被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型及其穩(wěn)定性分析

段曉敏，李杰，劉俊

(中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051)

0 引言

被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的研究是為了解決捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在某些高速滾轉(zhuǎn)飛行的制導(dǎo)炮彈中無(wú)法有效應(yīng)用的問題。彈體的高速滾轉(zhuǎn)會(huì)使得微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)陀螺儀無(wú)法有效測(cè)量滾轉(zhuǎn)角速率，從而不能準(zhǔn)確地建立姿態(tài)矩陣［1-2］。被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)是一種采用機(jī)械裝置實(shí)現(xiàn)與彈體滾轉(zhuǎn)隔離的慣性平臺(tái)，被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)可以使微慣性測(cè)量單元(MIMU)在滾轉(zhuǎn)方向保持穩(wěn)定，而在俯仰和偏航方向保持捷聯(lián)。影響被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)性能的因素有很多，其中彈體的飛行俯仰角是一個(gè)非常重要的影響因素，研究彈體飛行俯仰角的變化與被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的穩(wěn)定性關(guān)系具有重要的工程意義。

目前應(yīng)用于小口徑常規(guī)火箭彈的滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定方案通常是采用伺服電機(jī)在滾轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定慣導(dǎo)系統(tǒng)，這種方案由于伺服電機(jī)的引入從而導(dǎo)致其抗過載能力較差。Imbault 等介紹了美國(guó)桑迪亞國(guó)家實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的一種微小型滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定式慣性測(cè)量系統(tǒng)，可應(yīng)用于低過載、高轉(zhuǎn)速火箭彈的姿態(tài)測(cè)量［3］。王晨等對(duì)一種火箭彈大動(dòng)態(tài)單軸平臺(tái)慣導(dǎo)系統(tǒng)的姿態(tài)算法進(jìn)行了研究［4］。

無(wú)陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)可以應(yīng)用于高速滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)炮彈的姿態(tài)測(cè)量，但測(cè)量精度較低。在無(wú)陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中引入磁傳感器對(duì)于測(cè)量彈體姿態(tài)有一定幫助，但磁傳感器通常容易受到外界干擾而產(chǎn)生較大的誤差。美國(guó)的ANSR 炮彈使用的是由6 個(gè)加速度計(jì)和一個(gè)三軸磁傳感器組成的捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，Ohlmeyer 等對(duì)此系統(tǒng)做了介紹［5］。由MEMS 傳感器組成的低成本MIMU 和磁傳感器的組合系統(tǒng)被用于滾轉(zhuǎn)炮彈姿態(tài)的測(cè)試，Davis 對(duì)此作了研究［6］。劉朝華等研究了利用MEMS 加速度計(jì)測(cè)量彈體滾轉(zhuǎn)角的方法［7］。李枚等針對(duì)振動(dòng)和高速自旋的環(huán)境對(duì)微慣性測(cè)量單元與地磁傳感器組合導(dǎo)航方法進(jìn)行了研究［8］。

本文給出的被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)，采用了由質(zhì)量偏心結(jié)構(gòu)提供回復(fù)力矩的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)平臺(tái)在彈體滾轉(zhuǎn)軸的穩(wěn)定。該平臺(tái)可以給MIMU 提供合適的應(yīng)用環(huán)境。這種方案避免了伺服電機(jī)的使用，同時(shí)MIMU由適用于高過載環(huán)境下的MEMS 工藝制造的三正交陀螺儀和三正交加速度計(jì)組成，從而可以提高系統(tǒng)整體的抗過載能力，同時(shí)這種平臺(tái)可以滿足制導(dǎo)炮彈對(duì)慣性測(cè)量系統(tǒng)的小體積和低成本的要求。

本文對(duì)被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，得到了平臺(tái)內(nèi)筒的運(yùn)動(dòng)微分方程。通過軟件仿真計(jì)算和高速轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)研究了彈體飛行俯仰角對(duì)平臺(tái)穩(wěn)定性的影響。主要內(nèi)容包括:被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)組成及工作原理，動(dòng)力學(xué)建模，方程的數(shù)值求解和地面半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)。

