不同維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時間同步

□劉永建，梁菊麗，岑 良，符 蕊

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

不同維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時間同步

□劉永建，梁菊麗，岑 良，符 蕊

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

本文考慮兩個維數(shù)不同和結(jié)構(gòu)不同的混沌系統(tǒng)，在給定時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)快速同步的熱點(diǎn)問題. 基于有限時間穩(wěn)定性理論，設(shè)計出一個非線性開關(guān)控制器，通過這個控制使得兩個維數(shù)不同甚至內(nèi)部結(jié)構(gòu)都不一樣的混沌系統(tǒng)在事先給定的時間內(nèi)達(dá)到完全快速同步. 將理論結(jié)果應(yīng)用到Chen-Lee混沌系統(tǒng)，成功實(shí)現(xiàn)了三維Chen-Lee混沌系統(tǒng)和四維Chen-Lee超混沌系統(tǒng)以及三維Chen-Lee混沌系統(tǒng)和四維Rabinovich超混沌在給定有限時間內(nèi)的快速同步. 最后，數(shù)值結(jié)果證實(shí)了方法的可行性和控制器的有效性.

不同維數(shù)；混沌同步；有限時

引言

近年來，由于混沌系統(tǒng)在信號傳輸、保密通訊和生命科學(xué)等眾多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，混沌同步控制業(yè)已成為了世界非線性科學(xué)領(lǐng)域研究熱點(diǎn)問題[1-3].自1990年，Pecora和Carroll首次提出驅(qū)動--響應(yīng)同步法以來[4]，許多優(yōu)秀的同步控制方法和技術(shù)被相繼提出[5-8]，應(yīng)用比較廣泛的有自適應(yīng)同步法、反饋同步法、觀測器同步法、主動-被動同步法等.混沌同步的早期研究集中在兩個結(jié)構(gòu)相同或者維數(shù)相同的混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)之間的漸近同步[9,10].在實(shí)際工程應(yīng)用中，人們更關(guān)注的是兩個不同系統(tǒng)在指定時間內(nèi)能夠按要求實(shí)現(xiàn)快速同步，即達(dá)到所謂的“有限時間同步”[11].另一方面，當(dāng)兩個系統(tǒng)維數(shù)不一致時，結(jié)構(gòu)肯定不同，其混沌的機(jī)理可能也不一樣，這無疑給它們之間的同步設(shè)計帶來更高的挑戰(zhàn)性.據(jù)作者所知，目前對兩個不同維數(shù)的混沌或超混沌的有限時間內(nèi)快速同步問題的研究還比較少.

基于以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文針對三維混沌系統(tǒng)和四維超混沌系統(tǒng)，設(shè)計一個非線性開關(guān)控制器，成功實(shí)現(xiàn)了三維Chen-Lee混沌系統(tǒng)和四維Chen-Lee超混沌系統(tǒng)、三維Chen-Lee混沌系統(tǒng)和四維Rabinovich超混沌在給定有限時間內(nèi)快速同步，并給出了同步時間估計式.最后，數(shù)值仿真結(jié)果證實(shí)了該方法的有效性.特別需要指出的是，該思想方法也可應(yīng)用到任意兩個n維和n維（n≠m）混沌系統(tǒng)的有限時間同步.

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)

其中，x,y∈Rn，f，g為R×Rn→Rn的可微函數(shù)，u(t,x,y)為控制輸入.如果設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂破鱱使得從不同的初始值x0,y0出發(fā)的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的誤差e(t)=x(t)-y(t)滿足=0成立，稱驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在有限時間ts達(dá)到同步.

下面引理在本文中非常重要.

引理2 非線性系統(tǒng)

其中k≥0，0＜β＜1，其解為

當(dāng)z0≥0時，z(t)1-β=z01-β-k(1-β)t，

當(dāng)z0＜0時，[-z(t)]1-β=[-z0]1-β-k(1-β)t.

為了敘述方便，選取著名的Chen-Lee為例,介紹我們的技術(shù)方法.事實(shí)上，本文提供了控制器的一般選取辦法,適用范圍廣，易于實(shí)現(xiàn)，對任何兩個不同維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時間同步都具有參考意義. Chen-Lee系統(tǒng)動力學(xué)方程為：

2 兩個不同維Chen-Lee混沌系統(tǒng)之間的有限時間同步

考慮如下四維Chen-Lee超混沌系統(tǒng)[12]

下面考慮三維系統(tǒng)（2）和四維系統(tǒng)（3）這兩個不同維Chen-Lee系統(tǒng)之間同步.令系統(tǒng)（2）為驅(qū)動系統(tǒng)，以（3）式為響應(yīng)系統(tǒng)，即響應(yīng)系統(tǒng)模型為

在系統(tǒng)（4）引入控制函數(shù)ui(i=1,2,3,4).為確定控制函數(shù)，使系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（4）在有限時間同步.我們由（4）式減去（1）式，得到誤差系統(tǒng)

這樣，我們就將三維混沌系統(tǒng)（2）和四維超混沌系統(tǒng)（4）的有限時間同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)（5）在原點(diǎn)O(0,0,0,0)的指定時間內(nèi)穩(wěn)定性問題.下面我們來選取合適的控制函數(shù)u=(u1,u2,u3,u4)T使得誤差系統(tǒng)（5）在指定時間內(nèi)快速穩(wěn)定，即響應(yīng)系統(tǒng)（4）與驅(qū)動系統(tǒng)（2）達(dá)到快速同步.

