可適應(yīng)稀疏度變化的非均勻范數(shù)約束水聲信道估計(jì)算法

伍飛云，周躍海，童峰，方世良

(1.廈門大學(xué) 海洋與地球?qū)W院，福建 廈門361005;2.東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210018)

0 引言

由于具有典型的時(shí)間-頻率雙重選擇性擴(kuò)展，水聲信道的高效、準(zhǔn)確估計(jì)極具挑戰(zhàn)性［1-4］，而其沖激響應(yīng)中往往僅有少數(shù)幾個(gè)大值系數(shù)，其余大部分則為0 或接近0 的小值系數(shù)，結(jié)合稀疏特性改善信道估計(jì)性能具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，已引起廣泛關(guān)注［5-7］。

其中，匹配追蹤(MP)算法［8］將殘留信號(hào)用于最大化混合矩陣列向量的相關(guān)運(yùn)算，對(duì)稀疏信道抽頭進(jìn)行逐個(gè)估計(jì)，但該算法無法保證理論最優(yōu)解，且由于過完備字典中原子數(shù)目太大，而每次匹配選取最佳原子的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，使得選取過程中匹配選取的次數(shù)過多，MP 算法的計(jì)算復(fù)雜度高;同時(shí)，經(jīng)典MP 算法需已知稀疏信道的大值抽頭數(shù)，因此不能有效地應(yīng)用到實(shí)際場合。

文獻(xiàn)［9 -10］將稀疏水聲信道多徑徑數(shù)、時(shí)延及幅度組成多徑參數(shù)模型，并引入進(jìn)化優(yōu)化算法對(duì)非線性多徑參數(shù)模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，但由于多徑參數(shù)模型的解空間將隨著徑數(shù)的增多而急劇增大，該方法在信道多徑徑數(shù)較多時(shí)性能明顯下降。

Zeng 等［11］采用時(shí)延-多普勒擴(kuò)展模型分別結(jié)合MP、投影梯度方法改善了對(duì)塊速時(shí)變稀疏信道的估計(jì)性能，但由于需在時(shí)延-多普勒二維參數(shù)空間尋優(yōu)，當(dāng)信道多徑時(shí)延擴(kuò)展大或多普勒擴(kuò)展大時(shí)運(yùn)算復(fù)雜度將急劇增高。如在某些典型水聲信道中該方法將要求信道參數(shù)長度增至1 000 維［12］。

［13 -19］先后將范數(shù)約束(l1范數(shù)或l0范數(shù))引入到最小均方(LMS)代價(jià)函數(shù)中，從而以較低的運(yùn)算復(fù)雜度開銷加快算法對(duì)稀疏系統(tǒng)中非零系數(shù)的收斂，特別是適合于具有較長多徑時(shí)延擴(kuò)展的水聲信道。然而，當(dāng)水聲信道中由于工作位置、深度及水文條件等變化造成多徑稀疏度發(fā)生變化時(shí)，由于l1范數(shù)和l0范數(shù)約束項(xiàng)本身并無針對(duì)稀疏度的調(diào)整因子，該類算法的性能將受到較大影響;同時(shí)，l1范數(shù)和l0范數(shù)算法約束項(xiàng)對(duì)大值抽頭的檢測實(shí)際上仍依賴于某種硬門限，這也造成了這類算法對(duì)微弱多徑的檢測能力不高。

針對(duì)這一問題，Wu 等［20］將似p 范數(shù)［6］引入LMS 代價(jià)函數(shù)，導(dǎo)出p 值可變的似p 范數(shù)約束LMS算法，通過p 值的調(diào)整改善了對(duì)不同稀疏程度的適應(yīng)性能，但由于似p 范數(shù)迭代需要進(jìn)行復(fù)雜的小數(shù)指數(shù)運(yùn)算，在實(shí)際應(yīng)用中算法的實(shí)現(xiàn)受一定限制。

Wu 等［21］引入非均勻范數(shù)約束并推導(dǎo)出由一系列l(wèi)0或l1范數(shù)元素組成的非均勻范數(shù)約束LMS(NNCLMS)系數(shù)迭代公式，通過權(quán)向量中大小不同的幅值產(chǎn)生不同l0、l1組合形式的非均勻范數(shù)進(jìn)行不同稀疏程度下的約束調(diào)整，從而避免使用硬閾值造成的對(duì)微弱多徑的檢測性能下降，并可提供對(duì)稀疏度變化信道的適應(yīng)能力;同時(shí)，該算法在降低運(yùn)算復(fù)雜度的同時(shí)，提高了收斂速度、降低了穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差。但文獻(xiàn)［21］中未給出該算法的收斂性證明。本文分析了NNCLMS 算法的收斂性能，并利用該算法提供的稀疏度適應(yīng)性進(jìn)行稀疏度變化水聲信道估計(jì)，不同接收深度水聲信道的仿真和海試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法可提高水聲信道估計(jì)中對(duì)稀疏度變化的容忍性。