1 平臺(tái)組成及工作原理

本文給出的被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的設(shè)計(jì)利用了復(fù)擺在重力作用下的運(yùn)動(dòng)原理。其核心是采用了質(zhì)量塊偏心安裝的結(jié)構(gòu)獲得回復(fù)力矩來(lái)平衡由彈體的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)平臺(tái)引起的摩擦力矩從而讓平臺(tái)獲得穩(wěn)定。如圖1所示為復(fù)擺運(yùn)動(dòng)原理圖，當(dāng)復(fù)擺受外力矩作用離開豎直方向的平衡位置后，由于復(fù)擺受到重力作用的原因，會(huì)產(chǎn)生回到平衡位置的回復(fù)力矩，從而維持復(fù)擺穩(wěn)定在平衡位置附近。圖2為被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)剖面圖，平臺(tái)主要由發(fā)射過載轉(zhuǎn)移裝置、軸承、質(zhì)量塊、MIMU、電池和解算電路板組成。兩個(gè)深溝球軸承支撐起一個(gè)內(nèi)筒，內(nèi)筒內(nèi)部用來(lái)安裝MIMU、解算電路板、電池和質(zhì)量塊。質(zhì)量塊用來(lái)降低內(nèi)筒相對(duì)彈軸的質(zhì)心位置。發(fā)射過載轉(zhuǎn)移裝置用來(lái)承受在發(fā)射瞬間內(nèi)筒向后的沖擊力。彈體在飛行過程中高速滾轉(zhuǎn)時(shí)，平臺(tái)內(nèi)筒利用質(zhì)量偏心產(chǎn)生的回復(fù)力矩通過軸承與彈體滾轉(zhuǎn)軸保持隔離。

圖1 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of compound pendulum motion

圖2 平臺(tái)結(jié)構(gòu)剖面圖Fig.2 Sectional drawing of platform

被動(dòng)式半捷聯(lián)慣性測(cè)量系統(tǒng)的工作原理如圖3所示，彈體飛行的俯仰角為α(t)，彈體高速滾轉(zhuǎn)，半捷聯(lián)平臺(tái)安裝在彈體內(nèi)部，平臺(tái)內(nèi)部安裝有MIMU和解算模塊，平臺(tái)和彈體之間相對(duì)轉(zhuǎn)速信息通過光電編碼器測(cè)出并由無(wú)線傳輸裝置傳送至平臺(tái)內(nèi)部的解算模塊。

圖3 被動(dòng)式半捷聯(lián)慣性測(cè)量系統(tǒng)工作示意圖Fig.3 Schematic diagram of the partial strapdown inertial measurement system

2 平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型建立

首先分析彈體在飛行過程中的受力情況，假設(shè)彈體飛行時(shí)的攻角很小，彈體的受力情況如圖4所示，彈體在空中主要受到豎直向下的重力、垂直于彈軸方向的升力、分別沿彈軸前后兩個(gè)方向的推力和阻力的作用。另外，彈體在豎直方向的加速度為av(t)，其大小由重力和升力在豎直方向的分力的合力決定。

圖4 炮彈飛行時(shí)受力示意圖Fig.4 Force condition of the flying projectile

根據(jù)彈體在飛行時(shí)的受力情況和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以分析得出安裝在其內(nèi)部的被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒的受力情況。如圖5所示，在彈體飛行過程中，由于炮彈的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使得彈體與半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒之間會(huì)通過軸承滾動(dòng)產(chǎn)生摩擦力的作用。在豎直方向上，半捷聯(lián)式平臺(tái)內(nèi)筒受到重力作用。在徑向上，由于炮彈受到空氣升力的作用，半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒會(huì)受到軸承對(duì)其支撐力的作用。在軸向上，由于炮彈受到推力和空氣阻力的作用，半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒也會(huì)受到軸承對(duì)其支撐力的作用。這里兩個(gè)支撐力分別構(gòu)成了軸承的軸向載荷與徑向載荷。圖5中，C 為內(nèi)筒質(zhì)心，l 為擺的等效擺長(zhǎng)。

圖5 平臺(tái)內(nèi)筒受力示意圖Fig.5 Force condition of the platform’s inner cylinder

根據(jù)圖4彈體和圖5平臺(tái)內(nèi)筒的受力情況，結(jié)合需要解決的問題，建立了如圖6所示的簡(jiǎn)化力學(xué)模型。圖6(a)中，一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0、質(zhì)量為m、擺長(zhǎng)為l 的擺，在摩擦力矩Mf和重力G 的作用下產(chǎn)生的擺動(dòng)角度為θ(t). 擺的支撐體(實(shí)際為彈體)在豎直方向上受到重力Gp的作用，同時(shí)還受到支撐力Fs(實(shí)際為升力)的作用，擺的支撐體在Gp和Fs的作用下在豎直方向形成加速度av(t). 另外，圖6(a)中的擺與彈體俯仰角的關(guān)系為如圖6(b)所示，擺的擺動(dòng)平面始終與俯仰角為α(t)的直線(實(shí)際為彈體軸向)垂直。

根據(jù)圖5所示的內(nèi)筒受力分析和圖6所示的簡(jiǎn)化的力學(xué)模型來(lái)建立平臺(tái)內(nèi)筒的動(dòng)力學(xué)方程。圖6中擺受到的總的力矩和M 等于摩擦力矩Mf與重力回復(fù)力矩Mg的矢量和:

式中:Mg與重力加速度g、彈體在豎直方向的加速度av(t)、擺動(dòng)角度θ(t)、擺長(zhǎng)l 和彈體俯仰角α(t)之間的關(guān)系表達(dá)式為

從(2)式中可以看出，當(dāng)俯仰角α(t)為90°時(shí)，回復(fù)力矩Mg為0.

