捕食系統(tǒng).利用微分方程的定性以及穩(wěn)定性理論證明了正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性.并運(yùn)用Pontryagin最大值原理得到了達(dá)到最優(yōu)稅收量的最優(yōu)平衡解.這些結(jié)果將為有效開(kāi)發(fā)和管理可再生種群資源提供一定的理論依據(jù).

Leslie-Gower捕食系統(tǒng)；穩(wěn)定性；最優(yōu)稅收策略

1 引言

為了保持海洋生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定，越來(lái)越多的生物經(jīng)濟(jì)學(xué)模型受到了重視，各種各樣的漁業(yè)資源模型從生態(tài)和經(jīng)濟(jì)兩方面被建立和分析[1，2]，但通過(guò)控制稅收來(lái)控制Leslie-Gower捕獲模型的研究至今還不是很多[3-5].本文假設(shè)把食餌種群分為兩部分：為數(shù)量是mx(t)的食餌提供避難所，則捕食者就只能捕食(1-m)x(t)數(shù)量的食餌種群，并在捕獲努力量E下對(duì)捕食種群進(jìn)行捕獲(其中0≤m＜1).假設(shè)對(duì)捕獲每單位種群資源所征收的稅金為τ，通過(guò)控制稅收量τ，以尋找達(dá)到最優(yōu)稅收量的最優(yōu)平衡解.一般把稅收τ作為控制量.在已有的研究中通常采用努力量為常數(shù)的捕獲項(xiàng)函數(shù)為h(t)=qEY(t)[6]，其收獲量隨著努力量和資源量的增大而無(wú)限增大，而在實(shí)際生活中我們不論開(kāi)采何種資源其產(chǎn)量總是有限的.本文將捕獲率函數(shù)改進(jìn)為如下形式[7]

其中，q為捕獲系數(shù)，E為收獲努力量，u，v為正常數(shù).

在式(1.1)中對(duì)于固定的y，

同樣，對(duì)于固定的E，

因此，式(1.1)努力量水平的飽和影響相當(dāng)于資源量y的邊界. 任何現(xiàn)實(shí)中的捕獲函數(shù)將顯示這種特征. 這些特征也展現(xiàn)了參數(shù)u，v的特征：在最大努力量水平下，u=(q/h)y，u與資源量成正比. 在最大資源量水平下，v=(q/h)E，v與努力量成正比.漁民的凈收入是其中，p代表單位種群的常量?jī)r(jià)格，c代表捕獲成本.基于上述考慮，本文建立如下模型：

考慮到系統(tǒng)(1.2)的生態(tài)意義，我們始終假設(shè)初始x(0)＞0，y(0)＞0，E(0)＞0.且滿足初始條件：x(0)=x0，y(0)=y0，E(0)=E0.

其中，x(t)，y(t)分別表示食餌和捕食種群的密度，r1，r2表示食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，E則為捕獲努力量，a1，a2，m均為正常數(shù).設(shè)單位資源y的稅收為τ，其中q為捕獲能力，p單位資源y的價(jià)格，c表示單位努力度的成本，α為在捕獲努力量的作用下總投入的剛性伸縮量參數(shù).

2 系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性分析

在對(duì)種群進(jìn)行捕獲的情況下，為了確保兩種群能夠持續(xù)生存，我們只對(duì)系統(tǒng)(1.2)的正平衡點(diǎn)做如下的討論.當(dāng)p-τ＜0時(shí)，有因此，我們?cè)谝韵碌挠懻撝锌偧僭O(shè)p-τ＞0.

求解如下方程組

可得

引理1 當(dāng)r2u(p-τ)＞q(p-τ)-vc＞0且r1＞a1(1-m)y*時(shí)系統(tǒng)(1.2)存在唯一正解P(x*,y*,E*).

其中：

3 最優(yōu)征稅策略分析

在初始條件x(0)，y(0)以及E(0)的情況下，我們的主要目標(biāo)是有關(guān)漁業(yè)管理部門通過(guò)控制稅收量使得在捕獲的活動(dòng)中社會(huì)的總收益達(dá)到最大值，確定一個(gè)最優(yōu)稅收量τ，得到一個(gè)最優(yōu)平衡解使得貼現(xiàn)總收入

達(dá)到最大值.其中δ為貼現(xiàn)率.