1 NNCLMS 算法

1.1 算法描述

定義非均勻范數(shù)［21］為

式中:w(n)表示n 時(shí)刻待優(yōu)化的濾波器抽頭系數(shù)，即w(n)中每L 個(gè)元素采用不同的p 值并求和組成非均勻范數(shù)，L 表示濾波器長度。定義代價(jià)函數(shù)為

則根據(jù)梯度優(yōu)化，信道估計(jì)器的權(quán)系數(shù)迭代公式為

(2)式和(3)式中:κ =μγ ＞0 是步長參數(shù)和平衡因子相乘得到的參數(shù);e(n)為期望信號(hào)d(n)與濾波器輸出信號(hào)xT(n)w(n)之差，表示為e(n)=d(n)-xT(n)w(n);G'p(i，n)為約束項(xiàng)的梯度，

采用權(quán)系數(shù)向量的期望E［|wi(n)|］作為“大”“小”值wi(n)的區(qū)分界限，則可借助非均勻范數(shù)中的pi參數(shù)進(jìn)行估計(jì)偏差和稀疏約束作用的折中優(yōu)化，對(duì)“小”值wi(n)，權(quán)系數(shù)迭代中范數(shù)約束產(chǎn)生一個(gè)零吸引作用加快收斂;而對(duì)“大”值wi(n)，范數(shù)約束引入的零吸引作用趨于消失以減小估計(jì)偏差。即:

由此分析，最終得到濾波器向量更新公式為

(6)式中，f 定義為

同時(shí)，在(7)式基礎(chǔ)上可對(duì)非均勻范數(shù)約束項(xiàng)進(jìn)行復(fù)加權(quán)以進(jìn)一步減少估計(jì)偏差，因此，NNCLMS算法權(quán)系數(shù)更新表達(dá)式為

式中:ε ＞0 是一個(gè)控制復(fù)加權(quán)強(qiáng)度的常數(shù)。

NNCLMS 算法中參數(shù)κ、ε 對(duì)算法性能有一定影響:參數(shù)κ 反映了零吸引的力度［13-17］，參數(shù)κ 越大，引起的穩(wěn)態(tài)失調(diào)也越大，當(dāng)然其收斂速度也越快。因此參數(shù)κ 的選擇需要在收斂速度和收斂質(zhì)量之間權(quán)衡;復(fù)加權(quán)系數(shù)ε 表明復(fù)加權(quán)的力度以減少估計(jì)算法的有偏程度，同時(shí)，復(fù)加權(quán)系數(shù)ε 越大，零吸引力則越弱。因此復(fù)加權(quán)系數(shù)ε 需要在減弱有偏程度和零吸引力之間權(quán)衡。

本文算法與標(biāo)準(zhǔn)LMS 算法及l(fā)0-LMS［16］、l1-LMS［19］這兩種經(jīng)典范數(shù)約束LMS 算法的計(jì)算復(fù)雜度比較如表1所示，由此可見，與經(jīng)典l0-LMS、l1-LMS 算法相比，本文算法僅帶來少量的計(jì)算量增加。

表1 各算法每次迭代的計(jì)算量Tab.1 The amounts of calculation of different algorithms in each iteration

1.2 算法收斂性分析

本文對(duì)NNCLMS 算法進(jìn)行收斂性分析。定義抽頭誤差向量為

式中:wO是經(jīng)典LMS 算法的最優(yōu)抽頭值。(9)式左右兩邊同時(shí)減去wO，結(jié)合(8)式，可得

式中:R = x(n)x(n)T，I 是單位矩陣;而向量是介于和之間的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。因此，如果算法的步長值μ 滿足條件:

式中:λmax是矩陣(I-μR)的最大特征值，則E［v(n)］收斂。

由此證明了NNCLMS 算法的收斂性。本文將引入該算法以適應(yīng)對(duì)不同接收深度導(dǎo)致的水聲信道稀疏度變化。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