軸承的摩擦力矩Mf的SKF 表達(dá)式［9］為

式中:Mrr為滾動(dòng)摩擦力矩;Msl為滑動(dòng)摩擦力矩;Msc為密封件摩擦力矩;Md為阻力損失、攪動(dòng)、潑濺等的摩擦力矩。其中Mrr和Msl與彈體俯仰角的變化相關(guān)。俯仰角的變化會(huì)導(dǎo)致軸承軸向負(fù)荷與徑向負(fù)荷發(fā)生變化，而軸向負(fù)荷變化會(huì)導(dǎo)致滾珠與軸承軸向接觸面之間的滾動(dòng)摩擦力矩和滑動(dòng)摩擦力矩變化，徑向負(fù)荷變化會(huì)導(dǎo)致滾轉(zhuǎn)與軸承徑向接觸面的滾動(dòng)摩擦力矩與徑向摩擦力矩發(fā)生變化，最終導(dǎo)致Mrr與Msl的變化。其變化關(guān)系為:隨著俯仰角的增大，Mrr和Msl的值會(huì)先增大，當(dāng)俯仰角增大到一定值時(shí)，Mrr和Msl會(huì)達(dá)到最大值，此時(shí)當(dāng)俯仰角再繼續(xù)增大時(shí)，Mrr和Msl又會(huì)逐漸減小。

由牛頓第二定律知，外力矩沿固定軸分量的代數(shù)和等于對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，因此總的力矩和M 還可以表示為

結(jié)合(1)式與(4)式得到

將(2)式帶入(5)式得到被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒的動(dòng)力學(xué)方程:

(6)式描述了被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ(t)與彈體俯仰角α(t)、彈體在豎直方向的加速度av(t)、軸承的摩擦力矩Mf、平臺(tái)內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0、內(nèi)筒質(zhì)量m、重力加速度g 以及等效擺長(zhǎng)l 之間的關(guān)系。由于(6)式為二階齊次非線性常微分方程，無(wú)法用解析法對(duì)其進(jìn)行求解，為了對(duì)平臺(tái)的穩(wěn)定性做進(jìn)一步的研究，需要借助Matlab 用數(shù)值積分法對(duì)方程進(jìn)行求解。

3 俯仰角對(duì)平臺(tái)穩(wěn)定性影響的計(jì)算仿真

在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算之前，需要先把(6)式簡(jiǎn)化成一階微分方程組。引入輔助變量y1= θ(t)，y2=代入(6)式得到一階微分方程組:

方程組(7)式中，假設(shè)下落加速度av(t)=0，g為恒定值，計(jì)算所需其他參數(shù)采用某被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的實(shí)際參數(shù)，如表1所示。

表1 半捷聯(lián)平臺(tái)計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters of partial strapdown platform

由半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒的力學(xué)模型可知，在俯仰角α(t)＜90°時(shí)，質(zhì)量偏心可以形成復(fù)擺運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，因此仿真時(shí)將α(t)值分別取0°、15°、30°、45°、60°和75°，軸承摩擦力矩Mf的大小與俯仰角α(t)相關(guān)，不同α(t)對(duì)應(yīng)的Mf的計(jì)算值如表2所示。

表2 不同α(t)下Mf 的計(jì)算值Tab.2 Calculated values of friction torque Mf with different α(t)

將表1和表2中的參數(shù)代入方程組(7)式中，并設(shè)初值y1(0)=0，y2(0)=0，在Matlab 中利用4 階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行計(jì)算求解得到如圖7所示的不同俯仰角下(t)和θ(t)解。

圖7(a)～圖7(f)分別顯示了俯仰角α(t)在0° ～75°時(shí)被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒滾轉(zhuǎn)角速率(t)和角度θ(t)的時(shí)間曲線。從圖7(a)～圖7(f)中的(t)的曲線可以看出，(t)的計(jì)算值正負(fù)對(duì)稱，符合復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從θ(t)的曲線可以看出，θ(t)的計(jì)算值都在正區(qū)間內(nèi)，這是由于在求解方程時(shí)假定θ(t)和(t)初值為0，并且軸承摩擦力矩方向總是朝著軸承的旋轉(zhuǎn)方向。從圖7(a)～圖7(f)中可以看出(t)和θ(t)的幅值和周期都隨俯仰角α(t)的增大而增大，因此俯仰角α(t)越小，平臺(tái)越穩(wěn)定。