對于驅(qū)動系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4），選擇控制函數(shù)如下：

在（7）中給定初值ei(0)=ei0，i=1,2,3,4，根據(jù)引理可知，在有限時間時，ei(tis)=0，i=1,2,3,4，即誤差系統(tǒng)在有限時間全局穩(wěn)定，這就意味著作為驅(qū)動系統(tǒng)的三維Chen-Lee系統(tǒng)（1）和作為響應(yīng)系統(tǒng)的四維超混沌Chen-Lee系統(tǒng)（4）在有限時間能夠達(dá)到同步.

3 三維Chen-Lee系統(tǒng)與四維Rabinovich超混沌系統(tǒng)的有限同步

引入結(jié)構(gòu)不同于Chen-Lee系統(tǒng)的四維Rabinovich超混沌系統(tǒng)[11]：

由此可將三維Chen-Lee系統(tǒng)（2）和四維Rabinovich超混沌系統(tǒng)（9）的有限同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)（10）在原點(diǎn)O(0,0,0,0)的快速穩(wěn)定性問題.

對于驅(qū)動系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（9），選取如下控制器：

在（13）中給定初值ei(0)=ei0，i=1,2,3,4，根據(jù)引理可知，在有限時間時，ei(tis)=0，i=1,2,3,4，即誤差系統(tǒng)在有限時間全局穩(wěn)定，這就意味著即三維Chen-Lee系統(tǒng)（2）與四維超混沌系統(tǒng)（9）在有限時間能夠達(dá)到同步.

4 仿真研究

（Ⅰ）為了驗(yàn)證上述理論分析的正確性和有效性，我們采用Matlab軟件對以上討論的結(jié)果進(jìn)行數(shù)值仿真.在驅(qū)動系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）中，選取參數(shù)a=5，b=-10，c=-3.8，d=2.2，在控制函數(shù)（6）中，選取參數(shù)任取驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件分別為(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.2,0.1,0.1)， (y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(20,30,20,30)，可計算出誤差狀態(tài)達(dá)到零的時間分別為：t1s=4.4497s,t2s=5.4681s,t3s=4.4610s,t4s=5.4772s.畫出誤差e=y-x與時間t的關(guān)系圖，如圖1.

（Ⅱ）在驅(qū)動系統(tǒng)（2）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）中，選擇參數(shù)為：a=5，b=-10，c=-3.8，e=f=1，g=2，h=6.75，r=4，在控制函數(shù)（12）中，選取驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）的初始值分別為(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.2,0.1,0.1)，(z1(0),z2(0),z3(0),z4(0))=(4,4,4,4).代入可計算出誤差狀態(tài)達(dá)到零的時間分別為：t1s=1.9494s，t2s=1.9748s,t3s=1.9748s,t4s=2.0s.由Matlab仿真得，同步誤差e隨時間變化如圖2所示.由此得知，同步誤差逐漸趨于零.

圖1 取k=2，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)（2）和（4）關(guān)于時間t的誤差圖

圖2 取k=2，驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)（1）和（9）關(guān)于時間t的誤差圖

5 結(jié)論

混沌同步控制是當(dāng)今世界非線性領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.兩個不同結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的混沌機(jī)理可能會有很大的區(qū)別，當(dāng)兩個系統(tǒng)的維數(shù)不一樣時，意味著其運(yùn)動的相軌空間不一致，這些都給它們的同步控制帶來極大的不便.本文以經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)和四維超混沌系統(tǒng)為例，探討了兩個不同維結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時間快速同步問題.基于一種非線性開關(guān)控制器，實(shí)現(xiàn)了兩個不同維混沌系統(tǒng)的快速同步.理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明, 該方法可使兩個不同維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的快速精確同步，并估計了達(dá)到同步的時間.該方法對任何兩個不同維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時間同步都具有參考意義. ■

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【責(zé)任編輯 謝文海】

The Different Dimensional Structure Finite-time Ssynchronization of Chaotic Systems

LIU Yongjian, LIANG Juli, CENG Liang, FU Rui
（College of Mathematics & Information Science, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000）

The paper studies the finite-time synchronization problem of two chaotic systems with different dimension and different structure． Combining with the stable theory of the differential equations, a nonlinear switch controller is designed to realize fast synchronization in given time, among three dimensional Chen-Lee chaotic systems, four dimensional Chen-Lee hyperchaotic systems and four dimensional Rabinovich hyperchaotic systems．The numerical simulations are provided to illustrate the effectiveness of the proposed scheme．

different dimension; chaos synchronization; finite time

0175.21,0415.5

A

1004-4671（2014）02-0010-08

2013-12-06

本項(xiàng)目受國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161051）和廣西大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目聯(lián)合資助。

劉永建（1975～），男，漢族，湖南新邵人，玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，主要研究方向：混沌理論及其應(yīng)用。