本文設(shè)計(jì)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)通過不同深度導(dǎo)致的水聲信道不同稀疏度分析NNCLMS 算法性能并與LMS、l0-LMS、l1-LMS 等傳統(tǒng)算法進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)采用稀疏比(SR)量化評(píng)估仿真水聲信道的稀疏度，SR定義為非零抽頭的個(gè)數(shù)除以全部抽頭的個(gè)數(shù)得到的比值。

仿真實(shí)驗(yàn)采用BELLHOP 射線模型產(chǎn)生仿真水聲信道［22］，設(shè)置為:均勻聲速，距離為1 000 m，水深200 m，發(fā)射深度100 m，接收深度分別為100 m、60 m，20 m.聲線最大數(shù)目設(shè)置為800 條，發(fā)射聲源角度設(shè)置為-60° ～60°. 每條聲線最小搜索角為0.15°.仿真中設(shè)定每隔5 000 個(gè)碼元改變接收機(jī)深度從而產(chǎn)生3 個(gè)對(duì)應(yīng)不同接收深度的水聲信道。實(shí)驗(yàn)中發(fā)射隨機(jī)碼元，碼元波特率8 k.

圖1給出了20 m、60 m、100 m 3 個(gè)不同深度下收發(fā)本征聲線。由圖1可以看出，隨著深度變化，水聲信道徑數(shù)不斷增加造成稀疏度變化。仿真水聲信道階數(shù)為250，則其稀疏程度變化可通過SR 值的變化來體現(xiàn):在1、5 001、10 001 點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)的SR值為2/250、3/250、5/250. 該3 個(gè)階段對(duì)應(yīng)的仿真水聲信道響應(yīng)如圖2所示。為了便于性能比較，實(shí)驗(yàn)中，各算法的估計(jì)器長度設(shè)置為250. 調(diào)整各算法的參數(shù)使得各算法最小均方差(MSE)最優(yōu)，對(duì)應(yīng)的各參數(shù)見表2所示。

圖1 BELLHOP 模型中3 個(gè)不同接收深度對(duì)應(yīng)的聲線Fig.1 BELLHOP-model-based multipaths at 3 receiving depths

圖2 BELLHOP 模型中3 個(gè)不同接收深度對(duì)應(yīng)的信道響應(yīng)Fig.2 BELLHOP model-based multipath time delay channels at 3 receiving depths

表2 仿真實(shí)驗(yàn)各算法參數(shù)Tab.2 Parameters of different algorithms in simulation

仿真結(jié)果如圖3所示，仿真中因信道稀疏度設(shè)置分別在點(diǎn)1、5 001、10 001 點(diǎn)處，該信道的變化引起算法MSE 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的突變，隨后各自5 000 點(diǎn)長度的迭代中各算法收斂精度各有差異，從圖3可以看出，施加稀疏約束后的LMS 各類改進(jìn)版本都比經(jīng)典LMS 算法表現(xiàn)更好，尤其是NNCLMS 比l0-LMS、l1-LMS 性能更加優(yōu)越。其中，可見固定范數(shù)約束類算法(l0-LMS、l1-LMS)在SR 增加時(shí)，該類算法通過稀疏約束項(xiàng)獲取的性能改善減小;而范數(shù)約束項(xiàng)包含調(diào)節(jié)機(jī)制的NNCLMS 算法由于可通過對(duì)范數(shù)約束的調(diào)節(jié)來適應(yīng)信道的不同稀疏程度，表明本算法對(duì)不同的稀疏性具有更好的適應(yīng)性。

同時(shí)，對(duì)水聲信道的時(shí)變特性，信道估計(jì)算法的收斂速度體現(xiàn)了對(duì)時(shí)變信道的跟蹤性能，圖3體現(xiàn)出本文算法收斂性優(yōu)于l1-LMS 和LMS 算法，與l0-LMS 收斂速度類似，而本文算法MSE 性能表現(xiàn)最優(yōu)。

圖3 不同SR 下不同算法的MSE 曲線Fig.3 MSE curves with the different SRs

3 海試實(shí)驗(yàn)

本文算法的海試實(shí)驗(yàn)采用正交相移鍵控(QPSK)調(diào)制信號(hào)，信號(hào)載波頻率為16 kHz，采樣率為96 kbit/s，數(shù)據(jù)率6.4 kbit/s，發(fā)射隨機(jī)序列。實(shí)驗(yàn)海域?yàn)閺B門五緣灣，平均水深8 m，發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間的距離為2 km;發(fā)射換能器深度7 m，接收換能器初始深度4 m，在實(shí)驗(yàn)過程中接收換能器進(jìn)行了深度調(diào)整，造成信道多徑稀疏度發(fā)生變化。