圖7 仿真曲線圖Fig.7 Simulation results

4 地面半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)所建立的被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型以及圖7中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在三軸高速轉(zhuǎn)臺(tái)上對(duì)被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)樣機(jī)進(jìn)行了地面半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)。用轉(zhuǎn)臺(tái)在滾轉(zhuǎn)方向的高速旋轉(zhuǎn)模擬彈體的高速滾轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)臺(tái)在俯仰方向的變化模擬彈體的俯仰角變化。將被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)樣機(jī)安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)內(nèi)部，通過安裝在平臺(tái)內(nèi)筒的角速率傳感器測(cè)量得到內(nèi)筒的擺動(dòng)角速率(t)值，同時(shí)通過積分得到擺動(dòng)角度θ(t)值。

設(shè)置轉(zhuǎn)臺(tái)滾轉(zhuǎn)方向保持10 r/s 的高轉(zhuǎn)速，俯仰方向分別設(shè)置在0°、15°、30°、45°、60°和75°. 實(shí)驗(yàn)情況如圖8所示，實(shí)驗(yàn)得到平臺(tái)內(nèi)筒的擺動(dòng)角速率(t)和角度θ(t)的曲線圖如圖9所示。

圖8 高速轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)Fig.8 Experiment on the high-speed turntable

圖9(a)～圖9(f)分別為轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰方向設(shè)置在0° ～75°時(shí)被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒的擺動(dòng)角速率(t)和角度θ(t)的實(shí)測(cè)曲線。從圖9(a)～圖9(f)可以看出，平臺(tái)內(nèi)筒在做復(fù)擺擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且擺動(dòng)角速率(t)與角度θ(t)隨著俯仰角的增大而增大。將圖9中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與圖7中的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果中角速率(t)和角度θ(t)波形周期的差別不明顯，并且波形幅值隨俯仰角的增大而增大的規(guī)律也相符。但由于實(shí)驗(yàn)所用的被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)樣機(jī)存在一定的機(jī)械加工誤差，以及轉(zhuǎn)臺(tái)與平臺(tái)之間存在一定的安裝誤差，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果也存在一些差別，比如圖9(a)中角速率波形的第二個(gè)波峰、圖9(d)中角速率波形的第一、二個(gè)波峰以及圖9(f)中角速率波形的第一個(gè)波谷都存在一定的抖動(dòng)，這是由于受到機(jī)械誤差和轉(zhuǎn)臺(tái)震動(dòng)影響軸承摩擦力矩瞬間發(fā)生跳變?cè)斐傻摹Ａ硗鈭D9(e)和圖9(f)中角速率曲線分別出現(xiàn)了兩個(gè)峰值相差較大的情況，產(chǎn)生這個(gè)變化的主要是因?yàn)殡S著俯仰角的增大，軸承的啟動(dòng)扭矩變大，而軸承啟動(dòng)扭矩的變大導(dǎo)致軸承在從靜止到轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中所需克服的靜摩擦力矩增大。當(dāng)軸承開始正常轉(zhuǎn)動(dòng)后，軸承摩擦力矩恢復(fù)為正常的Mf，從而使后面的角速率曲線又恢復(fù)正常?？傮w上轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)曲線結(jié)果與計(jì)算求解曲線結(jié)果規(guī)律相吻合，驗(yàn)證了所建立的平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，得出俯仰角越小，被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)越穩(wěn)定的規(guī)律。

圖9 高速轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Test results of the high-speed turntable

5 結(jié)論

本文介紹了一種適用于高速滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)炮彈的被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)。通過對(duì)彈體及平臺(tái)進(jìn)行力學(xué)分析，建立了半捷聯(lián)平臺(tái)內(nèi)筒的動(dòng)力學(xué)模型，通過數(shù)值計(jì)算得出了不同彈體俯仰角下半捷聯(lián)式平臺(tái)內(nèi)筒的滾動(dòng)角度和角速率，并在三軸高速轉(zhuǎn)臺(tái)上進(jìn)行了半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果都說明彈體俯仰角的大小對(duì)半捷聯(lián)式平臺(tái)有直接的影響，彈體俯仰角越小，半捷聯(lián)式平臺(tái)越穩(wěn)定。本研究對(duì)被動(dòng)式半捷聯(lián)平臺(tái)的適用條件研究做出了一定的理論貢獻(xiàn)，對(duì)于解決制導(dǎo)炮彈上慣性測(cè)量系統(tǒng)的應(yīng)用問題具有一定的指導(dǎo)意義。

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