在此情況下，我們以確定一個(gè)稅收策略τ=τ(t)為目標(biāo).使得J在滿足狀態(tài)方程(2.1)和控制變量為τmin≤τ(t)≤τmax時(shí)取得最大值.

控制問(wèn)題的Hamilton函數(shù)為：

其中λ1，λ2，λ3是伴隨變量.

我們假設(shè)Hamilton函數(shù)的最優(yōu)解不能發(fā)生在τ=τmin和τ=τmax，由Pontryagin最大值原理有

則方程(3.9)的解為

將(3.6)代入(3.10)可得

我們將x*,y*,E*的值代入方程(3.11)就可得到一個(gè)關(guān)于τ的方程，令τδ為方程的解(如果存在的話)將τδ代入便可得到最優(yōu)平衡解(x=xδ,y=yδ,E=Eδ).

4 結(jié)論

本文研究了發(fā)生食餌避難的Leslie-Gower并只捕獲捕食者種群的模型，通過(guò)控制稅收量加以管理，并對(duì)捕獲項(xiàng)進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)分析，在得到了在稅收量滿足時(shí)，系統(tǒng)(1.2)存在惟一的正平衡點(diǎn)，進(jìn)一步構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)證明了正平衡點(diǎn)在所給的吸引域范圍內(nèi)的全局漸近穩(wěn)定性.最后，運(yùn)用Pontryagin最大值原理給出了達(dá)到最優(yōu)稅收量的最優(yōu)平衡解，從而證明了通過(guò)適當(dāng)控制稅收量τ，在有效的保持生態(tài)平衡的同時(shí)，又可以為資源管理部門提供一定的理論指導(dǎo)，以此來(lái)控制對(duì)資源的合理開(kāi)發(fā)和利用. ■

[1]Fan M, Wang K．Optimal harvesting policy for single population with periodic eoeffieien-ts[J]．Mathematics Biosci ence,1998,152:165-177．

[2]Tapan．K．Kar．Conservation of a fishery through optimal taxation:a dynamic reaction model[J]．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2005,10:121-131．

[3]Pablo Aguirrea,E．G-O,E．S,Two limit cycles in a Leslie-Gower predator-prey model with additive Allee e?ect[J]．Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10:1401-1416．

[4]楊洪嫻.具有食餌避難的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)最優(yōu)捕獲研究[D].中北大學(xué),2011.

[5]B．Dubey,Peeyush Chandra,Prawal Sinha．A model for fishery resource with reserve area[J]． Nonlinear Analysis,2003,4:625-637．

[6]T．K． Kar, U．K． Pahari, K．S． Chaudhuri． Managment of a prey-predator fishery based on continuous fishing effort[J]．J．Biol．Syst． 2004,12:301-313．

[7]S． Ganguly, K．S． Chaudhuri． Regulation of a single-species fishery by taxation[J]． Ecol．Model． 1995,82:51-60．

【責(zé)任編輯 謝文?！?/p>

A Leslie-Gower Prey-predator model with Taxation and Improvement of the Harvest Item

ZENG Xia-ping
（College of Mathematics & Information Science, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000）

we improve the capture function, and establish a Leslie-Gower predator-prey model incorporating a prey refuge． The local asymptotic stability and global asymptotic stability conditions of its steady states are studied．We then solve the problem of optimal taxation policy by using Pontryagin's maximal principle． The results will provide some reliable theoretical basis for the development and utilization of biological resources．

Leslie-Gower predator-prey system; stability; the optimal taxation policy

O175.13

A

1004-4671（2014）02-0018-05

2013-11-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61364020), (61364020), 玉林師范學(xué)院校級(jí)一般項(xiàng)目（2013YJYB04）。

曾夏萍（1985～），女，玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師。研究方向：生物數(shù)學(xué)。