由于信道估計(jì)的目的是通過估計(jì)獲取信道響應(yīng)以構(gòu)造信道均衡器改善通信性能，信道估計(jì)的準(zhǔn)確度將決定均衡器的性能以及通信質(zhì)量。因此，本文海試實(shí)驗(yàn)中各類算法所獲得的信道響應(yīng)將通過線性最小均方誤差(LMMSE)均衡器來實(shí)現(xiàn)碼元恢復(fù)，并采用誤比特率(BER)作為指標(biāo)進(jìn)行信道估計(jì)算法性能評(píng)估。LMMSE 均衡的輸入輸出關(guān)系可以寫成［11］:

式中:I 表示單位矩陣;H 為算法估計(jì)獲取的水聲信道沖激響應(yīng);σw表示噪聲能量的參數(shù)。由于LMMSE均衡器是基于信道估計(jì)結(jié)果獲得，以輸出信噪比和誤碼率從通信角度可評(píng)估信道估計(jì)方法性能。

實(shí)驗(yàn)中LMMSE 均衡器長度為100，與信道估計(jì)器階數(shù)相同，采用1/2 分?jǐn)?shù)間隔結(jié)構(gòu)。由于實(shí)驗(yàn)水聲信道表現(xiàn)出時(shí)變特性，每50 個(gè)符號(hào)保存一次信道估計(jì)結(jié)果用于更新LMMSE 均衡器以適應(yīng)信道時(shí)變;同時(shí)，考慮到在每次信道估計(jì)更新后的50 個(gè)符號(hào)內(nèi)進(jìn)行的是固定系數(shù)LMMSE 均衡，無法補(bǔ)償此時(shí)間范圍內(nèi)信道時(shí)變?cè)斐傻臍堄喽鄰?，為此在LMMSE 均衡器后級(jí)聯(lián)一個(gè)階數(shù)為6、遺忘因子0.995 的1/2 分?jǐn)?shù)間隔結(jié)構(gòu)RLS 均衡器用來對(duì)這部分信道時(shí)變進(jìn)行輔助補(bǔ)償，抑制殘余多徑。此RLS均衡器在獨(dú)立工作時(shí)無法達(dá)到均衡效果。

為方便進(jìn)行性能對(duì)比，在LMMSE 均衡實(shí)驗(yàn)中各信道估計(jì)算法根據(jù)將均衡器穩(wěn)定收斂后輸出信噪比調(diào)至大致相同進(jìn)行設(shè)置，具體參數(shù)見表3所示。MP 算法［8］設(shè)定的多徑徑數(shù)為5.

表3 LMMSE 均衡實(shí)驗(yàn)各算法參數(shù)Tab.3 Parameters of LMMSE equalizers of different algorithms

圖4(a)～圖4(e)分別給出了LMS、NNCLMS、l1-LMS、l0-LMS，以及MP 算法［8］的信道估計(jì)結(jié)果，圖4(f)給出了以QPSK 隨機(jī)發(fā)射序列作為參考信號(hào)進(jìn)行窗長為1 s、滑動(dòng)步長0.25 s 的滑動(dòng)窗匹配濾波獲取的時(shí)變信道響應(yīng)結(jié)果。從圖4(f)中可以看出，在數(shù)據(jù)開始約0.7 s 處，由于換能器深度調(diào)整的原因呈現(xiàn)較明顯的多徑稀疏分布變化，在圖4(f)信道響應(yīng)的時(shí)延擴(kuò)展約3 ms 處從兩個(gè)較明顯多徑變化為一個(gè)較強(qiáng)多徑，同時(shí)在12 ms 的時(shí)延擴(kuò)展范圍內(nèi)存在4 條較弱多徑。

從圖4可以看出:LMS 算法估計(jì)結(jié)果較好地體現(xiàn)了信道的結(jié)構(gòu)、徑數(shù)變化，但收斂較慢，且輸出明顯的估計(jì)噪聲;相對(duì)LMS 算法，采用稀疏約束的l0-LMS，l1-LMS、NNCLMS 以及MP 算法對(duì)信道響應(yīng)非零抽頭處的噪聲成分具有明顯的抑制作用，其中l(wèi)0-LMS、l1-LMS 顯示出對(duì)強(qiáng)多徑的檢測性能，但對(duì)弱多徑估計(jì)效果較差;MP 算法估計(jì)結(jié)果分布在信道實(shí)際多徑及其鄰近位置，且弱多徑未被充分檢測;NNCLMS 算法則體現(xiàn)了較快的收斂速度，對(duì)估計(jì)噪聲的抑制，以及在檢測強(qiáng)多徑的同時(shí)對(duì)弱多徑的檢測性能。

圖4 各算法水聲信道估計(jì)結(jié)果圖Fig.4 The estimated results of underwater acoustic channels

實(shí)驗(yàn)中為了反映信道稀疏度變化條件下LMMSE 均衡的性能，每隔200 個(gè)符號(hào)測量一次輸出信噪比以評(píng)估均衡效果。圖5給出了海試實(shí)驗(yàn)LMMSE 均衡器輸出信噪比SNR 曲線，從圖5可看出:信道多徑結(jié)構(gòu)變化前:使用各估計(jì)算法獲取的信道響應(yīng)構(gòu)造LMMSE 均衡器時(shí)，LMS 算法對(duì)應(yīng)的LMMSE 均衡器輸出信噪比提升速度較慢，采用稀疏約束的l0-LMS、l1-LMS、NNCLMS 以及MP 算法則對(duì)應(yīng)較快的收斂速度，其中NNCLMS 略好于另外3 種算法，與仿真部分結(jié)論基本一致，MP 算法因?yàn)槲礄z測出微弱多徑且引入一定噪聲，收斂后輸出信噪比仍較低。

圖5 海試實(shí)驗(yàn)中基于信道估計(jì)的LMMSE 均衡器輸出信噪比性能Fig.5 The output SNRs of channel estimation-based LMMSE equalizer

圖6給出了海試實(shí)驗(yàn)中對(duì)應(yīng)圖5的各算法誤碼率(BER)評(píng)價(jià)性能對(duì)比情況，可以看出:信道多徑結(jié)構(gòu)變化前，使用各估計(jì)算法獲取的信道響應(yīng)構(gòu)造LMMSE 均衡器時(shí)，LMS 算法對(duì)應(yīng)的LMMSE 均衡器對(duì)應(yīng)的BER 較大，采用稀疏約束的l0-LMS、l1-LMS、NNCLMS 以及MP 算法則能較快降低BER，其中NNCLMS 的BER 略低于另外3 種算法，該結(jié)果與數(shù)值仿真以及圖5的結(jié)論基本一致。

圖6 海試實(shí)驗(yàn)中基于信道估計(jì)的LMMSE 均衡器的誤比特率性能Fig.6 The output BERs of channel estimation-based LMMSE equalizer

在信道由于接收換能器深度變化導(dǎo)致稀疏度變化期間:LMS 算法由于對(duì)信道強(qiáng)、弱多徑不加分辨進(jìn)行迭代，其對(duì)應(yīng)LMMSE 均衡器性能受多徑稀疏分布變化的影響較小，但非零抽頭處大量估計(jì)噪聲造成其輸出信噪比及誤比特率均出現(xiàn)整體偏差;由于未能檢測出較弱多徑，在多徑結(jié)構(gòu)變化期間l0-LMS、l1-LMS 算法對(duì)應(yīng)均衡性能呈現(xiàn)明顯的惡化;而本文NNCLMS 算法由于可根據(jù)權(quán)值大小改變非均勻范數(shù)中l(wèi)0、l1元素的分布從而改善對(duì)稀疏度變化的適應(yīng)性，并能較好地檢測出信道中的弱多徑分量，在所有比較算法中本文算法構(gòu)造LMMSE 均衡器的輸出信噪比和誤比特率性能均受多徑稀疏度變化影響最小，體現(xiàn)了對(duì)多徑稀疏度變化較好的適應(yīng)能力。

4 結(jié)論

為了提高稀疏度變化條件下水聲信道的估計(jì)性能，本文引入NNCLMS 算法并對(duì)其進(jìn)行收斂性分析，該算法通過在LMS 代價(jià)函數(shù)中引入一系列l(wèi)0或l1范數(shù)元素組成的非均勻范數(shù)約束項(xiàng)，并根據(jù)抽頭系數(shù)的大小而給予不同的約束，從而以較小的運(yùn)算開銷改善對(duì)不同稀疏度的適應(yīng)性。在信道稀疏度變化條件下的仿真和海試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法在水聲信道估計(jì)中應(yīng)用的優(yōu)越性。

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